高三第一次模拟考试数学含答案.docx
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高三第一次模拟考试数学含答案
2019-2020年高三第一次模拟考试数学含答案
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．设集合，集合，若，则▲.
答案：
1
2．若复数（其中为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数▲.
答案：
－1
3．在一次射箭比赛中，某运动员次射箭的环数依次是，则该组数据的方差是▲.
答案：
4．甲、乙两位同学下棋，若甲获胜的概率为，甲、乙下和棋的概率为，则乙获胜的概率为▲.
答案：
解读：
为了体现新的《考试说明》，此题选择了互斥事件，选材于课本中的习题。
5．若双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则▲.
答案：
6．运行如图所示的程序后，输出的结果为▲.
答案：
42
解读：
此题的答案容易错为22。
7．若变量满足
，则的最大值为▲.
答案：
8
8．若一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则该圆锥的体积为▲.
答案：
9．若函数
图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点成中心对称，，则▲.
答案：
10．若实数满足，且，则的最小值为▲.
答案：
4
11．设向量，，则“”是“”成立的▲条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）.
答案：
必要不充分
12．在平面直角坐标系中，设直线与圆交于两点，为坐标原点，若圆上一点满足，则▲.
答案：
解读：
方法1：
（平面向量数量积入手）
，即：
，整理化简得：
，过点作的垂线交于，则
，得，又圆心到直线的距离为，所以
，所以，.
方法2：
（平面向量坐标化入手）设，,,由得，，
则
由题意得，
，联立直线与圆的方程，由韦达定理可解得：
.
方法3：
（平面向量共线定理入手）由得，设与交于点，则三点共线。
由与互补结合余弦定理可求得，过点作的垂线交于，根据圆心到直线的距离为，得，解得，.
13．已知是定义在上的奇函数，当时，，函数.如果对于，，使得，则实数的取值范围是▲.
答案：
14．已知数列满足，，，若数列单调递减，数列单调递增，则数列的通项公式为▲.
答案：
（说明：
本答案也可以写成
）
二、解答题：
15．在平面直角坐标系中，设锐角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.记.
（1）求函数的值域；
（2）设的角所对的边分别为，
若，且，，求.
解：
（1）由题意，得
，………4分
所以
，………………6分
因为，所以，故.………………8分
（2）因为
，又，所以，………………10分
在中，由余弦定理得，即，
解得.………………14分
（说明：
第
（2）小题用正弦定理处理的，类似给分）
16．（本小题满分14分）
如图，在正方体中，分别为的中点.
（1）求证：
平面；
（2）求证：
平面平面.
证明
（1）：
连接，设，连接，………2分
因为O，F分别是与的中点，所以，且，
又E为AB中点，所以，且，
从而，即四边形OEBF是平行四边形，
所以，……………6分
又面，面，
所以面.……………8分
（2）因为面，面，
所以，…………10分
又，且面，，
所以面，…………12分
而，所以面，又面，
所以面面.………14分
17．在平面直角坐标系中，椭圆的右
准线方程为，右顶点为，上顶点为，右焦点为，斜率为
的直线经过点，且点到直线的距离为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）将直线绕点旋转，它与椭圆相交于另一点，当
三点共线时，试确定直线的斜率.
解：
（1）由题意知，直线的方程为，即，……………2分
右焦点到直线的距离为，，……………4分
又椭圆的右准线为，即，所以，将此代入上式解得，，
椭圆的方程为；……………6分
（2）由
（1）知，，直线的方程为，……………8分
联立方程组
，解得
或（舍），即，…………12分
直线的斜率
.……………14分
其他方法：
方法二:
由
（1）知，，直线的方程为，由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组，解得
，代入椭圆解得：
或，又由题意知，得或，所以.
方法三：
由题，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，联立方程组
，得
，，
所以
，当三点共线时有，，
即
，解得或，又由题意知，得或，所以.
18．某地拟模仿图甲建造一座大型体育馆，其设计方案侧面的外轮廓线如图乙所示：
曲线是以点为圆心的圆的一部分，其中（，单位：
米）；曲线是抛物线的一部分；，且恰好等于圆的半径.假定拟建体育馆的高米.
（1）若要求米，米，求与的值；
（2）若要求体育馆侧面的最大宽度不超过米，求的取值范围；
（3）若，求的最大值.
（参考公式：
若，则）
解：
（1）因为，解得.……………2分
此时圆，令，得，
所以
，将点代入中，
解得.…………4分
（2）因为圆的半径为，所以，在中令，得，
则由题意知对恒成立，…………8分
所以恒成立，而当，即时，取最小值10，
故，解得.…………10分
（3）当时，，又圆的方程为，令，得，所以，
从而
，…………12分
又因为
，令，得，…………14分
当时，，单调递增；当时，，单调递减，从而当时，取最大值为25.
答：
当米时，的最大值为25米.…………16分
（说明：
本题还可以运用三角换元，或线性规划等方法解决，类似给分）
19．设数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，若，.
（1）求数列的通项公式；
（2）对于正整数（），求证：
“且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件；
（3）设数列满足：
对任意的正整数，都有
，且集合中有且仅有3个元素，试求的取值范围.
解：
（1）数列是各项均为正数的等比数列，，，
又，，，；…………4分
（2）（ⅰ）必要性：
设这三项经适当排序后能构成等差数列，
①若，则，，，
.…………6分
②若，则，，左边为偶数，等式不成立，
③若，同理也不成立，
综合①②③，得，所以必要性成立.…………8分
（ⅱ）充分性：
设，，
则这三项为，即，调整顺序后易知成等差数列，
所以充分性也成立.
综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立.…………10分
（3）因为
，
即
，（*）
当时，
，（**）
则（**）式两边同乘以2，得
，（***）
（*）－（***），得，即，
又当时，，即，适合，.………14分
，
，
时，，即；
时，，此时单调递减，
又，，，，.……………16分
20．已知函数，.
（1）设.
①若函数在处的切线过点，求的值；
②当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；
（2）设函数，且，求证：
当时，.
解：
（1）由题意，得
，
所以函数在处的切线斜率，……………2分
又，所以函数在处的切线方程，
将点代入，得.……………4分
（2）方法一：
当，可得
，因为，所以，
①当时，，函数在上单调递增，而，
所以只需，解得，从而.……………6分
②当时，由，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以函数在上有最小值为，
令，解得，所以.
综上所述，.……………10分
方法二：
当，
①当时，显然不成立；
②当且时，，令，则，当时，，函数单调递减，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，，由题意知.
（3）由题意，
，
而等价于，
令，……………12分
则，且，，
令，则，
因，所以，……………14分
所以导数在上单调递增，于是，
从而函数在上单调递增，即.……………16分
附加题答案
21.A、（选修4—1：
几何证明选讲）
如图，已知点为的斜边的延长线上一点，且与的外接圆相切，过点作的垂线，垂足为，若，，求线段的长.
解：
由切割线定理，得，解得，
所以，即的外接圆半径，……5分
记外接圆的圆心为，连，则，
在中，由面积法得，解得.………………10分
B、（选修4—2：
矩阵与变换）
求直线在矩阵
的变换下所得曲线的方程.
解：
设是所求曲线上的任一点，它在已知直线上的对应点为，
则
，解得
，………………5分
代入中，得
，
化简可得所求曲线方程为.………………10分
C、（选修4—4：
坐标系与参数方程）
在极坐标系中，求圆的圆心到直线的距离.
解：
将圆化为普通方程为，圆心为，………………4分
又，即
，
所以直线的普通方程为，………………8分
故所求的圆心到直线的距离.………………10分
D、解不等式.
解：
当时，不等式化为，解得；………………3分
当时，不等式化为，解得；………………6分
当时，不等式化为，解得；………………9分
所以原不等式的解集为.………………10分
22．（本小题满分10分）
如图，在直三棱柱中，，，，动点满足，当时，.
（1）求棱的长；
（2）若二面角的大小为，求的值.
解：
（1）以点为坐标原点，分别为轴，
建立空间直角坐标系，
设，则，，，
所以，，，………………2分
当时，有
解得，即棱的长为.………………4分
（2）设平面的一个法向量为，
则由，得，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，………………6分
又平面与轴垂直，所以平面的一个法向量为，
因二面角的平面角的大小为，
所以
，结合，解得.………………10分
23．设集合
，是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为.
（1）求的值；
（2）求的表达式.
解：
（1）当时，即，此时，，所以，………………2分
当时，即，若，则，或，或；
若或，则；所以.………………4分
（2）当集合中的最大元素为“”时，集合的其余元素可在中任取若干个（包含不取），所以集合共有
种情况，………………6分
此时，集合的元素只能在中任取若干个（至少取1个），所以集合共有
种情况，
所以，当集合中的最大元素为“”时，
集合对共有对，………………8分
当依次取时，可分别得到集合对的个数，
求和可得
.………………10分
2019-2020年高三第一次模拟考试数学理试题含答案
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则集合
A．B．C．D．
2．已知向量，若，则等于
A．B．C．D．
3．若命题：
，则：
A．B．
C．D．
4．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于akm，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为
A．akmB.
akm
C．2akmD.
akm
5．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应为
A．k＞5?
B．k＞4?
C．k＞7?
D．k＞6?
6．过点可作圆
的两条切线，则实数的取值范围为
A．或B．
C．或 D．或
7.若
，若的最大值为，则的值是
A． B． C． D．
8．函数
，若，则下列不等式一定成立的是
A．B．C．D．
9．已知函数，其中为实数，若对恒成立，
且，则的单调递增区间是
A．
B．
C．
D．
10．已知等比数列的公比且，又，则
A．B．
C．D．
11．已知椭圆，为其左、右焦点，为椭圆上任一点，的重心为，内心，且有（其中为实数），椭圆的离心率
A．B．C． D．
12．已知函数，其导函数为．
①的单调减区间是；②的极小值是；
③当时，对任意的且，恒有
④函数有且只有一个零点．其中真命题的个数为
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．设
（其中e为自然对数的底数），则的值为_________．
14．在平面直角坐标系中，已知的顶点和，顶点在双曲线上，则为___________.
15．设是不等式组
表示的平面区域内的任意一点，向量，若，则的最大值为．
16．已知函数
，若数列满足（），且是递增数列，则实数的取值范围是___________．
三、解答题
17．（本小题满分10分）
已知是函数
图象的一条对称轴．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）化简的解析式，并作出函数在上的图象简图（不要求写作图过程）．
18．（本小题满分12分）
已知等差数列{}的公差，它的前n项和为，若，且成等比数列，
（Ⅰ）求数列{}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}的前n项和为，求证：
．
19．（本小题满分12分）
在中，内角、、所对的边分别为，其外接圆半径为6，，
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求的面积的最大值．
20．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，以原点为圆心的圆与直线相切．
（Ⅰ）求圆的方程；
（Ⅱ）若已知点，过点作圆的切线，求切线的方程．
21．（本小题满分12分）
已知函数的图象在点处的切线方程为.
（Ⅰ）用表示出，；
（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆：
的一个焦点为，左右顶点分别为，.
经过点的直线与椭圆交于，两点.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）当直线的倾斜角为时，求线段的长；
（Ⅲ）记与的面积分别为和，求的最大值.
高三数学（理科）参考答案及评分标准
一、选择题
1．D；2．D；3．A；4．D；5．B；6．D；7.A；8．A；9．C；10．A；11．A；12．C．
二、填空题
13．；14．
；15．5；16．（2,3）．
三、解答题
17．（本小题满分10分）
解：
（I）方法1：
，………………2分
∵是函数图象一条对称轴，∴，……………4分
即
，∴；………………6分
方法2：
∵
，∴最值是，
………………2分
∵是函数图象的一条对称轴，∴，
………………4分
∴
，
整理得，∴；………………6分
（II）………………7分
在上的图象简图如下图所示．………………10分
18．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）由已知，，………………2分
又成等比数列，
由
且可
解得，………………4分
，
故数列{}的通项公式为；………………6分
（Ⅱ）证明：
由（Ⅰ），
………………7分
，………………9分
显然，．………………12分
19．（本小题满分12分）
（Ⅰ）解：
，
………………3分
，……………………6分
（Ⅱ），即.
又.………………………………8分
.……………………10分
而时，.…………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ）设圆的方程为x2＋y2＝r2，…………………………1分
由题可知，半径即为圆心到切线的距离，故r＝
＝2，……………………3分
∴圆的方程是x2＋y2＝4；………………………………4分
（Ⅱ）∵|OP|＝
＝
>2，∴点P在圆外．
显然，斜率不存在时，直线与圆相离．……………………………6分
故可设所求切线方程为y－2＝k（x－3），
即kx－y＋2－3k＝0.……………………………8分
又圆心为O（0,0），半径r＝2，
而圆心到切线的距离d＝
＝2，即|3k－2|＝2
………………9分
∴k＝或k＝0，…………………………………11分
故所求切线方程为12x－5y－26＝0或y－2＝0．……………………12分
21．（本小题满分12分）
解：
（Ⅰ），………………………………………1分
由题设，则有，…………………………3分
解得.………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，
令
，
则，………………………………………5分
……………7分
①当，
若，则，是减函数，
所以，当时，有，即，
故在上不能恒成立．……………………………9分
②当时，有
若，则，在上为增函数．
所以，当时，，即，
故当时，．……………………………………11分
综上所述，所求的取值范围为……………………12分
22．（本小题满分12分）
解：
（I）因为为椭圆的焦点,所以又
所以所以椭圆方程为…………………………3分
（Ⅱ）因为直线的倾斜角为,所以直线的斜率为1,
所以直线方程为,和椭圆方程联立得到
消掉,得到…………………………5分
所以
所以
…………………………6分
（Ⅲ）当直线无斜率时,直线方程为,
此时,面积相等，…………7分
当直线斜率存在（显然）时,设直线方程为,
设
和椭圆方程联立得到
消掉得
显然，方程有根，且
………………8分
此时
………………………………10分
因为,上式
，（时等号成立）
所以的最大值为………………………………12分
另解：
（Ⅲ）设直线的方程为：
，则
由
得，
．
设，，
则，．………………8分
所以，，，
……………………10分
当时，
．
由，得．
当时，
从而，当时，取得最大值．…………………………12分
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