小学的奥数比例法行程问题.docx
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小学的奥数比例法行程问题
小升初之行程问题的解法---比例法
根据近千套各类奥数竞赛和"小升初"数学考试试题的分析，平均每套试卷按12道题，满分100分计算，就有1.8道试题为行程问题（即每120道试题中有18道是行程问题），分值为21分。
行程问题占一套试卷分值的1/5左右，所以行程问题不论在奥数竞赛中还是在"小升初"的升学考试中，都拥有非常显赫的地位，都是命题者偏爱的题型之一。
小学生"行程问题"普遍是弱项，有几下几个原因：
一、行程分类较细，变化较多。
行程跟工程不一样，工程抓住工作效率和比例关系就可以解决绝大部分问题，但是行程则没有关键点可以抓住，因为每一个类型关键点都不一样。
二、要求对动态过程进行演绎和推理。
行程问题的题目语言叙述本身就很长，加上所描绘的是一个动态过程，一般很难从复杂的语言叙述中提炼出过程中量的变化关系。
三、行程是一个壳，可以将各类知识往里面加。
很多题目看似行程问题，但是本质不是行程问题。
因为行程的复杂，所以学习行程一定要循序渐进，掌握各类行程问题的解题关键点。
下面举例讲解用比例法求解一类行程问题。
方法指导：
复杂行程问题经常运用到比例知识：
速度一定，时间和路程成正比；
时间一定，速度和路程成正比；
路程一定，速度和时间成反比。
分析时可以抓住题中含有比的句子进行分析，以此作为突破口，一步一步求得结果。
也可以从题意的叙述中找出等量关系，从而得出所需的数量之比，再根据比与分数的关系求解。
能用比例法解决的行程问题的特点：
能直接或间接地求出速度比或同一时间内的路程比
例1：
甲、乙两车的速度比是4：
7，两车同时从两地相对出发，在距中点15千米处相遇，两地相距多少千米？
边讲边练：
1、甲、乙两车同时从AB两地相对而行，甲、乙两车速度比7：
5，相遇时距中点12千米，AB两地相距多少千米？
例2：
两列火车同时从两个城市相对开出，6.5小时相遇。
相遇时甲车比乙车多行52千米，乙车的速度是甲车的
。
求两城之间的距离。
边讲边练：
1、甲、乙两车分别从AB两地同时相向而行，3小时相遇。
已知甲车行1小时距B地340千米，乙车行1小时距A地360千米。
AB两地相距多少千米？
（420）
2、客车由甲城到乙城需行10小时，货车从乙城到甲城需行15小时，两车同时相向开出，相遇时客车距离乙城还有192千米，求两城间的距离。
例3：
甲、乙两车同时从AB两地相对而行，5小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是2：
3，甲车行完全程需多少小时？
边讲边练：
甲、乙两车同时从AB两地相对而行，4小时相遇，已知甲、乙两车速度的比是3：
5，乙车行完全程需多少小时？
例4：
客车和货车同时从AB两地相对开出，客车每小时行60千米，货车每小时行全程的
，相遇时客车和货车所行路程的比是5：
4。
AB两地相距多少千米？
边讲边练：
1、客车和货车同时从甲、乙两地相对开出，客车每小时行全程的
，货车每小时行50千米。
相遇时客车和货车所行的路程的比是3：
2。
甲、乙两地相距多少千米？
2、甲、乙两个城市相距若干千米，一列客车与一列货车同时从两个城市相对开出，3小时后相遇，相遇时客车比货车多行60千米，货车与客车速度比是9：
11。
货车平均每小时行多少千米？
3、甲、乙两车同时相对而行，甲车行全长需8小时，乙车每小时56千米，相遇时，甲、乙两车所行路程的比是3：
4，这时乙车行了多少千米？
例5：
甲、乙两车同时从AB两地相向而行，4小时后相遇，相遇后甲又行了3小时到达B地，这时乙车离A地70千米，AB两地相距多少千米？
边讲边练：
小强和小军分别从AB两地同时相对而行，8分钟相遇，相遇后又行6分钟小军到达A地，这时小强离B地160米，AB两地相距多少米？
例6：
甲、乙两车同时从AB两地相向而行，当甲到达B地时，乙车距A地30千米，当乙车到达A地时，甲车超过B地40千米，AB两地相距多少千米？
边讲边练：
快车从A地，慢车从B地同时出发相向而行，经过4小时相遇，相遇后两车仍按原速度继续前进，又经过5小时慢车到达A地，这时快车已超过B地90千米。
AB两地路程是多少千米？
（360）
摩托车和轻骑两车同时从甲、乙两地相向而行，当摩托车到达乙地时，轻骑离甲地还有35千米；当轻骑到达甲地时，摩托车超过乙地40千米。
甲、乙两地相距多少千米？
甲、乙两人各加工同样多的零件。
同时开工，当甲完成任务时，乙还有150个没有完成，当乙完成任务时，甲可以超额完成250个，这批零件总数共多少个？
例7：
甲、乙两车从相距180千米A地去B地，甲车比乙车晚1.5小时出发，结果两车同时到达，甲、乙两车速度的比是4：
3，甲车每小时行多少千米？
边讲边练：
甲、乙两人从相距2500米的A地去B地，甲比乙晚5分钟出发，结果两人同时到达，甲、乙两人行走速度比是3：
2，求甲的速度。
姐妹两人骑车从相距10千米的甲地去乙地，妹妹比姐姐早出发10分钟，结果两人同时到达，姐妹两人骑车速度比是5：
4，求姐姐甲地去乙地用了多少时间？
例8：
一辆汽车运一批货从江城到海乡，又从海乡运一批货返回江城，往返共用了13.5小时。
去时用的时间是回来时用的时间的1.25倍，去时的速度比返回时的速度每小时慢6千米。
这辆汽车往返共行了多少千米？
边讲边练：
、小张爬山，下山按原路返回，往返共用了1.5小时。
上山时间是下山时间的1.5倍，上山速度比下山速度每分钟慢50米。
小张上下山共行了多少米？
一辆汽车往返于甲、乙两地。
去时的速度是返回速度的
，去时比返回时多用了1小时，已知返回速度是每小时60千米，求甲、乙两地相距多少千米？
、
例9：
甲乙两人分别从AB两地同时出发，相向而行，乙车的速度是甲的
，两人相遇后继续前行，甲到达B地，乙到达A地后立即返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点20千米，那么AB两地相距多少千米？
例10:
从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是1:
2:
3，某人走这三段路所用的时间之比是4:
5:
6。
已知他上坡时的速度为每小时2.5千米，路程全长为20千米。
此人从甲地走到乙地需要多长时间？
（5小时）东分
边讲边练：
1、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程之比是2:
3:
5，小亮走这三段路所用的时间之比是6:
5:
4。
已知小亮走平路时的速度为每小时4.5千米，他从甲地到乙地共用了5小时。
问：
甲乙两地相距多少千米？
2、青青从家到学校正好要翻一座小山，她上坡每分钟行50米，下坡速度比上坡速度快40%，从家到学校的路程为2800米，上学要用50分钟。
从学校回家要用多少时间？
例11：
甲乙两人分别从A,B两地出发，相向而行，出发时他们的速度比是3:
2，他们第一次相遇后，甲的速度提高了20%，乙的速度提高了30%，这、样当甲到达B地时，乙离A地还有14千米。
那么A,B两地间的距离是多少千米？
边讲边练：
1、甲乙两人步行的速度比为13:
11，他们分别由A,B两地同时出发相向而行，0.5小时后相遇。
如果他们同向而行，那么甲追上乙需要几小时？
2、从学校到少年宫，小明要2小时，东东要1小时40分钟。
若小明从A地出发8分钟后，东东学校出发追小明。
东东出发多久能追上小明？
3、甲乙两车分别从AB两地出发，相向而行。
出发时，甲乙的速度比为5:
4，相遇后，甲的速度减少了20%，乙的速度增加了20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。
那么AB两地相距多少千米？
例12：
一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果按照原速行驶120千米后，再将速度提高25%，则可提前40分钟到达。
那么甲乙两地相距多少千米？
边讲边练：
1、一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高25%，那么可以比原定时间提前24分钟到达，如果以原速行驶80千米后，再将速度提高
，那么可以提前10分钟到达乙地，甲乙两地相距多少千米？
2、一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形，这个长方形的面积与原来正方形的面积相等，原正方形面积是多少？
3、客货两车同时从甲乙两地相对开出，相遇时客货两车所行驶的路程比为5:
4，相遇后货车每小时比相遇前夺走27千米，客车仍按原速行驶，结果两车同时到达对方的出发站，已知客车一共行了10小时，甲乙两地相距多少千米？
例13、甲乙两班学生到离校24千米的飞机场参观学习，一辆汽车一次只能坐一个班的学生，为了尽快到达机场，两个班商定由甲班先坐车，乙班步行，同时出发，甲班学生在中途下车步行去机场，汽车立即返回接途中步行的乙班同学。
已知两班学生步行的速度相同，汽车的速度是不行的7倍，问汽车应在距机场多少千米处返回接乙班学生？
（学生上下车以及汽车换向时间不计算在内）
边讲边练：
1、红星小学有80名学生租了一辆40座的汽车去海边观看日出，未乘上车的学生步行和汽车同时出发，由汽车往返接送。
学校离海边48千米，汽车的速度是步行的9倍。
汽车应该在距离海边多少千米处返回接第二批学生，才能使学生同时到达海边？
2、一辆汽车把货物从甲地运往乙地只用了5小时去时所用时间是回来的
倍，去时每小时比回来时慢17千米，汽车往返共行了多少千米？
3、甲乙两人以同样的速度同时从AB两地相向出发，相遇后甲的速度提高了
，用
小时到达B地。
乙的速度减少了
，再用多少小时可以到达A地？
课后作业：
1、一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶50千米，返回时每小时行60千米，已知去时用6小时，那么返回时用几小时？
2、一辆汽车从甲地到乙地，去时每小时行驶45千米，返回时每小时行50千米，问这辆汽车去时和返回时所用的时间比。
3、一辆汽车从甲地到乙地，每小时行40千米，返回时每小时行50千米，已知去时比返回时多用1
小时，那么去时用了多少时间？
甲、乙两地相距多少千米？
（两种方法）
4、包子去登山，上午6点出发，走了一段平坦的路，爬上了一座山，在山顶停了1小时后按照原路返回，下午11点回到家。
已知他走平路时的速度为每小时4千米，上坡速度为每小时3千米，下坡速度为每小时6千米。
问：
包子一共走了多少千米？
5、一辆汽车从甲地到乙地，每小时行60千米，返回时速度减小了
，已知去时比返回时多用1
小时，那么去时用了多少时间？
甲、乙两地相距多少千米？
（两种方法）
6、甲、乙两辆汽车从A、B两地相向而行，当甲车行了全程的
时，乙车行了全程的
，当乙车行完全程时，甲车距终点还有20千米。
问A、B两地相距多少千米？
7、客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米．已知货车的速度是客车的3/甲、乙两城相距多少千米？
（240）
8、小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。
有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。
那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？
【解】后一半路程和原来的时间相等，这样前面一半的路程中和平时的速度比=3：
1，所以时间比=1：
3，也就是节省了2份时间就是10分钟，所以后一半路程走路的时间就是10÷2×3=15分钟，全部路程原来需要30分钟。
9、甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。
（176）
10、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是12时几分？
11、客车3小时所行的路程是汽车4小时所行路程的60%，客车与小汽车的
速度比为：
（）
A、4:
3B、4:
5C、5:
4D、3:
4
12、甲、乙两辆船同时从A地开往B地，乙船的速度是甲船的1.2倍，经过12小时，乙船到达B地，此时甲船离B地还有54千米，求A、B两地的路程。
13、客车和货车同时从两地相对开出，9小时相遇，相遇时客车正好行了
全程的60%，客车每小时比货车快15千米，两地的距离是多少千米？
14、菠萝从家到学校正好要翻越一座小山，她上坡每分钟行50米，下坡速度比上坡快40%，从家到学校的路程为2800米，上学要用50分钟。
从学校回家要用多少时间？
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