吉林大学离散数学课后习题答案.docx
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吉林大学离散数学课后习题答案
第二章命题逻辑
§2.2
主要解题方法
2.2.1
证明命题公式恒真或恒假
主要有如下方法：
方法一.真值表方法。
即列出公式的真值表，若表中对应公式所在列的每一取值全为1，这说明该公式在它的所有解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每一取值全为0,这说明该公式在它的所有解释下都为假，因此是恒假的。
真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。
例221说明G=（PQR）（PQ）（PR）是恒真、
恒假还是可满足。
解：
该公式的真值表如下：
P
Q
R
PQ
R
P
Q
（PQ
R）
（PQ）
PR
G
0
0
0
1
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
表2.2.1
由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为1,故
G恒真
方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实现公式恒真或恒假的证明。
例2.2.2说明G=（（PR）
R）（
（QP）
P）是恒真、恒假还是可满足。
解：
由（PR）R=P
R
R=1,
以及
（QP）P=（
Q
P）P
=QP
P=0
知，（（PR）R）
（
（QP）
P）=0，故
G恒假
方法三.设命题公式G含n个原子，若求得G的主析
取式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得G的主合
取式包含所有2n个极大项，则G是恒假的。
方法四.对任给要判定的命题公式G,设其中有原子Pi,P2,…，Pn,令Pi取1值，求G的真值，或为1,或为0,或成为新公式G且其中只有原子P2,…，Pn,再令Pi取0值，求G真值，如此继续，到最终只含0或1为止，若最终结果全为1,则公式G恒真，若最终结果全为0,则公式G恒假，若最终结果有1,有0,则是可满足的。
例子参见书中例243。
方法五.注意到公式G蕴涵公式H的充要条件是：
公式GH是恒真的；公式G,H等价的充要条件是：
公式GH是恒真的，因此，如果待考查公式是GH型的，可将证明GH是恒真的转化为证明G蕴涵H;如果待考查公式是GH型的，可将证明GH是恒真的转化为证明G和H彼此相蕴涵。
例2.2.3证明G=（P
R）
（（Q
R）
（（P
Q）
R））恒真。
证明：
要证明（P
R）
（（Q
R）
（（P
Q）
R））
恒真，只需证明（P
R）
（（Q
R）
（（P
Q）
R））。
我们使用形式演绎法
（1）PR
规则1
（2）QR
附加前提
（3）PR
规则2,根据
（1）
（4）QR
规则2,根据
（2）
（5）（PR）（QR）
规则2,根据（3）、
（4）
（6）（PQ）R
规则2,根据（5）
（7）（PQ）R
规则2,根据（6）
（8）（PQ）R
规则2,根据（7）
（8）
2.2.2公式蕴涵的证明方法
主要有如下方法：
给出两个公式A,B,证明A蕴涵B,我们有如下几种方法：
方法一.真值表法。
将公式A和公式B同列在一真值表中，扫描公式A所对应的列，验证该列真值为1的每一项，它所在行上相应公式B所对应列上的每一项必为1（真），则公式A蕴涵B。
例2.2.4设A=（PQR）（PQ），B=（PR），证明:
ABo
证明：
P
Q
R
PQ
R
P
Q
A
B
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
表222
由表2.2.2可以看出，使A为真的解释均使B亦为真，因此，ABo
方法二.证明AB是恒真公式。
由例2.2.1知，（PQR）（PQ）（PR）恒真，因此，立即可得到例2.2.4中的结论：
（PQR）（PQ）（PR），即ABo
例2.2.5设A、B和C为命题公式，且AB。
请分别阐述（肯定或否定）下列关系式的正确性。
（1）（AC）（BC）；
（2）（AC）（BC）。
解：
由AB知，AB是恒真公式，故A=1时，B不可能为0o
真值表如下：
A
B
C
AB
（AC）
（AC）
（BC）
（BC）
0
0
0
1
1
1
0
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
表223
从真值表可以看出，
（A
C）
（BC）是恒真公式，所以，
（AC）
（BC）（A
C）
（B
C）正确；（AC）（BC）
不是恒真公式，所以，
（A
C）
（BC）不正确。
例2.2.6
设A=（R
P）
Q,B=PQ,证明A蕴涵Bo
证明：
我们来证明
A
B恒真。
（（R
P）
Q）
（PQ）=（（
RP）
Q）
（
P
Q）
=（（
RP）
Q）
（
P
Q）
=（
RQ）
（P
Q）
（P
Q）
方法三.利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导。
对于例226，由基本等价式可得：
A=（R
P）
Q
=（
R
P）
Q
=（R
P
）
Q
=（R
Q）
（
PQ）
=（R
Q）
（P
Q）
由教材中基本蕴涵式2.P
Q
Q可知，（RQ）（PQ）
（PQ），即A蕴涵Bo
方法四.任取解释I，若I满足A,往证I满足Bo
例2.2.7设A=PQ,B=（RQ）（（PR）Q）,
证明A蕴涵Bo
证明：
任取解释I，若I满足A则有如下两种情况：
（1）在解释I下，P为假，这时，B等价于（RQ）
（RQ）,因此，I亦满足Bo
（2）在解释I下，P为真，Q为真，所以，PRQ为真，故B为真，即，I满足Bo
综上，I满足B,因此，A蕴涵Bo
方法五.反证法，设结论假，往证前提假。
对于例226，证明（RP）Q蕴涵PQ,若使用方法三，是很烦琐的，而使用方法四，就很简单。
假设存在解释I使PQ为假，则只有一种情形，P在I下为真，且Q
在I下为假，这时RP在I下为真，故I弄假（RP）Q。
因此，（RP）Q蕴涵PQ。
方法六.分别将公式A和公式B转化为它们各自的主析取式或主合取式。
若公式A的主析取式所包含的所有极小项也包含在公式B的主析取式中；或者，公式B的主合取式中
所包含的极大项均包含在公式A的主合取式中，则公式A蕴
涵公式Bo
使用这种方法需要注意，当公式A和公式B中包含的原子不完全相同时，在求两公式的极小项或极大项时，要考虑该两公式包含命题原子的并集中的所有原子。
在例2.2.6中，A和B的主析取式分别为：
A=（
P
QR）
（
P
Q
R）
（
PQ
R）
（P
Q
R）
（P
QR）,
B=（
P
Q
R）
（
P
Q
R）
（
PQ
R）
（
P
QR）
（P
Q
R）
（P
Q
R）,
可见，
ABe
1
A和B的主合取式分别为：
A=（PQR）（PQR）（PQR）,
B=（PQR）（PQR）
可见，ABo
另外若给出前提集合S={G,…，G},公式G,证明SG有如下两种方法：
1.Gi…GkG
2.形式演绎法：
根据一些基本等价式和基本蕴涵式，从S出发，演绎出G
教材中已经给出了这方面的例子，在此不再赘述。
2.2.3求主合取式和主析取式
1.极小项与极大项的性质
以3个原子为例，则对应极小项和极大项的表为：
P
Q
R
极小项
极大项
0
0
0
m0=P
QR
M=PQR
0
0
1
m=PQR
M=PQR
0
1
0
m=PQR
M=PQR
0
1
1
m=PQR
M=PQR
1
0
0
m=PQR
Ml=PQR
1
0
1
m=PQR
M=PQR
1
1
0
m=PQR
M=PQR
1
1
1
m=PQR
M=PQR
表224
由表2.2.4可知，对n个命题原子Pi,…，Pn,极小项有如下性质：
（1）n个命题原子Pi,…，Pn有2n个不同的解释，每个解释对应Pi,…，Pn的一个极小项。
（2）对R,…，Pn的任意一个极小项m有且只有一个解释使m取1值，若使极小项取1的解释对应的二进制数为
i,则m记为m,于是关于Pi,•…Pn的全部极小项为m,m,…,m?
n1。
（3）任意两个不同的极小项的合取式恒假：
mmj=0,i工j。
2n1
（4）所有极小项的析取式恒真：
mi=1。
i0
极大项有如下性质：
（1）n个命题原子P1,…，Pn有2n个不同的解释，每个解释对应Pl,…，Pn的一个极大项。
（2）对R,…，Pn的任意一个极大项M有且只有一个解释使M取0值，若使极大项取0的解释对应的二进制数为
i，则M记为M，于是关于Pi,•…Pn的全部极大项为M,M「・，M2n1。
（3）任意两个不同的极大项的析取式恒真：
MMj=1,i工j。
2n1
（4）所有极大项的合取式恒假：
Mi=0。
i0
2.主合取式与主析取式之间的关系
由极小项和极大项的定义可知，二者有如下关系：
nn=Mi,M=mi
由此可知，若P
QR为一公式
G的主合取式，
则
G=
G
=
M。
=
（Mi
M2
•••
M6）
=
M
M
•••
M
=
mim2
•••
m6
为G的主析取式。
若（PQ）
（PQ）
（P
Q）
为一公式
H的主析取式，则
（m2）
H=
=M
PQ
为H的主合取式
含有k个极小项：
mh,...,mik，贝UA的主析取式中必含有其余
的2n-k个极小项，
不妨设为：
mj「
…叫
，即
k
人饷…
。
因此，
A=
A
=
（E
...m,）
=
E...
=
Mj1...Mj
由此可知，从一公式A的主析取式求其主合取式的步骤如下:
（1）求出A的主析取式中没有包含的所有极小项。
（2）求出与
（1）中极小项下标相同的极大项。
（3）将
（2）求出的所有极大项合取起来，即得A的主合取式。
类似地，从一公式A的主合取式求其主析取式的步骤为：
（1）求出A的主合取式中没有包含的所有极大项。
（2）求出与
（1）中极大项下标相同的极小项。
（3）将
（2）求出的所有极小项析取起来，即得A的主析取式。
3.求主合取式和主析取式的方法
方法一.真值表法。
主析取式恰好是使得公式为真的解释所对应的极小项的析取组成，主合取式恰好是使得公式为假的解释所对应的极大项的合取组成。
方法二.公式推导法。
设命题公式G中所有不同原子为
Pl,…，Pn,贝yG的主析取式的求法如下：
（a）将公式G化为析取式。
（b）删去析取式中所有恒假的短语。
（c）用等幕律将短语中重复出现的同一文字化简为一次出现，如，PP=Po
（d）对于所有不是关于Pl,…，Pn的极小项的短语使用
同一律，补进短语中未出现的所有命题原子，并使用分配律展开，即，如果短语G'不是关于Pl,…，Pn的极小项，则G'中必然缺少原子，不妨设为Pj1，…，Pjk，于是
Gi'=G'（PjiPi）…（Pk
Pk）
mii...m,
i2
这样，就将非极小项G'化成了一些极小项之析取。
将相同的短语的多次出现化为一次出现，就得到了给定公式的主析取式。
主合取式的求法类似，留给读者作为练习。
由上面讨论可知，只要求出一种式，可立即得到另外一种
式。
例2.2.8求公式G=…（Q-R）的主析取式与主合取式。
解：
（1）使用真值表法。
见表2.2.5。
表225
根据真值表中使得公式为真的解释，所对应的极小项的
析取即为其主析取式:
G=（
P
Q
R）
（
P
QR）
（
P
Q
R）
（P
QR）
（P
Q
R）
（PQ
R）
（P
Q
R）
=m
o
mi
m2
m3m4m5
m7
根据真值表中使得公式为假的解释，所对应的极大项的合取即为其主合取式：
G=PQR=M6
（2）公式推导法
G=…（Q—R）
=P
Q
R
=（P
（Q
Q）
（R
R））
（Q
（P
P）
（R
R））
（R
（P
P）
（Q
Q））
=（P
Q
R）
（
PQR）
（
PQR）
（P
Q
R）
（P
Q
R）（PQ
R）
G=…（Q—R）
4.主合取式与主析取式的应用
（1）由2.2.1可知，利用主合取式与主析取式可求解判定问题。
（2）证明等价式成立。
由于任意公式的主式是唯一的，所以可以分别求出两个给定的公式的主式，若二者主式相
同，则给定的两公式是等价的，否则，给定的两公式不等价
例2.2.9判断P—（Q—巳与（PQ）—R是否等价
证明：
我们利用求主合取式的方法来判断。
由例2.2.8知，P—（Q—R）的主合取式为：
M。
下面
（（PP）
求（PQ）—R的主合取式
（PQ）—R=
（PQ）
R
=（
PQ）
R
=（
PR）
（QR）
=（
P（Q
Q）R）
QR）
PQR）（PQR）
=M2M4M6
二者的主合取式不相同，因此，这两个公式不等价。
2.2.4联结词的转化和全功能集
关于联结词的转化和全功能集方面一般有如下题型：
（1）要求只用几个联结词表示某个命题公式，见例
2.2.10。
（2）给出一个新的联结词的定义，要求证明其是全功能集，并用其表示某个命题公式。
这种题目的做法如下：
由于
不难证明出{,},{,},{,-},{},{}都
是全功能联结词集合，因此，若要证明新定义的联结词是全功能集，只需证明上面某个全功能集合（比如{,}）中
的每个联结词（如，和）都可以用新联结词表示。
若想
用其表示某个命题公式，可以先将基本联结词（，，）用给定的新联结词表示，然后按要求把原命题公式转化成用新联结词表示的形式。
见例2.2.11。
（3）证明一个联结词集合不是全功能集。
一般用归纳法，证明在有限步，用这个联结词结合不可能表示所有的命题。
见例2.2.12。
应该说明的是，寻求最少联结词的全功能联结词集合，主
要不是个理论问题，而是为了满足工程实践的需要。
但是，一般情况下，为了不至于因为联结词的减少而使得公式的形式变得复杂，我们仍常采用“，，，宀，”这5个
联结词。
例2.2.10
将公式（—（Q
R））
（
PQ）
用仅
含联结词
和
的公式等价表示。
解：
（…
（QR））（P
Q）=
P
（Q
R））
（P
Q）
=
（
P
（P
Q））
（（Q
R）
（PQ）
=
（
P
Q
（Q
（PQ））（R（PQ））
=（PQ）
（PQ）（（PQ）R）
=PQ
=（PQ）
例2.2.11定义三元联结词如表226。
ei
e2
e3
f（ei,e2,e3）
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
表226三元联结词f（ei,e2,e3）的真值表
（1）试证明｛f｝是完备的，即，联结词集合
｛，｝可由该联结词表示。
（2）用该联结词表示公式:
（1）证明：
因为
的。
所以
—Q=PQ=f（P,P,Q）.
又由
PQ=（PQ）=（Q
P）
=f（P,P,Q）=
f（Q,Q,P）.
因此
（P—R）
Q=f（P,P,R）Q
=f（Q,Q,f（P,P,R））
=f（Q,Q,f（P,P,f（R,R,R）））
=f（f（Q,Q,f（P,P,f（R,R,R）））,
f（Q,Q,f（P,
P,f（R,R,R）））,f（Q,Q,f（P,P,f（R,R,R））））
。
例2212｛,-｝是否是联结词的全功能集合？
证明
你的结论。
在证明此题之前，我们先直观分析一下。
考虑和—这
两个联结词的特点：
当一个命题公式中只含有联结词和—
时，则当公式中出现的所有命题原子都取真值1时，公式也
必然取真值1。
这就是说，仅含和—的公式不能表示所有
的命题公式，比如恒假式：
AA。
因此，联结词集合｛,
—｝不是全功能集。
证明：
下面证明｛，—｝不是联结词的全功能集。
对公式中出现的联结词个数使用数学归纳法来证明下面的结论：
当一个命题公式中只含有联结词和—时，则当
公式中出现的所有命题原子都取真值1时，公式也必然取真
值1。
n=0时，即公式中不含任何联结词时，公式为原子，结
论显然。
假设nWk时，命题成立，即，如果一个公式中含有n个联结词，—，则当公式的所有原子真值取1时，公式也取真值1。
当n=k+1时，设任一含k+1个联结词的公式为A则存在公式B和G使得：
A=BX或A=BG
且B和C中的联结词个数均Wk。
由归纳假设知，当所有原子取真值1时，B和C在该解释下的真值均为1,因此，A在该解释下的真值亦为1。
归纳完成。
由该结论知，如果一个命题公式中只含有联结词和―，
那么至少存在一个解释满足该公式。
因此，只含有联结词和t的公式肯定不能表示恒假公式。
所以，{,t}不是联
结词的全功能集。
225综合应用题
综合题主要是先符号化，再使用上面的知识进行联结词的转化、或求主合取式、主析取式、利用基本等价式化简、
或进行逻辑推理来论证或做逻辑判断等。
例2213—个排队线路，输入为A,B,C,其输出分别为Fa,FB,FC。
在同一时间只能有一个信号通过。
如果同时有两个或两个以上信号通过时，则按A，B，C的顺序输出。
例如，AB，C同时输入时，只能A有输出。
写出Fa,Fb,Fc的逻辑表达式，并化成全功能集{}中的表达式。
解：
先将已知事实中的各简单命题符号化，设：
P:
A输入；
Q:
B输入；
R:
C输入。
然后根据已知条件，写出Fa,Fb,Fc的真值表如表2.2.7。
P
Q
R
Fa
Fb
Fc
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
1
1
0
0
于是，
FA=
（P
表227
R）
（P
QR）
（PQ
R）
（P
QR）
R））
=P
=（P
（（P
（P
（P
（PP）
（（P
P）
Q）
P）
P）
（RR））
（PQ）
（PP））
（PP）.
（（PQ（R
Fb=（
R）（P
QR）
=（
Q）
Q）
（P
Q）
=P
（Q
Q）
Fc=P
=（PQR）
=（PQ）（R）
=（（PQ））（R）
=（（PQ））（R）
=（（PQ）（PQ））（RR）
例2.2.14一一个公安人员审查一件盗窃案，已知的事
实如下：
（1）A或B盗窃了x
（2）若A盗窃了x，则作案时间不能发生在午夜前
（3）若B证词正确，则在午夜时屋里灯光未灭
（4）若B证词不正确，则作案时间发生在午夜前
（5）午夜时屋里灯光灭了
（6）A并不富裕
试用演绎法找出盗窃犯。
解：
先将已知事实中的各简单命题符号化，设：
P：
A盗窃了x
Q:
B盗窃了x
R:
作案时间发生在午夜前
S：
B证词正确
T:
在午夜时屋里灯光未灭
U：
A并不富裕
再将各前提写出：
G1:
PVQG2:
P—R
G3:
S—TG4:
:
S—RG5:
TG6:
U
演绎过程为
1）
S—T
（规则1）
2）
T
（规则1）
3）
S
（规则2）
4）
S—R
（规则1）
5）
R
（规则2）
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