吉林大学离散数学课后习题答案.docx

1、吉林大学离散数学课后习题答案第二章 命题逻辑2.2主要解题方法2.2.1证明命题公式恒真或恒假主要有如下方法：方法一 . 真值表方法。即列出公式的真值表，若表中对 应公式所在列的每一取值全为 1，这说明该公式在它的所有 解释下都是真，因此是恒真的；若表中对应公式所在列的每 一取值全为0,这说明该公式在它的所有解释下都为假，因 此是恒假的。真值表法比较烦琐，但只要认真仔细，不会出错。例 221 说明 G= (P Q R) (P Q) (P R)是恒真、恒假还是可满足。解：该公式的真值表如下：PQRP QRPQ(P QR)(P Q)P RG00011111001111110101111101111

2、11110010011101100111100100111111111表 2.2.1由于表2.2.1中对应公式G所在列的每一取值全为 1,故G恒真方法二.以基本等价式为基础，通过反复对一个公式 的等价代换，使之最后转化为一个恒真式或恒假式，从而实 现公式恒真或恒假的证明。例 2.2.2 说明 G= (P R)R)(Q P)P)是恒真、恒假还是可满足。解：由(P R) R= PRR=1 ,以及(Q P) P= (QP) P=Q PP=0知，(P R) R)(Q P)P)=0，故G恒假方法三.设命题公式G含n个原子，若求得 G的主析取式包含所有2n个极小项，则G是恒真的；若求得 G的主合取式包含所

3、有2n个极大项，则G是恒假的。方法四.对任给要判定的命题公式 G,设其中有原子Pi, P2,，Pn,令Pi取1值，求G的真值，或为1,或为0,或 成为新公式G且其中只有原子 P2,，Pn,再令Pi取0值， 求G真值，如此继续，到最终只含 0或1为止，若最终结果 全为1,则公式G恒真，若最终结果全为 0,则公式G恒假， 若最终结果有1,有0,则是可满足的。例子参见书中例243。方法五.注意到公式G蕴涵公式H的充要条件是：公式 G H是恒真的；公式 G, H等价的充要条件是：公式 G H是 恒真的，因此，如果待考查公式是 G H型的，可将证明G H 是恒真的转化为证明 G蕴涵H;如果待考查公式是

4、G H型的， 可将证明G H是恒真的转化为证明 G和H彼此相蕴涵。例2.2.3 证明G= (PR)(QR)(PQ)R）恒真。证明：要证明（PR)(QR)(PQ)R)恒真，只需证明（PR)(QR)(PQ)R)。我们使用形式演绎法（1）P R规则1（2）Q R附加前提(3) P R规则2,根据（1）(4) Q R规则2,根据（2）（5）（ P R） （ Q R）规则2,根据（3）、(4)（6）（ P Q） R规则2,根据（5）（7） （ P Q） R规则2,根据（6）(8)( P Q) R规则2,根据（7）（8）2.2.2公式蕴涵的证明方法主要有如下方法：给出两个公式 A, B,证明A蕴涵B,我

5、们有如下几种方法：方法一.真值表法。将公式A和公式B同列在一真值表中， 扫描公式A所对应的列，验证该列真值为 1的每一项，它所 在行上相应公式 B所对应列上的每一项必为 1 （真），则公式 A蕴涵B。例 2.2.4 设 A= (P Q R) (P Q)，B=(P R)，证明:A Bo证明：PQRP QRPQAB00011110011111010111101111111001001101100111001001111111表222由表2.2.2可以看出，使A为真的解释均使 B亦为真，因 此，A Bo方法二.证明A B是恒真公式。由例2.2.1知，(P Q R) (P Q) (P R)恒真，因此，

6、 立即可得到例2.2.4 中的结论：(P Q R) (P Q) (P R)，即 A Bo例2.2.5 设A、B和C为命题公式，且 A B。请分别阐 述(肯定或否定)下列关系式的正确性。(1) (A C) (B C)；(2) (A C) ( B C)。解：由A B知，A B是恒真公式，故 A=1时，B不可能 为0o真值表如下：ABCA B(A C)(A C)(B C)(B C)000111001111010110011111110111111111表223从真值表可以看出，(AC)(B C)是恒真公式，所以，(A C)(B C) (AC)(BC)正确；(A C) ( B C)不是恒真公式，所以，

7、(AC)(B C)不正确。例 2.2.6设 A=(RP)Q, B= P Q,证明A蕴涵Bo证明：我们来证明AB恒真。(RP)Q)(P Q)=(R P)Q)(PQ)=(R P)Q)(PQ)=(R Q)(PQ)(PQ)方法三.利用一些基本等价式及蕴涵式进行推导。对于例226，由基本等价式可得：A=(RP)Q=(RP)Q=(RP)Q=(RQ)(P Q)=(RQ)(PQ)由教材中基本蕴涵式 2. PQQ 可知，(R Q) ( P Q)(P Q)，即A蕴涵Bo方法四.任取解释I，若I满足A,往证I满足Bo例 2.2.7 设 A= P Q, B=(R Q) (PR) Q),证明A蕴涵Bo证明：任取解释I，

8、若I满足A则有如下两种情况：(1)在解释I下，P为假，这时，B等价于(R Q)(R Q),因此，I亦满足Bo(2)在解释I下，P为真，Q为真，所以，P R Q 为真，故B为真，即，I满足Bo综上，I满足B,因此，A蕴涵Bo方法五.反证法，设结论假，往证前提假。对于例226，证明(R P) Q蕴涵P Q,若使用方 法三，是很烦琐的，而使用方法四，就很简单。假设存在解 释I使P Q为假，则只有一种情形， P在I下为真，且Q在I下为假，这时R P在I下为真，故I弄假(R P) Q。因此，(R P) Q蕴涵P Q。方法六.分别将公式A和公式B转化为它们各自的主析 取式或主合取式。若公式 A的主析取式所

9、包含的所有极小项 也包含在公式B的主析取式中；或者，公式 B的主合取式中所包含的极大项均包含在公式 A的主合取式中，则公式 A蕴涵公式Bo使用这种方法需要注意， 当公式A和公式B中包含的原子 不完全相同时，在求两公式的极小项或极大项时，要考虑该 两公式包含命题原子的并集中的所有原子。在例2.2.6中，A和B的主析取式分别为：A=(PQ R)(PQR)(P QR)(PQR)(PQ R),B=(PQR)(PQR)(P QR)(PQ R)(PQR)(PQR),可见，A Be1A和B的主合取式分别为：A=(P Q R) ( P Q R) ( P Q R),B=( P Q R) ( P Q R)可见，A

10、 Bo另外若给出前提集合 S=G ,，G,公式G,证明S G 有如下两种方法：1. G i Gk G2.形式演绎法：根据一些基本等价式和基本蕴涵式， 从S出发，演绎出G教材中已经给出了这方面的例子，在此不再赘述。2.2.3 求主合取式和主析取式1.极小项与极大项的性质以3个原子为例，则对应极小项和极大项的表为：PQR极小项极大项000m0= PQ RM=P Q R001m= P Q RM=P Q R010m= P Q RM=P Q R011m= P Q RM=P Q R100m= P Q RMl= P Q R101m=P Q RM= P Q R110m= P Q RM= P Q R111m=

11、P Q RM= P Q R表224由表2.2.4可知，对n个命题原子Pi,，Pn,极小项有 如下性质：(1)n个命题原子Pi,，Pn有2n个不同的解释，每个解 释对应Pi,，Pn的一个极小项。(2) 对R,，Pn的任意一个极小项 m有且只有一个 解释使m取1值，若使极小项取1的解释对应的二进制数为i ,则m记为m,于是关于Pi, Pn的全部极小项为 m, m, m?n 1。(3) 任意两个不同的极小项的合取式恒假： m mj=0, i工j。2n 1(4 )所有极小项的析取式恒真： mi =1。i 0极大项有如下性质：(1)n个命题原子P1,，Pn有2n个不同的解释，每个解 释对应Pl,，Pn的

12、一个极大项。(2) 对R,，Pn的任意一个极大项 M有且只有一个 解释使M取0值，若使极大项取0的解释对应的二进制数为i，则M记为M，于是关于Pi, Pn的全部极大项为 M,M， M 2n 1。(3) 任意两个不同的极大项的析取式恒真： M Mj=1, i工j。2n 1(4) 所有极大项的合取式恒假： Mi =0。i 02.主合取式与主析取式之间的关系由极小项和极大项的定义可知，二者有如下关系：nn= Mi , M= mi由此可知，若PQ R为一公式G的主合取式，则G =G=M。=(MiM2 M6)=MM M=mi m2 m6为G的主析取式。若(P Q)(P Q)(PQ)为一公式H的主析取式，

13、则(m 2)H=MP Q为H的主合取式含有k个极小项：mh,.,mik，贝U A的主析取式中必含有其余的2n-k个极小项，不妨设为：mj叫，即k人饷。因此，A=A=(E.m,)=E .=M j1 . M j由此可知，从一公式A的主析取式求其主合取式的步骤如下:(1)求出A的主析取式中没有包含的所有极小项。(2)求出与(1)中极小项下标相同的极大项。(3)将(2)求出的所有极大项合取起来，即得 A的主合取 式。类似地，从一公式 A的主合取式求其主析取式的步骤为：(1)求出A的主合取式中没有包含的所有极大项。(2)求出与(1)中极大项下标相同的极小项。(3) 将(2)求出的所有极小项析取起来，即得

14、 A的主析取 式。3.求主合取式和主析取式的方法方法一.真值表法。主析取式恰好是使得公式为真的解释 所对应的极小项的析取组成，主合取式恰好是使得公式为假 的解释所对应的极大项的合取组成。方法二. 公式推导法。设命题公式 G中所有不同原子为Pl,，Pn,贝y G的主析取式的求法如下：(a)将公式G化为析取式。(b)删去析取式中所有恒假的短语。(c)用等幕律将短语中重复出现的同一文字化简为一 次出现，如，P P=Po(d)对于所有不是关于 Pl,，Pn的极小项的短语使用同一律，补进短语中未出现的所有命题原子，并使用分配律 展开，即，如果短语 G 不是关于Pl,，Pn的极小项，则 G 中必然缺少原子

15、，不妨设为 Pj1，Pjk，于是G i = G (Pji Pi)(PkPk)mii . m,i 2这样，就将非极小项 G 化成了一些极小项之析取。将相同 的短语的多次出现化为一次出现，就得到了给定公式的主析 取式。主合取式的求法类似，留给读者作为练习。由上面讨论可知，只要求出一种式，可立即得到另外一种式。例2.2.8 求公式G=(Q-R)的主析取式与主合取式。解：(1)使用真值表法。见表 2.2.5。表225根据真值表中使得公式为真的解释，所对应的极小项的析取即为其主析取式:G=(PQR)(PQ R)(PQR)(PQ R)(PQR)(P QR)(PQR)=momim2m3 m4 m5m7根据真

16、值表中使得公式为假的解释，所对应的极大项的 合取即为其主合取式：G= P Q R= M6(2)公式推导法G=(Q R)= PQR=(P(QQ)(RR)(Q(PP)(RR)(R(PP)(QQ)=( PQR)(P Q R)(P Q R)(PQR)(PQR) (P QR)G=(Q R)4.主合取式与主析取式的应用(1)由2.2.1可知，利用主合取式与主析取式可求解 判定问题。(2)证明等价式成立。由于任意公式的主式是唯一的， 所以可以分别求出两个给定的公式的主式，若二者主式相同，则给定的两公式是等价的， 否则，给定的两公式不等价例2.2.9 判断P (Q巳与(P Q) R是否等价证明：我们利用求主合

17、取式的方法来判断。由例2.2.8知，P (Q R)的主合取式为： M。下面(P P)求(P Q) R的主合取式(P Q) R =(P Q)R= (P Q)R= (P R)(Q R)= (P ( QQ) R)Q R)P Q R） （P Q R）=M 2 M4 M6二者的主合取式不相同，因此，这两个公式不等价。2.2.4 联结词的转化和全功能集关于联结词的转化和全功能集方面一般有如下题型：（1 ）要求只用几个联结词表示某个命题公式，见例2.2.10。（2） 给出一个新的联结词的定义，要求证明其是全功能 集，并用其表示某个命题公式。这种题目的做法如下：由于不难证明出 , , , , ,-, , 都是

18、全功能联结词集合，因此，若要证明新定义的联结词是全 功能集，只需证明上面某个全功能集合（比如 , ）中的每个联结词（如， 和）都可以用新联结词表示。若想用其表示某个命题公式，可以先将基本联结词 （，） 用给定的新联结词表示，然后按要求把原命题公式转化成用 新联结词表示的形式。见例 2.2.11。（3） 证明一个联结词集合不是全功能集。 一般用归纳法， 证明在有限步，用这个联结词结合不可能表示所有的命题。见例 2.2.12。应该说明的是，寻求最少联结词的全功能联结词集合， 主要不是个理论问题，而是为了满足工程实践的需要。但是， 一般情况下，为了不至于因为联结词的减少而使得公式的形 式变得复杂，我

19、们仍常采用“ ，宀，”这5个联结词。例 2.2.10将公式(QR)(P Q)用仅含联结词和的公式等价表示。解：(Q R) ( PQ)=P(QR)(PQ)=(P(PQ)(QR)(P Q)=(PQ(Q(P Q) ( R ( P Q)= (P Q)(P Q) ( P Q) R)= P Q= (P Q)例2.2.11 定义三元联结词如表 226。eie2e3f(e i,e 2,e 3)00010011010001101001101111011110表226 三元联结词f(e i,e 2,e 3)的真值表(1)试证明 f是完备的，即，联结词集合 ， 可由该联结词表示。(2)用该联结词表示公式: (1)证

20、明：因为的。所以Q= P Q=f(P, P, Q).又由P Q= ( P Q)= ( QP)=f(P, P, Q)=f(Q, Q, P).因此(P R)Q= f(P, P, R) Q=f(Q, Q, f(P, P, R)=f(Q, Q, f(P, P, f(R,R,R)=f(f(Q, Q, f(P, P, f(R,R,R),f(Q, Q, f(P,P, f(R,R,R), f(Q, Q, f(P, P, f(R,R,R)。例2212 , -是否是联结词的全功能集合？证明你的结论。在证明此题之前，我们先直观分析一下。考虑 和这两个联结词的特点：当一个命题公式中只含有联结词 和时，则当公式中出现的

21、所有命题原子都取真值 1时，公式也必然取真值1。这就是说，仅含 和的公式不能表示所有的命题公式，比如恒假式： A A。因此，联结词集合,不是全功能集。证明：下面证明 ， 不是联结词的全功能集。对公式中出现的联结词个数使用数学归纳法来证明下 面的结论：当一个命题公式中只含有联结词 和时，则当公式中出现的所有命题原子都取真值 1时，公式也必然取真值1。n=0时，即公式中不含任何联结词时，公式为原子，结论显然。假设nWk时，命题成立，即，如果一个公式中含有 n 个联结词 ，则当公式的所有原子真值取 1时，公式也 取真值1。当n=k+1时，设任一含k+1个联结词的公式为 A则存 在公式B和G使得：A=

22、BX 或 A=B G且B和C中的联结词个数均W k。由归纳假设知，当所有原子取真值 1时，B和C在该解释 下的真值均为1,因此，A在该解释下的真值亦为 1。归纳完 成。由该结论知，如果一个命题公式中只含有联结词 和，那么至少存在一个解释满足该公式。因此，只含有联结词 和t的公式肯定不能表示恒假公式。所以， ,t 不是联结词的全功能集。225综合应用题综合题主要是先符号化，再使用上面的知识进行联结词 的转化、或求主合取式、主析取式、利用基本等价式化简、或进行逻辑推理来论证或做逻辑判断等。例2213 个排队线路，输入为 A, B, C,其输出分 别为Fa, F B, F C。在同一时间只能有一个信

23、号通过。如果同 时有两个或两个以上信号通过时， 则按A，B，C的顺序输出。例如，A B，C同时输入时，只能 A有输出。写出Fa, Fb, Fc 的逻辑表达式，并化成全功能集 中的表达式。解：先将已知事实中的各简单命题符号化，设：P : A输入；Q : B输入；R : C输入。然后根据已知条件，写出Fa, Fb, Fc的真值表如表2.2.7。PQRFaFbFc000000001001010010011010100100101100110100111100于是，F A=(P表227R)(PQ R)(P QR)(PQ R)R)=P=(P(P(P(P(P P)(PP)Q)P)P)(R R)(P Q)(

24、P P)(P P).(P Q ( RFb=(R) ( PQ R)=(Q)Q)(PQ)=P(QQ)Fc= P=(P Q R)=(P Q) ( R)=( (P Q) ( R)=( (P Q) ( R)=(P Q) (P Q) (R R)例2.2.14 一一个公安人员审查一件盗窃案， 已知的事实如下：(1)A或B盗窃了 x(2)若A盗窃了 x，则作案时间不能发生在午夜前(3)若B证词正确，则在午夜时屋里灯光未灭(4)若B证词不正确，则作案时间发生在午夜前(5)午夜时屋里灯光灭了(6)A并不富裕试用演绎法找出盗窃犯。解：先将已知事实中的各简单命题符号化，设：P： A盗窃了 xQ: B盗窃了 xR:作案时间发生在午夜前S： B证词正确T:在午夜时屋里灯光未灭U： A并不富裕再将各前提写出：G1: PV Q G2 : P RG3: S T G4 : : S R G5 : T G6 : U演绎过程为1）ST（规则1）2）T（规则1）3）S（规则 2）4）SR（规则1）5）R（规则 2）