数学一真题含答案.docx

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数学一真题含答案

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题：

1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上.

（1）当x→0+下列无穷小的阶最高的是（）.

（A）

⎰

x（et2-1）dt

0

（B）

⎰xln（1+

t3）dt

（C）

⎰

sinxsint2dt

0

【答案】（D）

xt2

'x2

0

1-cosx

（D）

⎰

0

2

sin3tdt

+

【详解】（A）（⎰0（e-1）dt）=e

x

-1x

（x→0）

3

（B）（⎰0ln（1+

t3dt）'=ln（1+

x3）x2（x→0+）

（C）

（sinxsint2dt）'=sin（sin2x）cosxx2（x→0+）

⎰

0

⎰

1-cosx

（D）.（0

sin3tdt）'=

sin3（1-cosx）sinxcx4（x→0+）

（2）函数f（x）在（-1,1）

有定义，且limf（x）=0，则（）．

x→0

（A）若lim

x→0

f（x）

x

f（x）

=0，则f（x）在x=0可导；

（B）若

lim

x→0x2

=0，则f（x）在x=0可导；

f（x）

（C）若f（x）在x=0可导，则lim

x→0

（D）若f（x）在x=0可导，则lim

x→0

x

f（x）

x2

=0；

=0.

【答案】（C）

【详解】（A）反例

（B）反例

（D）反例

f（x）=|x|

⎧0,x<0

⎨

f（x）=⎪1,x=0

⎩

⎪0,x>0

f（x）=x2

→∂f∂f→→

（3）函数f（x,y）在（0,0）可微，f（0,0）=0，n=（∂x,∂y,-1）

直，则（）

（0,0）

非零向量α与n垂

（A）

lim

→

n⋅（x,y,f（x,y））

x2+y2

（x,y）→（0,0）

存在（B）

lim存在

→

n⨯（x,y,f（x,y））

x2+y2

（x,y）→（0,0）

（C）

lim

→

α⋅（x,y,f（x,y））

x2+y2

（x,y）→（0,0）

存在（D）

lim存在

→

α⨯（x,y,f（x,y））

x2+y2

（x,y）→（0,0）

【答案】（A）

【详解】因为f（x,y）在（0,0）可微

f（x,y）-fx'⋅x-fy'⋅y

x2+y2

所以lim=0

x→0y→0

→

又因为n⋅（x,y,f（x,y））=x⋅fx'-y⋅fy'-f（x,y）

x⋅fx'-y⋅fy'-f（x,y）

x2+y2

所以lim=0

x→0y→0

x⋅fx'-y⋅fy'-f（x,y）

x2+y2

从而lim=0

x→0

y→0

→

n⋅（x,y,f（x,y））

x2+y2

即lim

（x,y）→（0,0）

=0，故选（A）.

（4）设R为幂级数∑ax收敛半径，r为实数，则（）

∞

n

n

n=0

（A）当∑ar发散时，则|r|≥R

∞

2n

2n

n=0

∞

（B）当∑ar收敛时，则|r|≤R

2n

2n

n=0

∞∞

（C）当|r|≥R时，则∑ar2n发散（D）当|r|≤R时，则∑ar2n收敛

【答案】（D）

2n

n=0

2n

n=0

【详解】由级数收敛半径的性质得D正确。

（5）设矩阵A经初等列变换得B，则（）．

（A）存在矩阵P，使得PA=B

（B）存在矩阵P，使得BP=A

（C）存在矩阵P，使得PB=A

【答案】（B）

（D）AX=0与BX=0同解

【详解】由矩阵A经过初等列变换得B，从而存在可逆矩阵Q，使得AQ=B,从而

2

BQ-1=A，令P=Q-1，则BP=A，故选B.

（6）直线l

:

x-a2=y-b2=z-c2与直线l

:

x-a3=y-b3=z-c3相交于一点，记

1

向量

⎛ai⎫

a1b1c1

a2b2c2

α=çb⎪，i=1,2,3，则（）

içi⎪

çc⎪

⎝i⎭

（A）α1可由α2、α3线性表示（B）α2可由α1、α3线性表示

（C）α3可由α1、α2线性表示（D）α1、α2、α3线性无关

【答案】（C）

【详解】由题知，两条直线的位置关系如下图：

则可知AB=α3-α2

，且又AB与α1

和α2共面，

所以可由α1

和α2

线性表示.

从而α3-α2可由α1应选（C）.

和α2线性表示，即α3

可由α1

和α2线性表示.

（7）设A，B，C为三个随机事件，且P（A）=P（B）=P（C）=1，P（AB）=0，

4

P（AC）=P（BC）=

1，则A，B，C恰有一个事件发生的概率是（）．

12

（A）3

4

（B）

2

3

（C）

1

2

（D）

5

12

【答案】（D）

【详解】

P（ABC）+P（ABC）+P（ABC）

=P（AB⋃C）+P（BA⋃C）+P（CA⋃B）

=P（A）-P（A（B⋃C））++P（B）-P（B（A⋃C））+P（C）-P（C（A⋃B））

=P（A）-P（AB⋃AC）++P（B）-P（AB⋃BC）+P（C）-P（AC⋃BC）

=P（A）-P（AB）-P（AC）+P（B）-P（AB）-P（BC）+P（C）-P（AC）-P（BC）

=5,故选D.

12

1

（8）X1,X2⋅⋅⋅X100为来自总体X的简单随机样本，其中P{X=0}=P{X=1}=，

2

∑

100

φ（X）为标准正态分布的分布函数，利用中心极限定理可得P{Xi≤55}近似值为（）.

i=1

（A）1-φ

（1）（B）φ

（1）

（C）1-φ（0.2）（D）φ（0.2）

【答案】（B）

【详解】

EX=0⋅1+1⋅1=1

222

EX2=1

2

DX=1

4

∑

100

E（Xi）=100EX=50

i=1

100

∑

D（Xi）=100DX=25

i=1

∑

100

Xi-50

所以，i=1N（0,1）

5

⎧100

⎧100⎫

∑

⎫⎪Xi-50⎪

P⎨∑Xi

⎩i=1

≤55⎬=P⎨i=1≤1⎬=Φ

（1）.故选B

⎭⎪5⎪

⎩⎪⎪⎭

二、填空题：

9～14题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定的位置上.

⎝⎭

（9）极限lim⎛1-1⎫=.

x→0çex-1ln（1+x）⎪

【详解】

⎡11⎤⎡ln（1+x）-（ex-1）⎤

lim⎢ex--

+

x）⎥=lim⎢

（ex-1）ln（1+x）⎥

x→0⎣

1ln（1

⎦x→0⎣⎦

=lim

x→0

[x-x

2

2

+

o（x

2）]-[1+x+x

2

2

x2

+

o（x

2）]+1

=lim

x→0

-x2+o（x2）x2

=-1

t2+1

⎧⎪x=

（10）⎨

⎪⎩y=ln（t+

【详解】

则

t2+1）

t=1

=.

d2y

dx2

dy

dt

dx

dt

（1+

t

t2+1

）

（t+t2+1）

t

t2+1

dy===1,

dxt

1

t2+1

d2y=d（t）⋅1=-1⋅=-



t2+1

2

2

dx2

dtdxxtt

tt3

d2y

dx2

所以,

t=1=-.

（11）函数f（x）满足f'（x）+af'（x）+f（x）=0（a>0）,f（0）=m,f'（0）=n,则

⎰

=

+∞

f（x）dx.

0

【详解】

由题设知

+∞

f（x）dx

+∞（-f'（x）-af'（x））dx=（-f'（x））+∞-（af（x））+∞

=

⎰0⎰000

=-f'（+∞）+f'（0）-af（+∞）+af（0）

又由特征方程为r2+ar+1=0

求得特征根为r1,2

=，又a>0

-a±a2-4

2

从而f（x）的通解有三种形式：

f（x）=cer1x+cer2x,f（x）=（c+cx）erx,f（x）=eαx（ccoxβx+c

sinβx）

121212

无论哪种通解，总有f'（+∞）=0,f（+∞）=0

⎰

+∞

从而0

f（x）dx=n+am

0

（12）设函数f（x,y）=⎰xyext2dt，则

∂2f

∂x∂y

（1,1）

=.

【详解】

∂f=

∂y

ex⋅（xy）2⋅x=xe

=+=

x3y2

∂2f

∂x∂y

=∂2f

∂y∂x

=ex3y2+xex3y2⋅3x2y2=ex3y2+3x3y2ex3y2,

∂2f

∂x∂y

a

0

-1

1

0

a

1

-1

-1

1

a

0

1

-1

0

a

（1,1）

e3e

4e.

（13）

【详解】

=.

a0-11

aa00

aa00

0a1

-1=0

a1-1=0

a2-1=a⋅（a3-2a-2a）

-11a0

-11a0

-11a0

1-10a

00aa

000a

=a4-4a2

⎛ππ⎫

（14）随机变量X服从ç，⎪上的均匀分布，Y=sinX.则cov（X,Y）=.

【详解】

⎝22⎭

⎧1,ππ

⎛ππ⎫

⎪-

因为zUç-,⎪，所以fX（x）=⎨π

22，EX=0，

⎝22⎭

π

⎪⎩0,其他

12π2π

⎰-π

ππ⎰0

π⎰0

E（XsinX）=

2xsinx⋅

2

π

dx=2xsinxdx=-

2xdcosx

=-2（xcosx-sinx）2=2

π0π

2

所以Cov（X,Y）=Cov（X,sinX）=E（X⋅sinX）-E（X）⋅E（sinX）=π.

三、解答题：

15～23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）（本题满分10分）

求函数f（x,y）=x3+8y3-xy的极值．

⎧∂f

⎪∂x

=3x2-y=0

⎛11⎫

【详解】令⎨∂f

得驻点（0,0）,ç,⎪

⎪

⎪=24y2-x=0

⎩∂x

⎝612⎭

∂2f

且

∂x2

=6x,

∂2f

∂x∂y

=-1,

∂2f

∂y2

=48y.

（x,y）

∂2fA=∂x2

∂2fB=∂x∂y

∂2fC=∂y2

AC-B2

极值

（0,0）

0

-1

0

<0

无

⎛11⎫

ç,⎪

⎝612⎭

1

-1

4

>0

极小

故f（x,y）在⎛1,1⎫处取得极小值且极小值f⎛1,1⎫=-1

ç612⎪

ç612⎪

216

⎝⎭⎝⎭.

（16）（本题满分10分）

计算曲线积分I=⎰

4x-y

dx+x+ydy，其中L是x2+y2=2

的逆时针方向．

L4x2+y24x2+y2

1

【详解】补线L:

4x2+y2=r,（r>0且r适当小）取逆时针.

4x-yx+y

令P（x,y）=

4x2+y2

Q（x,y）=

4x2+y2,则

∂Q=∂P=-4x2+y2-8xy

∂x∂y（4x2+y2）2

4x-yx+y

4x-yx+y

22

从而I=⎰L-L

dx+

22dy+⎰L

dx+

22dy

22

14x+y

4x+y

14x+y

4x+y

⎛∂Q-∂P⎫

=⎰⎰ç⎪dxdy+



1

（4x-y）dx+（x+y）dy

2⎰

L

D⎝∂x∂y⎭r1

12r

D

=0+r2⎰⎰2dxdy=r2⋅π⋅2⋅r=π.

1

（17）（本题满分10分）

设数列{a}满足a=1，（n+1）a

=（n+1）a

，证当x<1

时级数∑

axn收敛，并求

n1

和函数.

∞

n+12n

n

∞

n=1

n

【详解】即证∑axn收敛半径R=1.

n=1

由于lim

x→∞

n+1

an+1an

=lim2=1，所以R=1.

x→∞n+1

当x<1时，记S（x）=∑ax，则

∞

n

n

S'（x）=∑

n=1

∞

naxn-1=∑∞（n+1）axn=1+∑∞（n+1）axn

n

n=1

nn+1

n=0

n=12

∞

=1+x∑naxn-1+1S（x）=1+xS'（x）+1S（x）

n

n=122

所以（x-1）S'（x）+1S（x）+1=0，

2

即S'（x）+

1S（x）=1

2（x-1）1-x

⎢

⎣

-⎰1dx⎡1⎰1dx⎤

所以S（x）=e

2（x-1）

⎢⎰1-xe

2（x-1）

dx+C⎥

1

⎥⎦

=--1⎡⎰1

⎢

-+⎤=--

+=C+

（1x）2

⎣

1-x1

xdxC⎥⎦

（1x）

2（2

C）2.

1-x

1-x

又S'（0）=a1

=1，所以C=2

，所以S（x）=

2+2

1-x

（18）（本题满分10分）

设曲面∑是曲面方程z=

x2+y2

（1≤x2+y2≤4）的下侧，f（x）为连续函数，计算

I=⎰⎰[xf（xy）+2x-y]dydz+[yf（xy）+2y+x]dzdx+[zf（xy）+z]dxdy.

∑

【详解】该题f（x）为连续函数，不可用高斯公式.

dScosα=dydz,dScosβ=dzdx,dScosγ=dxdy,

∴dydz=cosα

=cosβ

cosγ

dxdy,dxdzdxdy

cosγ

其中cosα,cosβ,cosγ为∑上法向量n的方向向量.

x2+y2

⎛xy⎫

∑:

z=,n=ç,,-1⎪

çx2+y2x2+y2⎪

x2+y2

⎝⎭

x2+y2

∴dydz=

-xdxdy,dxdz=

-

ydxdy

⎧⎪⎛

-x⎫⎛

-y⎫⎫⎪

x2+y2

x2+y2

I=⎰⎰⎨[xf（xy）+2x-y]ç⎪+[yf（xy）+2y+x]ç⎪+[zf（xy）+z]dxdy⎬

⎪

∑⎩⎪

ç⎪ç⎪

⎝⎭⎝⎭⎭

=⎰⎰⎡-x2f（xy）-2x2+xy-y2f（xy）-2y2-xy++⎤

∑⎢⎣

x2+y2

⎢

x2+y2

=⎰⎰⎡-

f（xy）-2

zf（xy）

+

x2+y2

zf（xy）+z⎤dxdy

z⎥dxdy

⎥⎦

⎣⎦

∑

x2+y2

=⎰⎰⎡-

f（xy）-2+

f（xy）+

x2+y2⎤dxdy

x2+y2

x2+y2

⎣⎦

∑

=⎰⎰⎡-x2+y2⎤dxdy=⎰⎰

x2+y2dxdy=⎰2πdθ⎰2ρ⋅ρdρ=14π

⎣⎦

∑

（19）（本题满分10分）

1≤x2+y2≤4

013

{}

设f（x）在[0,2]具有连续导数，f（0）=f

（2）=0,M=maxf（x），证明

x∈[0,2]

（1）存在ξ∈（0,2）,使f'（ξ）≥M；

（2）若∀x∈（0,2）,f'（x）≤M,则M=0.

【详解】

（1）若M=0，则在[0,2]上f（x）≡0.

所以∀ξ∈（0,2），有f'（ξ）=0≥0=M成立.

若M>0，则设∃c∈（0,2）使f（c）=M.

由朗格朗日中值定理，∃ξ1∈（0,c）与ξ2∈（c,2），使

f'（ξ）=

f（c）-f（0）=M,f'（ξ）=



f

（2）-f（c）=-M

1c-0c2

所以f'（ξ）=M,f'（ξ）=M

2-c

2-c

1c2

2-c

若c∈（0,1]，则可取ξ=ξ1，有

f'（ξ）=M≥M

c

若c∈（1,2），则可取ξ=ξ2，有

f'（ξ）=

M

2-c

≥M.

综上所示，ξ∈（0,2）,使f'（ξ）≥M.

（2）

（20）（本题满分11分）

二次型

f（x,x）=x2-4xx+4x2

经过正交变换

⎛x1⎫=Q⎛y1⎫

化为二次型

121122

çx⎪çy⎪

⎝2⎭⎝2⎭

g（y,y）=ay2+4yy+by2（a≥b），求

121122

（1）求a,b；

（2）求正交阵Q.

【详解】设A=⎛1-2⎫

，B=⎛a2⎫，由题存在正交矩阵Q，使得QTAQ=B，

ç-24⎪

ç2b⎪

⎝⎭⎝⎭

⎧⎪A=B

⎧ab-4=0

⎩

即A与B合同，且A与B相似，故⎨

⎪⎩tr（A）=tr（B）

，从而⎨a+b=5，

又由于a≥b

，所以a=4

，b=1.

1-λ-2

令A-λE=

-24-λ=λ（λ-5）=0

，得λ1=0，λ2=5.

当λ1=0时，求解AX=0

得α=（2,1）T；

1

当λ2=5时，求解（A-5E）X=0

得α=（-1,2）T.

2

-

⎛21⎫

5

5⎪

ç

T

⎛0⎫

所以存在正交阵P1=ç

12

⎪，使得P1

AP1=∧=ç5.

ç⎪⎝⎭

5

5

ç⎪

⎝⎭

⎪

当λ1=0时，求解BX=0

得β=（-1,2）T；

1

当λ2=5时，求解（B-5E）X=0

得α=（2,1）T.

2

⎛

ç

所以存在正交阵P2=ç

12⎫

5

5⎪

-

⎪

21

，使得P2

BP=∧=⎛0⎫.

2ç

⎪

5

T

ç⎪⎝⎭

5

ç5⎪

⎝⎭

⎛-43⎫

从而PTAP=⎛0

⎫=PTBP，PPTAPPT=B，所以Q=PPT=ç55⎪.

11ç

5⎪22

2112

12ç34⎪

⎝⎭ç⎪



⎝55⎭

（21）（本题满分11分）

A为2阶矩阵，P=（α,Aα）其中α是非零向量且不是A的特征向量.

（1）证明P可逆；

（2）A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，判定