数学一真题含答案.docx

1、数学一真题含答案2020 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分. 下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，请将所选选项前的字母填在答题纸指定的位置上.（1）当 x 0+ 下列无穷小的阶最高的是（ ）.（A）x (et2 -1) dt0（B） x ln (1 +t3 )dt（C）sin x sin t2 dt0【答案】（D）x t2 x201-cos x（D）02sin3 t dt+【详解】(A) (0 (e -1)dt) = ex-1 x(x 0 )3(B) (0 ln(1 +t3 dt) = ln(1 +x3 ) x 2( x

2、 0 +)(C)( sin x sin t2dt) = sin(sin2 x) cos x x2 (x 0+ )01-cos x(D) . ( 0sin3 tdt) =sin3 (1- cos x) sin x cx4 (x 0+ )（2）函数 f (x) 在(-1,1)有定义，且lim f (x) = 0 ，则（ ）x 0（A）若limx 0f (x)xf (x)= 0 ，则 f (x) 在 x = 0可导；（B）若limx 0 x2= 0 ，则 f (x) 在 x = 0可导；f (x)（C）若 f (x) 在 x = 0 可导，则limx 0（D）若 f (x) 在 x = 0 可导，则

3、limx 0xf (x)x2= 0 ；= 0 .【答案】（C）【详解】（A）反例（B）反例（D) 反例f (x) =| x |0, x 0f (x) = x2 f f （3）函数 f (x, y) 在(0, 0) 可微， f (0, 0) = 0， n = ( x , y , -1)直，则（ ）(0,0)非零向量与 n 垂（A）limn (x, y, f (x, y) x2 + y2( x, y )(0,0)存在 （B）lim 存在n (x, y, f (x, y) x2 + y2( x, y )(0,0)（C）lim (x, y, f (x, y) x2 + y2( x, y )(0,0)存

4、在 （D）lim 存在 (x, y, f (x, y) x2 + y2( x, y )(0,0)【答案】（A）【详解】因为 f (x, y) 在(0, 0) 可微f (x, y) - f x x - f y y x2 + y2所以lim = 0x0 y0又因为 n (x, y, f (x, y) = x fx - y f y - f (x, y)x fx - y f y - f (x, y ) x2 + y2所以lim = 0x0 y0x fx - y f y - f (x, y ) x2 + y2从而lim = 0x0y0n (x, y, f (x, y) x2 + y2即 lim( x,

5、y )(0,0)= 0 ，故选（A）.（4）设 R 为幂级数 a x 收敛半径， r 为实数，则（ ）nnn = 0（A）当a r 发散时，则| r | R2n2nn =0（B）当a r 收敛时，则| r | R2n2nn =0 （C）当| r | R 时，则a r 2n 发散 （D）当| r | R 时，则a r 2n 收敛【答案】（D）2nn =02nn =0【详解】由级数收敛半径的性质得 D 正确。（5）设矩阵 A 经初等列变换得 B ，则（ ）（A）存在矩阵 P ，使得 PA = B（B）存在矩阵 P ，使得 BP = A（C）存在矩阵 P ，使得 PB = A【答案】（B）（D） A

6、X = 0与 BX = 0 同解【详解】由矩阵 A 经过初等列变换得 B ， 从而存在可逆矩阵 Q ， 使得 AQ = B, 从而2BQ-1 = A ，令 P = Q-1 ，则 BP = A，故选 B.（6）直线 l: x - a2 = y - b2 = z - c2 与直线 l : x - a 3 = y - b3 = z - c3 相交于一点，记 1向量 ai a1 b1 c1a2 b2 c2 = b ， i = 1, 2,3，则（ ）i i c i （A）1 可由2 、3 线性表示 （B）2 可由1 、3 线性表示（C）3 可由1 、2 线性表示 （D）1 、2 、3 线性无关【答案】（

7、C）【详解】由题知，两条直线的位置关系如下图：则可知 AB =3 -2，且又 AB 与1和2 共面，所以可由1和2线性表示.从而3 -2 可由1 应选（C）.和2 线性表示，即3可由1和2 线性表示.（ 7 ） 设 A ， B ， C 为三个随机事件， 且 P( A) = P(B) = P(C) = 1 ， P( AB) = 0 ，4P( AC) = P(BC) =1 ，则 A ， B ， C 恰有一个事件发生的概率是（ ）12（A）34（B）23（C）12（D）512【答案】（D）【详解】P( ABC) + P( ABC) + P( ABC) = P( AB C) + P(B A C) +

8、P(C A B)= P( A) - P( A(B C) + +P(B) - P(B( A C) + P(C) - P(C( A B)= P( A) - P( AB AC) + +P(B) - P( AB BC) + P(C) - P( AC BC)= P( A) - P( AB) - P( AC) + P(B) - P( AB) - P(BC) + P(C) - P( AC) - P(BC)= 5 ,故选 D.121（8） X1, X 2 X100 为来自总体 X 的简单随机样本，其中 PX = 0= PX = 1 = ，2100( X ) 为标准正态分布的分布函数，利用中心极限定理可得 P

9、X i 55近似值为（ ）.i =1（A）1 -(1) （B）(1)（C）1 -(0.2) （D）(0.2)【答案】（B）【详解】EX = 0 1 +1 1 = 12 2 2EX 2 = 12DX = 14100E( X i ) = 100EX = 50i=1100D( X i ) = 100DX = 25i=1100X i - 50所以， i=1 N (0,1)5 100 100 X i - 50 P X i i=1 55 = P i=1 1 = (1) .故选 B 5 二、填空题：914 题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸指定的位置上. （9）极限lim 1 - 1 =

10、.x0 ex -1 ln(1+ x) 【详解】 1 1 ln(1+ x) - (ex -1) lim ex - -+x) = lim(ex -1) ln(1+ x) x0 1 ln(1 x0 = limx0x - x22+o(x2 ) -1+ x + x22x2+o(x2 ) +1= limx0-x2 + o(x2 ) x2= -1t 2 +1x =（10） y = ln(t +【详解】,则t 2 +1)t = 1= .d 2 ydx2dydtdxdt(1+tt2 +1) (t + t2 +1)t t2 +1dy = = = 1,dx t1 t2 +1d 2 y = d (t ) 1 = -

11、1 = -t2 +122dx2dt dx xt tt t3d 2 ydx2所以,t = 1 = - .（11）函数 f (x) 满足 f (x) + af (x) + f (x) = 0(a 0), f (0) = m, f (0) = n, 则=+f (x)dx .0【详解】由题设知+f (x)dx+ (- f (x) - af (x)dx = (- f (x) + - (af (x) +=0 0 0 0= - f (+) + f (0) - af (+) + af (0)又由特征方程为 r 2 + ar +1 = 0求得特征根为 r1,2= ，又 a 0-a a2 - 42从而 f (x)

12、 的通解有三种形式：f (x) = c er1x + c er2 x , f (x) = (c + c x)erx , f (x) = ex (c coxx + csin x)1 2 1 2 1 2无论哪种通解，总有 f (+) = 0, f (+) = 0+从而 0f (x)dx = n + am0（12）设函数 f (x, y) = xy ext2 dt ，则2 fxy(1,1)= .【详解】f =yex( xy )2 x = xe= + =x3 y 22 f, xy= 2 fyx= ex3 y2 + xex3 y2 3x2 y2 = ex3 y2 + 3x3 y2ex3 y2 ,2 fx

13、ya0-110a1-1-11a01-10a(1,1)e 3e4e.（13）【详解】= .a 0 -1 1a a 0 0a a 0 00 a 1-1 = 0a 1 -1 = 0a 2 -1 = a (a3 - 2a- 2a)-1 1 a 0-1 1 a 0-1 1 a 01 -1 0 a0 0 a a0 0 0 a= a4 - 4a2 （14）随机变量 X 服从 ， 上的均匀分布， Y = sin X .则cov( X ,Y ) = .【详解】 2 2 1 , - x ,因为 z U - , ，所以 f X (x) = 2 2 ， EX = 0 ， 2 2 0, 其他1 2 2 - 0 0E(

14、X sin X ) =2 x sin x 2dx = 2 x sin xdx = -2 xd cos x= - 2 (x cos x - sin x) 2 = 2 0 2所以Cov(X, Y) = Cov(X, sinX) = E(X sinX) - E(X) E(sinX) = .三、解答题：1523 小题，共 94 分，请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分 10 分）求函数 f (x, y) = x3 + 8 y3 - xy 的极值 f x= 3x2 - y = 0 1 1 【详解】令 f得驻点(0, 0), , = 24 y2 - x

15、 = 0 x 6 12 2 f且x2= 6x,2 fxy= -1,2 fy2= 48 y .(x, y)2 f A = x22 f B = xy2 f C = y2AC - B2极值(0, 0)0-10 0极小故 f (x, y) 在 1 , 1 处取得极小值且极小值 f 1 , 1 = - 1 6 12 6 12 216 .（16）（本题满分 10 分）计算曲线积分 I = 4x - ydx + x + y dy ，其中 L 是 x2 + y 2 = 2的逆时针方向L 4x2 + y2 4x2 + y21【详解】补线 L : 4x2 + y2 = r, （ r 0 且 r 适当小）取逆时针.

16、4x - y x + y令 P(x, y) =4x2 + y2, Q(x, y) =4x2 + y2 , 则Q = P = -4x2 + y2 - 8xy x y (4x2 + y2 )24x - y x + y4x - y x + y2 2从而 I = L-Ldx +2 2 dy + Ldx +2 2 dy2 21 4x + y4x + y1 4x + y4x + y Q - P = dxdy +1(4x - y )dx + (x + y )dy2 LD x y r 11 2 rD= 0 + r 2 2dxdy = r 2 2 r = .1（17）（本题满分 10 分）设数列a 满足 a =

17、 1，(n + 1)a= (n + 1 )a，证当 x 1时级数a xn 收敛，并求n 1和函数.n+1 2 nnn=1n【详解】即证 a xn 收敛半径 R = 1.n=1由于limxn + 1an+1 an= lim 2 = 1，所以 R = 1.x n +1当 x 0 ，则设c (0, 2) 使 f (c) = M .由朗格朗日中值定理， 1 (0, c) 与2 (c, 2) ，使f () =f (c) - f (0) = M , f ( ) =f (2) - f (c) = - M 1 c - 0 c 2所 以 f () = M , f ( ) = M 2 - c2 - c1 c 22

18、 - c若c (0,1，则可取= 1 ，有f () = M Mc若c (1, 2) ，则可取= 2 ，有f () =M2- c M .综上所示， (0, 2), 使 f () M .（2）（20）（本题满分 11 分）二 次 型f ( x , x ) = x2 - 4 x x + 4 x2经 过 正 交 变 换 x1 = Q y1 化 为 二 次 型1 2 1 1 2 2 x y 2 2 g( y , y ) = ay2 + 4 y y + by2 (a b) ，求1 2 1 1 2 2（1）求 a, b ；（2）求正交阵Q .【详解】设 A = 1 -2 ， B = a 2 ，由题存在正交矩

19、阵Q ，使得QT AQ = B ， -2 4 2 b A = Bab - 4 = 0即 A 与 B 合同，且 A 与 B 相似，故 tr( A) = tr(B)，从而a + b = 5 ，又由于 a b，所以 a = 4， b = 1.1- -2令 A - E =-2 4 - = (- 5) = 0，得1 = 0， 2 = 5.当1 = 0时，求解 AX = 0得 = (2,1)T ；1当2 = 5时，求解( A - 5E) X = 0得 = (-1, 2)T .2- 2 1 55 T 0 所以存在正交阵 P1 = 1 2 ，使得 P1AP1 = = 5 . 55 当1 = 0时，求解 BX = 0得 = (-1, 2)T ；1当2 = 5时，求解(B - 5E) X = 0得 = (2,1)T .2所以存在正交阵 P2 = 1 2 55 -2 1，使得 P2BP = = 0 .2 5T 5 5 - 4 3 从而 PT AP = 0 =P T BP ， P PT AP P T = B ，所以Q=P P T = 5 5 .1 1 5 2 22 1 1 21 2 3 4 5 5 （21）（本题满分 11 分）A 为 2 阶矩阵， P = (, A) 其中是非零向量且不是 A 的特征向量.（1）证明 P 可逆；（2） A2+ A- 6= 0 ，求 P-1 AP ，判定