(k−iA)(1+i)n−1+B,t=n
(2)显然前n−1次本金呈等比数列,最后一次与前面没有等比关系。
17现有20年的抵押贷款分年度偿还,每次1元。
如果在第7次正常还款的同时,
额外偿还原摊还表中第8次的本金,而且今后的还款仍然正常进行。
(正常
的意思是依然按照摊还表进行,改变期限,每次还款的金额不变)。
证明:
还
贷期间节约的利息为1−v13。
证:
在第7次额外多还以后,第n次还款刚好对应原摊还表中第n+1次的还
款。
所以节约的利息为原摊还表中第8次还款中的的利息量,为1−v13。
18总量为L的贷款分10年偿还,已知v5=
2
3
。
计算:
(1)前5次偿还中的本金之和;
(2)如果最后5次还款因故取消,计算第10年底的未结贷款余额。
解:
(1)由题意得前5次偿还本金之和为
R(v10+・・・+v6)=Rv61−v5
1−v
=
L
a1¬0p
v
1−v
v5(1−v5)
=
L
1−v10v5(1−v5)
=0.4L
(2)利用追溯法
B10=L(1+i)10−Rs¬5p(1+i)5
=Lv−10−L
v−10−v−5
1−v10
=0.9L
19现有35年贷款按年度偿还。
已知第8次还款中的利息为135元,第22次还
款中的利息为108元,计算第29次还款中的利息量。
解:
由
I8=R(1−v28)
I22=R(1−v14)
⇒
R=144
v7=
1
2
于是
I29=R(1−v7)
=144×1
2
=72元
20某贷款分n次等额偿还,实利率为i,已知第K次还款前的未结贷款余额首
次低于原始贷款额的一半。
计算K。
解:
由题意得
L=Ra¬np
Bk−2=Ran−k+¬2p>L
2
Bk−1=Ran−k+¬1p<
L
2
⇒
2vn−k+2−vn61
2vn−k+1−vn>1
故
K=[n+1−ln(vn+1)−ln2
lnv
]+1
其中[x]表示取整函数。
21设有年利率2.5%的15000元贷款,每年偿还1000元。
计算第几次还款中本
金部分最接近利息部分的4倍
解:
设第k次还款本金部分最接近利息部分的4倍。
利用追溯法
Bk−1=L(1+i)k−1−Rsk−¬1p
⇒Ik=iBk−1=iL(1+i)k−1−R[(1+i)k−1−1]
Pk=R−Ik=R(1+i)k−1−iL(1+i)k−1
再由Pk=4Ik得k≈11。
22某贷款在每年的2月1日等额还贷。
已知1989年2月1日的还款中利息为
103.00元,1990年2月1日的还款中利息为98.00元,年利率8%。
计算:
(1)
1990年还款中的本金部份;
(2)最后一次不足额还款的日期和金额。
解:
(1)设In,Pn为别为n年的利息部分和本金部分,
I1990=I1989−iP1989
⇒P1989=62.5
又I1989+P1989=I1990+P1990
⇒P1990=67.5
(2)利用递推公式容易求得2000年2月1日还款后未结贷款余额为
101.43元,已经小于165.5元。
同时易得B1989=1225。
设最后一次还
款在2000年2月1日后经过时间t收回。
于是t满足
1225=165.5
1−v11+t
i
⇒t=0.653
故最后一次还款时间为2000年9月24日,金额为165.5×1.08t−1
0.08=106.67
元。
建议把最后不足部分的偿还方法说清楚,我们用的是:
不足部分在下一
年的等价时间偿还的方法。
与原答案有出入
23某贷款通过2n次偿还。
在第n次偿还后,借款人发现其负债为原始贷款额
的3/4,计算下一次还款中利息部份的比例。
解:
由题意得
3
4
L=Ranpi¬
L=Ra2npi¬
⇒vn=
1
3
而In+1=R(1−vn),故利息部分所占的比例是
2
3
。
24某银行提供月利率1%的抵押贷款,如果借款人提前将贷款余额一次付清,
只需对当时余额多付出K%。
如果某人在第5年底找到另一家银行提供月利
率0.75%的10年贷款,对这个借款人来说K的最大可接受值为多少?
解:
K最大可接受,即这个借款人在两家银行每月的还款额相同。
a120p0.75%¬=(1+K%)a120p1%¬
⇒K=13.258%
25现有10000元贷款利率10%。
已知借款人以8%累积偿债基金,第10年底
的偿债基金余额为5000元,第11年的还款金额为1500元。
计算:
(1)1500元中的利息量;
(2)1500元中的偿债基金存款;
(3)1500元中偿还当年利息的部分;
(4)1500元中的本金量;
(5)第11年底的偿债基金余额。
解:
(1)I11=10000×10%=1000元;
(2)偿债基金存款额为1500−1000=500元;
(3)也即是计算净利息:
1000−5000×8%=600元;
(4)本金量1500−600=900元;
(5)11年底的偿债基金余额5000×(1+8%)+500=5900元。
26证明:
anpi&j¬=
snpj¬
1+isnpj¬
。
证:
利用
L=Ranpi&j¬
L=(R−iL)snpj¬
消去R可得
(
L
anpi&j¬
−iL)snpj¬=L
再适当变形便可得结论。
27现有利率为9%的10000元贷款,每年底还利息,同时允许借款人每年初以
利率7%向偿债基金存款K。
如果在第10年底偿债基金的余额恰足以偿还
贷款。
计算K。
解:
由题意得
K¨s10p7%¬=104
⇒K=676.43
28现有10年期贷款年利率5%,每年底还贷1000元。
贷款的一半按摊还方式
进行,另一半按额外提供4%年利率的偿债基金方式还款。
计算贷款额。
解:
设贷款额为X,有
X/2=R1a10p5%¬
X/2=R2anp5%&4%¬
1000=R1+R2
整理得到
X
2
(
1
a10p5%¬+
1
anp5%&4%¬)=1000
X=7610.48元
29为期10年的12000元贷款,每半年还款1000元。
已知前5年以i
(2)=12%
计息,后5年以i
(2)=10%计息。
每次还款除利息外存入利率i
(2)=8%的偿
债基金。
计算第10年底偿债基金与贷款之间的差额。
解:
前5年每半年放入偿债基金
1000−12000×6%=280
后5年每半年放入偿债基金
1000−12000×5%=400
故第10年底偿债基金余额为
280s10p4%¬×(1+4%)10+400s10p4%¬=9778.6
于是差额为2221.4元。
30为期10年的3000元贷款,以i
(2)=8%计息。
如果借款人将贷款的1/3通过
存入利率i
(2)=5%的偿债基金偿还,剩余的2/3通过存入利率i
(2)=7%的
偿债基金偿还。
计算每年的还款总额。
解:
设对于1/3部分贷款每年还款为R1,剩余部分贷款每年还款为R2。
有
(R1−1000×4%)s20p2.5%¬=1000
(R1−2000×4%)s20p3.5%¬=2000
分别解得R1=79.15,R2=150.72。
故每年的总还款额为
R1+R2=229.87元
31为期31年的400000元贷款,每年底还款36000元,若以年利率3%建立偿债
基金。
计算原贷款利率。
解:
设原贷款利率就是i。
有
(36000−400000i)s31p3%¬=400000
解得i≈7%。
32某20年期末年金,以前10年利率8%后10年利率7%计算的现值为10000
元。
某投资者以年利率9%买得该年金,并允许以累积偿债基金的方式收回
这笔资金,偿债基金前10年利率为6%,后10年利率为5%。
计算偿债基金
的存款额。
解:
设期末年金每年的金额是R,偿债基金存款额为X,未结贷款余额为P,
有
10000=Ra10p8%¬+Ra10p7%¬(1+8%)−10
R=X+P×9%
P=Xs1¬0p6%(1+5%)10+Xs5%¬p
解得:
X=246.95元
有待讨论!
我们认为年利率9%就是利率i
33某n年期利率为i的贷款,以利率j建立偿债基金。
试给出以下各问的表达
式(16t6n):
(1)贷方每年得到的利息;
(2)偿债基金每年的存款额;
(3)第t年偿债基金所得利息;
(4)偿债基金在第t年底的余额;
(5)第t年底的未结贷款余额;
(6)第t年支付的净利息;
(7)第t年支付的本金。
解:
设贷款额为L。
(1)贷方每年得到的利息为iL;
(2)由偿债基金的定义知,偿债基金每年的存款额为
L
snpj¬
(3)偿债基金在t−1年末的余额是
L
snpj¬st−¬1p,故在第t年所得利息为
jL
(1+j)t−1−1
(1+j)n−1
(4)偿债基金在第t年底的余额是
L
snpj¬stpj¬=L
(1+j)t−1
(1+j)n−1
(5)第t年底的未结贷款余额为
L−L
(1+j)t−1
(1+j)n−1
=L
(1+j)n−(1+j)t
(1+j)n−1
(6)第t年支付的净利息为
iL−jL
(1+j)t−1−1
(1+j)n−1
(7)第t年支付的本金量是第t年偿债基金所得利息与第t年存入偿债基金
金额之和,即为
jL
(1+j)t−1−1
(1+j)n−1
+
L
snpj¬=
j(1+j)t−1L
(1+j)n−1
34为期10年的100000元贷款,贷款利率12%,同时以年利率8%建立偿债基
金。
已知前5年还款为K;后5年还款为2K。
计算K。
解:
每年的利息为
100000×12%=12000
故
100000=(K−12000)s5p8%¬(1+8%)5+(2K−12000)s5p8%¬
解得K=13454.36元。
35某10000元贷款以利率i(12)=15%按月偿还利息,同时以利率i(12)=9%每
月存款100元累积偿债基金。
一旦偿债基金的余额达到10000元,则结束还
贷。
计算借款人总的还款额。
解:
每月还利息为10000×i(12)
12
=125元,于是每月总支出为
100+125=225
再由
100snp7.5%¬>10000⇒n=75
但需要注意100snp7.5%¬−10,000=18.33,故最后一个月放入偿债基金的应
是100−18.33元。
所以总共还款额为
75×225−18.33=16856.67元
36为期25年的100000元贷款,贷款利率12%。
如果贷款人从每年的还款中
以年利率i提取利息,同时将剩余部份以利率j累积偿债基金。
分别对
j=8%,12%和16%三种情况计算i。
解:
j=12%相当于按照摊还方式对应的利率。
设每次还款额为R,于是
R=
L
a25p0.12¬
再根据偿债基金的定义有
(R−iL)s25pj¬=L
解得
i=
1
a25p12%¬
−1
s25pj¬
代入数据便有
(1)j=8%时,i=11.38%;
(2)j=12%时,i=12%;
(3)j=16%时,i=12.35%。
37现有10年期贷款按月偿还,其中月换算名利率i(12)=12%,首次为600元,
然后每次增加5元。
(1)计算原始贷款金额;
(2)证明:
Pt=P1(1+0.01)t−1+5st−1p1%¬。
解:
L=595s120p1%¬+5Ia120p1%¬=58490.89元;
证:
这个题证明方法不唯一,比如利用递推关系,找规律再用归纳法证明。
下面
给出的证明方法是作者认为最简单的。
如果每次还款额是一样的,那么{Pt}呈等比数列,且Pt=P1(1+i)t−1。
于
是我们只需要将两种还款方式进行比较即可。
下面用B1
t表示等额还款时
第t次的未结贷款余额,B2
t表示按题中方式进行还款时第t次的未结贷款
余额。
于是
B1
t=L(1+i)t−600stpi¬
B2
t=L(1+i)t−600stpi¬−5Ist−1pi¬
故
P2
t
−P1
t=(B2
t−1
−B2
t)−(B1
t−1
−B1
t)
=(B2
t−1
−B1
t−1)+(B1
t
−B2
t)
=5(Ist−1pi¬−Ist−2pi¬)
=5st−1pi¬(直接带公式化简)
于是
Pt=P1(1+0.01)t−1+5st−1p1%¬
38某帐户现有1000元存款,每月实利率1%,且月月结算。
如果每次恰好在利
息结算的下一个瞬间取出100元。
问:
最多可以提取几次?
同时给出该帐户
每月余额和利息的列表。
解:
设第t个月帐户余额为Bt,于是
Bt=1000(1+i)t−100stpi¬
容易算得t=10时,帐户余额首次低于100元,故最多能够提取10次。
每
月结余和利息列表如下:
月份利息帐户余额
00.001000.00
110.00910.00
29.10819.10
38.19727.29
47.27634.56
56.35540.91
65.41446.32
74.46350.78
83.51254.29
92.54156.83
101.5758.40
39已知某贷款每半年偿还K元,且三次连续还贷后的贷款余额为:
5190.72,
5084.68和4973.66。
计算K。
解:
利用追溯法可得
5190.72(1+i)−K=5084.68
5084.68(1+i)−K=4973.66
由此可解得K=349.81元。
40利率为i的贷款L,每次偿还K,直至最后的不足额(不足金额K)还款。
证
明:
Bt=
K
i
−(