西南大学A彭作祥陈嵩箐王霞李敏.docx

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西南大学A彭作祥陈嵩箐王霞李敏

2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承诺书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：

我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：

所属学校（请填写完整的全名）：

西南大学

参赛队员（打印并签名）：

1.陈嵩箐

2.王霞

3.李敏

指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：

彭作祥

日期：

2007年9月24日

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

教社杯全国大学生数学建模竞赛

编号专用页

赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：

赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：

评

阅

人

评

分

备

注

全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：

全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：

中国人口预测

摘要人口的增长与育龄妇女的生育率成正比与死亡率成反比，同时受到人口的性别比率，年龄结构，社会的经济水平以及人文历史各个方面因素的影响。

本文以2005年中国人口数据为基础，建立人口模型，并根据模型预测未来50年中国人口的发展趋势。

首先对一些参数作了适当的假设，我们预计中国的人口仍然有一个缓慢的增长过程。

大约于2016年左右达到最大值13.4亿左右，从2017年起中国人口会有一个短暂的平衡时期，到2022年左右，人口将开始下降。

最后到2055年中国的人口将会下降到10亿左右。

为了实现我国人口的战略目标，并且能在促进人的全面发展的基础上，实现人口发展自身的协调和可持续，实现人口与经济社会资源环境之间的协调和良性互动，我们对模型进行了优化。

在从提高人口素质，合理布局人口以及缓解人口老龄化趋势和降低人口以外死亡率等各个方面考虑以后，我们重新对变化趋势作出假设，得到了一个相对理想的模型。

预测结果表明，从2005年到2055年期间，总人口是先有一段持续上升的过程，2010年人口总数将达到13.54亿，至2022年达到峰值14.381亿，2023年至2039年，2040年左右人口总数将保持在一个相对稳定的状态。

从2023年至2039年，人口总数将保持在一个相对稳定的水平。

从2040年左右人口将出现回落，至2050年大约将减少到13.6亿。

关键词总和生育率，死亡率，性别比，人口预测模型.

一．问题重述

中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

认识人口数量的变化规律，建立人口模型并做出准确的预测，是有效控制人口增长和保持人口稳定的前提。

因此，根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来我国的人口发展出现了一些新的特点，例如：

老龄化进程加速，出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等等，这些都影响着中国人口的增长。

对此，2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》还做出了进一步的分析。

请参考附录2中的相关数据，建立一个明确完整的人口增长模型，并指出求解方法。

然后根据上述模型，对中国未来中短期和长期的人口增长趋势做出预测。

最后对模型做出评价并加以改进和推广。

二．问题分析

影响人口增长的因素多种多样，必须从诸多因素中选择一些最重要的因素并从这些方面来描述人口增长。

首先育龄妇女的生育率和人口的死亡率是直接影响人口增长的因素；其次新生儿的性别比率也是影响人口增长的重要因素。

以上三种因素是我们重点讨论的对象。

至于人口的老龄化趋势和乡村人口城镇化等因素，由于本身影响效应较小且数据有限，暂不纳入模型中加以考虑。

以某年人口数据为起始，并以妇女生育率，人口的死亡率和新生儿的性别比率为参数，我们得到了以时间（单位年）为自变量的初步模型。

由于所给数据未必是1%抽样调查的结果，不能从中得到全国总人口。

我们从国家统计局下载到全国总人口如下：

年份

2001年

2002年

2003年

2004年

2005年

全国总人口（万人）

127627

128453

129227

129988

130628

对所给数据分析发现，2003年的生育率异常，都不及其它年份的四分之一，大多只有十分之一，如下表。

于是，用2002年与2004年的平均值代替2003年的相应值。

城市生育率

2001年

2002年

2003年

2004年

2005年

15岁

0.45

0.01

0.02

16岁

0.49

0.04

0.25

17岁

0.14

0.08

0.47

1.07

18岁

0.73

0.5

0.18

2.44

3.07

19岁

2.4

1.97

0.7

6.78

9.83

20岁

4.07

10.53

1.86

23.83

29.01

21岁

23.42

34.47

3.73

39.79

48.17

22岁

52.79

52.7

6.18

60.56

64.95

23岁

85.07

79.36

8.94

95.77

84.17

24岁

99.8

101.9

11.37

117.78

96.45

25岁

128.84

111.1

11.51

123.85

96.52

26岁

137.75

117.24

10.65

123.66

92.42

27岁

112.3

101.73

9.91

108.12

83.1

28岁

86.42

84.16

7.53

86.54

69.48

29岁

73.22

74.03

5.57

66.38

30岁

47.3

53.74

4.51

49.39

45.34

31岁

38.51

33.38

3.29

36.77

35.43

32岁

23.9

31.16

2.34

26.55

27.09

33岁

27.98

14.82

1.9

21.51

21.28

34岁

18.09

18.03

1.34

17.54

17.5

35岁

11.15

0.94

11.17

12.46

36岁

7.52

8.55

0.7

7.8

8.98

37岁

7.27

6.29

0.52

6.26

6.36

38岁

4.29

4.67

0.39

5.11

4.51

39岁

3.8

2.49

0.21

4.33

3.37

40岁

2.27

1.62

0.19

2.95

2.7

41岁

1.04

0.23

1.61

1.76

42岁

0.95

0.62

0.12

0.9

1.23

43岁

0.57

0.58

0.08

0.9

44岁

0.95

0.06

0.64

45岁

0.51

0.03

0.76

46岁

0.1

0.05

0.13

0.9

47岁

0.36

0.03

0.13

0.5

48岁

0.36

0.23

0.01

0.05

0.52

49岁

0.36

0.42

0.01

0.14

0.74

三．假设说明

1．按国家统计局的统计，2001年全国总人口数为127627万，2005年全国总人口数为130628万；

2．以每1岁为1个年龄组，1年为1个时间段；

3．假设在预测年限内，不发生战争及其他重大自然灾害，不考虑大的人口迁移因素；

4．假设抽样调查中的数据能完全反映总体的水平；

5．假设每年生育子女的妇女只生一个子女，不考虑多胞胎的情形；

6．假设对异常数据的处理不影响整体的水平。

四．符号说明

：

第

年

岁妇女的生育率；

：

第

年男性人口数比女性人口数；

：

第

年

岁男性的死亡率；

：

第

年

岁女性的死亡率；

：

第

年

岁男性人口的存活人数；

：

第

年

岁女性人口的存活人数；

：

第

年

岁男性占总人口的比重；

：

第

年

岁女性占总人口的比重；

：

第

年人口总数。

五．模型的建立与求解

1.模型的建立：

为了简化模型并降低数据处理的难度，我们将全国总人口分成几大部分分别加以讨论。

由计算知：

年龄大于90岁的人口数仅占总人口的0.001，所以在模型中只考虑0—89岁的人，以预测全国城市男性人口的发展趋势为例，我们建立如下的模型。

设第

年的全国城市男性人口总数为：

，以此类推，我们得到了下面的人口滚动模型：

同理可得城市女性，城镇男性，女性和乡村男性女性分别的人口发展的模型。

将以上每年六种不同类别的人口数相加就得到了全国总人口的发展情况的模型。

2.模型的求解：

首先，我们用人口总数，以2001年为起始年，利用2001年的全国人口数量，取生育率、死亡率、出生性别比为2001－2005年的平均值来预测未来十年人口发展的趋势，并把预测结果和实际情况相比较来检验模型的合理性。

（下图）

此时预测出2005年的总人口为131776万，与实际总人口130628万的误差为0.88%。

这说明本模型能较好的预测出人口总数的发展趋势。

但是从长远来看，存在一定的误差，有待改进。

再以2005年为起始年，利用05年人口总数。

仍然假设妇女生育率，人口死亡率和出生性别比是2001年到2005年的平均值。

（下图）

2005-2015近十年内，人口逐步增长，在2016年左右达到人口峰值为

。

到2055年人口数量下降到10亿以内。

分别以最大、最小生育率来预测未来人口，并与平均生育率预测结果作比较得到下图：

上图表明：

生育率水平提高时，峰值增大，人口峰值出现时间延迟。

计算2005年总和生育率得2005年的总和生育率为1.3385，确实明显低于更替水平。

由以上分析，模型有待改进。

3.模型改进：

由上面的分析，可以发现参数对结果影响很大。

于是我们希望通过优化参数设置得到最优的模型。

根据生育更替水平的标准，总和生育率越接近2.1，出生和死亡将逐渐趋于均衡，在没有大量人口迁移的情况下，总人口将趋于稳定状态。

由上面的计算知：

2005年的总和生育率为1.3385，低于更替水平。

于是我们对生育率水平作相应的调整，尽量使得总的生育率接近根替水平。

此外，出生性别比在极大程度上，对人口的增长有重大的影响。

专家分析:

“一般来说，每出生100名女婴，其男婴出生数置于103～107之间。

”此分析明确认定了出生性别比的通常值域为103～107之间。

从此，出生性别比值下限不低于103、上限不超过107的值域一直被国际社会公认为通常理论值，其他值域则被视为异常。

即正常情况下，出生性别比保持在103～107是最好的。

我们从以下方面加以改进。

死亡率考虑到以后科技水平和生活水平会提高，环境的改善，死亡率会有所下降，故死亡率取2001年到2005年的最小值。

总和生育率以05年数据为基准，适当调高各个年龄阶段育龄妇女的生育率，使得2005年的总和生育率为2.1左右。

然后取性别比为1.07，预测未来50年的结果。

采用同样的方法，适当调整各个年龄阶段育龄妇女的生育率，使得2005年的总和生育率为1.8左右，其他参数在相同的条件下作出预测，得到下图。

从图上可以看出，总和生育率为2.1时，人口总数会逐步上升，到2039年左右达到峰值15.5亿，之后会稳定一段时间一直到2055年以后。

总和生育率为1.8时，人口总数也会逐步增加，到2020年左右达到峰值14.4亿，之后会稳定一段时间，到2039年左右开始下降，到2055年降到大约12.5亿。

在给定性别比率和死亡率的条件下，考率不同的总和生育率对老年人口发展的影响，得到下图：

对比上图的四条曲线，当总和生育率在1.8左右时老年人口将会相对平稳。

在相同条件下，考率不同的总和生育率对总人口发展的影响，得到下图：

对比上图的四条曲线，当总和生育率在1.8左右时总人口将会相对平稳。

故选定总和生育率1.8为最终模型中的参数。

性别比用05年数据为基准，死亡率给定，总和生育率取1.8时，性别比分别取1.07和1.03来预测未来50年总人口数的发展，得到下图：

比较发现，性别比取1.03时，总人口的变化更加平稳。

所以取定性别比为1.03。

从上图中可以看出，总人口是先持续上升，至2022年左右达到峰值14.4亿。

2022年~2039年总人口数有所缓和。

2040年总人数开始明显下降，至2055年总人口数大约将降至13.3亿。

长期的预测：

利用以上所确立的模型作长期预测（100年）。

可以清晰地看到2055以后，总和生育率为2.1时，总人口持续上升。

总和生育率为1.8时，总人口将继续下降，往后推迟缓慢下降。

按照更替水平，总和生育率为2.1时，应该是处于稳定状态，但由于我国的人口老龄化在逐渐加重，而生育率在更替水平时，总人口就会上升，如果生育率一直处于1.8，总人口就会逐步下降。

因此，长期的预测应该采取中短期以前总和生育率靠近2.1，中短期之后靠近1.8，这样容易达到稳定。

七．模型的评价与推广

模型的优点：

1.本模型能准确地预测未来各年龄段的人口数量情况和变化趋势，对国家的人口调整工作有很大的帮助，推广容易和实用性强。

2.模型思路清晰，容易理解和灵活应用。

3.本模型作了三个重要的参数设定，逐步优化模型，便于解释一些人口由于受到诸多复杂因素影响而出现波动的状况，较为准确地作出人口预报。

模型的缺点：

未考虑战争、重大灾害和大量人口迁移的情况，若要考虑这些因素，需对模型加以调整。

推广：

本论文的模型先固定参数，再采用参数变化解决问题的办法，在其他领域也有许多类似的方法。

如：

工程预算，市场评估，国民生产总值预算等，尤其对预测和估算方面的问题更是合适。

参考文献

[1]姜启源，数学模型（第三版），北京：

高等教育出版社，2003

[2]吴建国，数学建模案例精编，北京：

中国水利水电出版社，2005

[3]傅鹂，数学实验，北京：

科学出版社，2000

[4]中华人民共和国国家统计局,2007-9-21

[5]第五次人口普查公报，2007-9-21

[6]中国人口，2007-9-22

[7]中国网，2007-9-22

附录

程序1：

计算各类各年各岁人口数。

如0年0岁城市男人数，l1是基准年男性各年龄人口（0到89岁），l2是基准年女性各年龄人口（0到89岁），F是各岁妇女生育率（15到49岁），...s是出生的性别比，D1是男性各年龄人口死亡率（0到89岁），D2是女性各年龄人口死亡率（0到89岁）。

function[L1,L2]=fL12（l1,l2,F,s,D1,D2）

L1（:

1）=l1';%用矩阵L1表示各年各年龄的男性人口。

同一列，同一年；同一行，同一岁

L2（:

1）=l2';%用矩阵L2表示各年各年龄的女性人口。

同一列，同一年；同一行，同一岁

N=100;%预测N年

forj=2:

N+1%一年一年地预测

fori=2:

89+1%一岁到89岁

L1（i,j）=L1（i-1,j-1）*（1-D1（i-1））;%男性i-1岁的人口是上一年i-2岁的人口死亡后剩余的

L2（i,j）=L2（i-1,j-1）*（1-D2（i-1））;%女性i-1岁的人口是上一年i-2岁的人口死亡后剩余的

End

L1（1,j）=sum（L2（15:

49,j）.*F'）*s（j）/（1+s（j））;%0岁的人口是当年15到49岁生育的总和*男性比率

L2（1,j）=sum（L2（15:

49,j）.*F'）/（1+s（j））;%0岁的人口是当年15到49岁生育的总和*女性比率

End

程序2：

计算各年各类人口增长率,N指预测N年。

functionnt=fnt（fx,Hxt1,Hxt2,D1,D2,N）

lao=1/1000;%把大于等于90岁的人口假设为总人口的1千分之一

dlao=0.2;%假设大于等于90岁的人口死亡率为dlao

forj=1:

N+1nt（j）=sum（fx'.*Hxt2（15:

49,j））-sum（D1（1:

90）'.*Hxt1（:

j））-sum（D2（1:

90）'.*Hxt2（:

j））-lao*dlao;

end

程序3：

预测50或100年各类各年各岁的人口数。

用05年为基准，05年的生育率的2.1/1.334或1.8/1.334倍，性别比都取107

或103，死亡率都取历年最小值。

N=100;

sex0=1.07;%设定性别比

sex=linspace（sex0,sex0,N+1）;

zhs=2.1;%设定总和生育率

[cL1,cL2]=fL12（cnan05,cnv05,cs5*0.001*zhs/1.334,sex,cdn*0.001,cdnv*0.001）;

[tL1,tL2]=fL12（tnan05,tnv05,ts5*0.001*zhs/1.334,sex,tdn*0.001,tdnv*0.001）;

[vL1,vL2]=fL12（vnan05,vnv05,vs5*0.001*zhs/1.334,sex,vdn*0.001,vdnv*0.001）;

L05g=cL1+cL2+tL1+tL2+vL1+vL2;%基准年开始N+1年的0到89岁人口

L05g1=cL1+tL1+vL1;%基准年开始N+1年的0到89岁男性人口

L05g2=cL2+tL2+vL2;%基准年开始N+1年的0到89岁女性人口

程序4：

计算各年各岁人口所占比例。

（如0年0岁的城市男占0年城市男女总人口的比例），N指预测N年。

function[Hxt1,Hxt2]=fhxt（L1,L2,N）

lao=1/1000;%把大于等于90岁的人口假设为总人口的1千分之一

forj=1:

N+1

fori=1:

Hxt1（i,j）=L1（i,j）/（（sum（L1（:

j））+sum（L2（:

j）））*（1+lao））;%j-1年i-1岁男性除以j-1年男女总人口

Hxt2（i,j）=L2（i,j）/（（sum（L1（:

j））+sum（L2（:

j）））*（1+lao））;%j-1年i-1岁女性除以j-1年男女总人口

end

附表一：

用05年为基准，05年的生育率的1.8/1.334倍，性别比都取1.03，死亡率都取历年最小值，预测100年的结果

2005年

2006年

2007年

2008年

2009年

2010年

2011年

老年人

1.7E+08

1.76E+08

1.84E+08

1.91E+08

2E+08

2.09E+08

2.18E+08

总人数

1.31E+09

1.32E+09

1.33E+09

1.34E+09

1.35E+09

1.36E+09

2012年

2013年

2014年

2015年

2016年

2017年

2018年

老年人

2.29E+08

2.4E+08

2.52E+08

2.63E+08

2.73E+08

2.84E+08

2.92E+08

总人数

1.37E+09

1.38E+09

1.39E+09

1.4E+09

1.41E+09

1.42E+09

2019年

2020年

2021年

2022年

2023年

2024年

2025年

老年人

2.96E+08

3E+08

3.01E+08

3.11E+08

3.27E+08

3.39E+08

3.51E+08

总人数

1.43E+09

1.44E+09

2026年

2027年

2028年

2029年

2030年

2031年

2032年

老年人

3.63E+08

3.71E+08

3.84E+08

3.94E+08

4.06E+08

4.15E+08

4.22E+08

总人数

1.44E+09

2033年

2034年

2035年

2036年

2037年

2038年

2039年

老年人

4.28E+08

4.33E+08

4.35E+08

4.36E+08

4.35E+08

4.34E+08

4.32E+08

总人数

1.44E+09

1.43E+09

2040年

2041年

2042年

2043年

2044年

2045年

2046年

老年人

4.29E+08

4.26E+08

4.24E+08

4.19E+08

4.13E+08

4.07E+08

4.04E+08

总人数

1.42E+09

1.41E+09

1.4E+09

1.39E+09

2047年

2048年

2049年

2050年

2051年

2052年

2053年

老年人

4.04E+08

4.05E+08

4.09E+08

4.15E+08

4.19E+08

4.16E+08

总人数

1.38E+09

1.37E+09

1.36E+09

1.35E+09

1.34E+09

2054年

2055年

2056年

2057年

2058年

2059年

2060年

老年人

4.12E+08

4.09E+08

4.05E+08

4.01E+08

3.96E+08

3.89E+08

3.83E+08

总人数

1.33E+09

1.32E+09

1.31E+09

1.3E+09

1.29E+09

2061年

2062年

2063年

2064年

2065年

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西南大学A彭作祥 陈嵩箐 王霞 李敏.docx

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