填数游戏.docx
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填数游戏
填数游戏
数字谜是是一种数学的猜谜游戏，它通常给出某个算术运算式子，且式中含有一些文字、字母或者符号表示特定的数字，要求我们根据运算性质、法则和分析、推理的方法，判断和确定文字、字母或符号所代表的数字。
常见方法：
实验法、列举筛选法、逆推、反证等。
注意：
1．尽可能多的找出各种条件；
2．学会运用估值的方法，以缩小搜索范围。
一、添运算符号和括号
例1填上运算符号或（），使等式成立，可将几个数字排列成一个多位数。
98-7654321=20
试一试：
（1）888888888888888=1989
（2）在每一个数前添上“+”、“-”使等式成立。
987654321=21
例2在下式中填上适当的括号，使计算结果符合要求：
1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8
试一试：
在下列方框中填入×或÷，有种不同的填法。
9□8□7□6□5□4□3□2□1=
例3二十四点游戏：
有四个自然数2，4，6，8，将这四个数（每个数只能用一次）进行适当组合，只能用加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24。
（方法越多越好）
2×6＋4＋8；（8÷4＋2）×6；8÷4×2×6；6×8÷（4－2）；（6＋8）×2－4
（2+6）×4－8；
打擂：
一级3，3，3，74，4，4，13，3，3，1
二级2，4，6，36，6，6，210，10，4，4
三级5，5，5，13，3，7，73，3，8，8
二、在算式中填数之试验与列举筛选法
例1将1~9填入框内，使下面的三个等式成立。
□+□=□
□－□=□
□×□=□
分析：
由三式一个数分解成另两个数的乘积，只有两种可能：
2×3=6，2×4=8，又由和、差的奇偶性知1，2式中要么不出现奇数，要么出现2个奇数。
但在1-9中有5个奇数，所以3式应出现1个奇数。
因此，3式应为2×3=6，剩下的问题是将剩下的数分成两组，使每组中的两数之和等于第三个数。
试一试：
将0~9填入框内，使下面的三个等式成立。
□+□=□
□－□=□
□×□=□□
例2将右边竖式中的字母换成数字，相同的字母换成相同的数字，不同的字母换成不同的数字，并且使算式成立。
方法1：
方法2：
练习
（1）将下面算式中的字母换成数字，相同的字母换成相同的数字，不同的字母换成不同的数字，并且使算式成立。
（2）
（3）
（4）在下面的乘法算式中，1到9这9个数字各出现一次。
试填出□的数字：
□×1□□□=□□52
分析：
被乘数的百位数应该≥3，乘数≤7，乘数只能是3，4，6，7。
就这四个值分别试算，知3，6，7均无解，答案为1963×4=7852，1738×4=6952
例3一个四位数使一个平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同，求这个四位数。
分析：
设所求的数是
。
注意平方数的特征，
补充练习，
（1）付钱的问题：
甲和乙合伙买一件东西，甲付10元钱，一付10元钱，甲付10元钱，一付10元钱，……当甲付完10员钱时,乙付的不足10元钱,总价是一个完全平方数,乙应该付给甲多少钱,两人付的钱一样多?
（2）拉灯的问题:
设有编号为1、2、3…，100盏电灯，各有一下拉线开关控制着，开始时都是闭合状态，现有100个学生，第一个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个学生进来，把号码是2的倍数的开关拉一下，第n个学生进来，把号码是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把号码是100的倍数的开关拉一下，直到最后。
请问：
还有多少盏灯是亮着的？
例4在方框中填入适当的数，使等式成立。
2001×□□□□=2□0□0□1
分析：
容易得出乘数的千位和个位为1，百位和十位分别设为a、b。
借助下图可知b等于0或5。
试一试：
P65在方框中填入适当的数，使等式成立。
2004×□□□□=2□0□0□4
两组解：
2004×1001=2006004；2004×1251=2507004
例5在1-13这13个自然数中，选12个填写在空格中，使得每横行四个数的和都相等，每竖列三个数的和也相等。
共有多少种不同的填法？
分析：
因为所选的12个数的和既是3的倍数，又是4的倍数，所以必然12的倍数。
，12的倍数中比91略小的数是84，91-84=7，所以没有7。
先考虑列：
84÷4=21，找出所有和为21的三个数的组合：
逐一实验；然后考虑行：
84÷3=28
结果为：
4！
×3！
=144种不同的填法。
三、数独游戏
数独，是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字谜题。
传统的数独游戏是将一个大正方形划成3×3的九个九宫格，每个九宫格又由3行3列共9个小方格构成，这样整个大正方形形成一个9×9的方格群。
在这个大正方形内填满1-9的数字,要求大正方形每一行、每一列及每个九宫格内均必须包括1到9的每一个数字，既不能遗漏也不能重复。
如
初级：
9
5
3
6
8
2
6
4
3
1
2
9
5
6
7
8
1
2
3
5
2
7
8
4
3
7
9
5
1
4
6
3
5
9
3
6
8
4
2
3
7
5
8
2
3
9
6
9
5
1
2
4
9
5
1
6
4
2
3
3
2
9
5
7
3
6
8
5
1
3
9
5
1
6
1
9
3
1
9
7
2
5
6
5
2
6
9
1
5
4
1
7
3
5
2
1
5
7
9
6
3
7
4
5
1
8
9
7
5
4
2
6
7
8
3
2
3
8
2
6
7
中级：
１能放在哪里?
考虑这上面三个九宫格，看看能否决定１的位置
红色格子能放２和３，在左上九宫格里，能放１的只有红色与棕色格子，但红色格子将会被２和３所占据，所以能确定棕色格子必然为１。
看看左上方九宫格里，能否由些微线索决定１的位置
直观法:
（1）单元唯一法
（2）单元排除法:
在某一单元（即行，列或区块）中找到能填入某一数字的唯一位置，换句话说，就是把单元中其他的空白位置都排除掉。
观察数字9在谜题中的位置，可以看到它出现在[B2]，[A4]，[C7]，[D8]，[I1]和[H9]。
（3）区块排除法
虽然我们无法确定2在起始于[G1]的区块中的确定位置，但幸运的是，能填入2的位置正好都在行I上，也就是说，无论2在[I1]还是在[I3]，行I的其他单元格中将不可能再出现数字2，所以可以毫不犹豫地排除在[I5]填入2的可能性，这样，对于起始于[G4]的区块而言，能填入数字2的位置就只剩下[H6]了。
所以[H6]=2。
接下来，当然毫无疑问，利用单元唯一法，在[I5]填入数字1。
在行C上，数字3的位置可以通过下面的方法来确定：
先看行B，利用单元排除法，通过[H2]和[F3]位置上的3进行列排除，得到行B中能填入3的位置为[B4]和[B5]。
碰巧的是，这两个单元格都在起始于[A4]的区块中，这时已经满足了上述情况3的条件。
利用单元排除法的区块排除，则行C上的[C4]和[C5]都不能再填入3；再加上[F3]的列排除的共同努力，最终确定数字3在行C上的唯一位置就是[C1]。
要想求得数字8在第6列的位置，就必须要借助区块排除法。
先看第4列，通过位于[C3]和[I8]的数字8的行排除，使8在第4列可能填入的位置只剩下[D4]和[F4]，而这两个单元格正好都在起始于[D4]的区块中。
因为第4列不能没有数字8，而数字8如果填在区块中的其他位置（如[D6]，[E6]或[F6]）时将迫使[D4]和[F4]上不能再填入8，这样会导致第4列没有数字8。
因此，第6列中的[D6]，[E6]和[F6]能填入数字8的可能性被排除。
这样第6列中就只剩下[B6]能填入8了。
你能确定数字3在起始于[A1]的区块中的位置吗？
先看位于[C5]的数字3，它不仅排除了同一行中[C1]和[C3]中填入3的可能性，也同时排除了同一行中[C8]和[C9]填入3的可能性，这使得在起始于[A7]的区块中，能填入3的位置只剩下[B8]和[B9]
利用区块排除法，在起始于[A7]的区块中，无论3在[B8]还是[B9]，行B中的其他位置都不能再填入3，所以[B1]，[B2]和[B3]都被排除。
于是，在起始于[A1]的区块中，能填入3的位置仅剩下[A1]和[A2]了。
但至此我们还无法确定3的准确位置，这时我们还要借助于其他的辅助区块来进一步排除。
观察起始于[D1]的区块，利用[D7]位置上的3排除同一行的[D1]，以及用[G3]位置上的3排除同一列的[E3]和[F3]，使区块中可能填入3的位置只余[E2]和[F2]，刚好这两个位置都在第2列中，符合上面介绍的第2种情况，于是可以把[A2]也排除掉。
最后，我们就可以很肯定地在[A1]中填入数字3了。
这个例子同时使用了多个辅助区块同时参与排除。
在实际使用中虽然这种情况并不常见，但却也不少见。
关键在于如何能正确识别并恰当应用区块排除法。
相信通过大量的练习并勤于分析思考，这种方法就可以运用自如，得心应手。
（4）唯一余数法
对于单元格[G9]应该填入什么数字，就算你把前面介绍的所有直观技法都用上，也不得而知。
然而，我们通过观察它所在的行，列和区块，可以发现除了数字2以外，1到9中其他的数字都出现了，其中行G中包含了7，6，9，5，3和8，第9列中包含了数字5，8，7和1，起始于[G7]的单元格中包含了3，8，4，7，5和1。
这样，如果[G9]不填入数字2，就一定会违反游戏“行，列或区块不能出现重复数字”的规则。
所以[G9]中的数字一定是2
你能看出来对哪个单元格应用唯一余数法吗？
[E6]=9
[I7]=9
5.组合排除法
组合排除法和区块排除法一样，都是直观法中进阶的技法，但它的应用范围要更小一点。
一般情况下，基本没有机会用到这种方法解题，所以要找到相应的例子也都很困难。
当然，如果你希望优先以这个技法来解题的话，还是能碰到很多能符合使用组合排除法条件的情况。
组合排除法，顾名思义，要考虑到某种组合。
这里的组合既包括区块与区块的组合，也包括单元格与单元格的组合，利用组合的关联与排斥的关系而进行某种排除。
它也是一种模糊排除法，同样是在不确定数字的具体位置的情况下进行排除的。
下面先看一个例子：
对于上面这个谜题，你能确定数字6在起始于[G4]的区块中的位置吗？
要想获得正确的答案初看起来有些困难。
因为虽然在[G9]和[H3]已经存在了两个6，但是利用它们只能行排除区块中的[G4]和[H6]两个单元格，还是无法确定6到底是在[I4]还是在[I5]中。
这时候，组合排除法就派上用场了。
现在撇开起始于[G4]的区块，先看它上面的两个区块，即起始于[A4]和[D4]的区块。
这几个区块的共同特点是占有同样的几列，也就是第4列至第6列，因此它们之间的数字会相互直接影响。
对于起始于[A4]的区块，利用[A1]处已有的数字6进行行排除，可以得到这个区块中可能填入6的位置只剩下两个：
[B5]和[C6]。
对于起始于[D4]的区块，利用[E7]处已有的数字6进行行排除，可以得到这个区块中可能填入6的位置也剩下两个：
[F5]和[F6]。
这时，我们仍无法确定6在这两个区块中的确切位置。
但不妨对可能出现的情况作一下分析：
1.假设在起始于[A4]的区块中，[B5]=6，则同一区块中的[C6]必不为6，而且[B5]还将列排除[F5]，这样在起始于[D4]的区块中，只有[F6]=6。
2.假设在起始于[A4]的区块中，[C6]=6，则同一区块中的[B5]必不为6，而且[C6]还将列排除[F6]，这样在起始于[D4]的区块中，只有[F5]=6。
简单地说，只有两种可能：
[B5]=6且[F6]=6，或者[C6]=6且[F5]=6。
决不会再出现其他的情况。
但无论是其中哪一种情况，第5列和第6列都会有确定的6出现在这两个区块中，也就是说，第5列和第6列的其他位置不可能再出现数字6。
这样，原本无法肯定的6在起始于[G4]区块中的位置，一下子就变得明确了。
利用起始于[A4]和[D4]的区块对起始于[G4]的区块进行列排除，可以把[I5]排除掉，这样，就只剩下[I4]可以填入6了。
小结一下，组合排除法的要满足的条件如下：
1.如果在横向并行的两个区块中，某个数字可能填入的位置正好都分别占据相同的两行，则这两行可以被用来对横向并行的另一区块做行排除。
2.如果在纵向并行的两个区块中，某个数字可能填入的位置正好都分别占据相同的两列，则这两列可以被用来对纵向并行的另一区块做列排除。
让我们再看一个例子：
要想确定数字1在起始于[D4]的单元格中的位置，我们将设法借助于其横向上相邻两个区块的帮助。
利用[I2]的列排除，我们可以把起始于[D1]的区块中的[E2]和[F2]排除掉，这样，这个区块中能填入1的位置剩下[D1]，[D3]和[E1]。
利用[H7]的列排除，可以把起始于[D7]的区块中的[E7]和[F7]排除掉，再利用[A9]的列排除，可以把这个区块中[E9]和[F9]排除掉，这样，这个区块中能填入1的位置只剩下[D8]和[E8]。
虽然在起始于[D1]的区块中，能填入1的位置多达3个，但是它们正好只分布在行D和行E上，而且在起始于[D7]的区块中能填入1的位置所占据的也是这两行。
最终1的位置只可能有三种情况：
[D1]=1且[E8]=1；或者[D3]=1且[E8]=1；或者[E1]=1且[D8]=1。
无论是哪种情况，行D和行E都会有确定的1出现在这两个区块中，也就是说，这两行的其他位置不会再出现1。
于是，
借助于这两个区块的行排除，我们可以把起始于[D4]的区块中的[D4]和[D6]排除掉，再利用[G4]位置的列排除，最终确定1的位置在[F6]。
下面是其他一些使用组合排除法的例子：
在实践中，组合排除法的实际应用机会不如区块排除法多。
但是，掌握这一技法无疑可以大大提高求解谜题的灵活性，从而增加解题的乐趣。
（6）矩形排除法
对于这个谜题，如果不用矩形排除法是无法继续下去的。
我们将通过讲解这种技法，从而找到数字8在起始于[G1]的区块中的位置。
乍看之下，好象一筹莫展。
因为[B2]和[E3]上的8只能列排除左下角这个区块中的[G2]，[H2]，[G3]和[I3]这4个单元格，这时仍剩下两个单元格[G1]和[H1]无法确定。
让我们先来留意一下第6列，这一列中暂时没有8，那么8可能会填入哪几个单元格中呢？
首先，[B2]中的8行排除了[B6]，而[E3]和[F4]中的8又分别行排除了[E6]和[F6]。
这样，能填入8的位置就只剩下[C6]和[I6]了。
同样，对于第9列，由于[F4]的行排除，[F9]不可能填8，所以这一列能填入8的位置也就只剩下[C9]和[I9]了。
凑巧的是，这两列中能填入8的位置都在同样的两行上，即行C和行I。
这时就为我们应用矩形排除法创造了前提条件。
如果第6列中[C6]=8，那么[I6]和[C9]一定不能是8。
而第9列这时就只剩下[I9]能填入8了；
又或者如果第6列中[I6]=8，那么[C6]和[I9]一定不能是8，而第9列就只剩下[C9]能填入8了。
不可能再有第3种情况。
所以，要么[C6]=8且[I9]=8，要么[I6]=8且[C9]=8。
但无论是哪种情况，不难发现，行C和行I都已填入了8，所以这两行的其他位置不可能再填入8。
我们正好可以利用这一点来进行排除。
观察起始于[G1]的区块，我们已经知道现在只剩下[G1]和[I1]两个单元格无法确定了，通过上面的分析，利用矩形排除法排除位于行I上的[I1]，就可以确定数字8一定在[G1]上。
做到这一步时，不用矩形排除法的话恐怕是走投无路了。
这次还是要在起始于[G1]的区块中找到数字4的位置。
但我们无法确定4究竟在[G2]还是[G3]呢？
先要找找看有没有满足矩形排除法条件的情况存在。
观察行B，在这一行中，由于[C5]的区块排除，[B4]和[B5]都不能为4，再加上[H8]列排除了[B8]，这样行B中能填入4的位置包括[B1]和[B3]。
再看行F，由于[D6]的列排除，使得[F6]不能填4，所以行F中能填入4的位置只有[F1]和[F3
幸运的是，行B和行F中能填入4的位置正好都位于同样的两列上，即第1列和第3列。
根据上面矩形排除法的规则，第1列和第3列中不在行B和行F上的单元格中不能填入4，所以[G3]不能为4。
这样，起始于[G1]的区块中就只有[G2]能填入4了。
下面是应用矩形排除法的其他一些例子，希望可以帮助大家快速掌握这种方法：
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