填数游戏.docx

1、填 数 游 戏填 数 游 戏数字谜是是一种数学的猜谜游戏，它通常给出某个算术运算式子，且式中含有一些文字、字母或者符号表示特定的数字，要求我们根据运算性质、法则和分析、推理的方法，判断和确定文字、字母或符号所代表的数字。常见方法：实验法、列举筛选法、逆推、反证等。注意：1尽可能多的找出各种条件；2学会运用估值的方法，以缩小搜索范围。一、添运算符号和括号例1 填上运算符号或（ ），使等式成立，可将几个数字排列成一个多位数。 9 8 - 7 6 5 4 3 2 1 = 20试一试：（1）8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 =1989（2）在每一个数前添上“+”、“-”使等式

2、成立。9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21例2在下式中填上适当的括号，使计算结果符合要求：123456789=2.8试一试：在下列方框中填入或，有 种不同的填法。987654321=例3二十四点游戏：有四个自然数2，4，6，8，将这四个数（每个数只能用一次）进行适当组合，只能用加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24。（方法越多越好）2648； （842）6； 8426； 68（42）； （68）24（2+6）48；打擂： 一级 3，3，3，7 4，4，4，1 3，3，3，1二级 2，4，6，3 6，6，6，2 10，10，4，4三级 5，5，5，1 3，3，7，7 3，3，8，8二、

3、在算式中填数 之 试验与列举筛选法例1 将19填入框内，使下面的三个等式成立。+=分析：由三式一个数分解成另两个数的乘积，只有两种可能：23=6，24=8，又由和、差的奇偶性知1，2式中要么不出现奇数，要么出现2个奇数。但在1-9中有5个奇数，所以3式应出现1个奇数。因此，3式应为23=6，剩下的问题是将剩下的数分成两组，使每组中的两数之和等于第三个数。试一试：将09填入框内，使下面的三个等式成立。+=例2 将右边竖式中的字母换成数字，相同的字母换成相同的数字，不同的字母换成不同的数字，并且使算式成立。方法1： 方法2：练习（1）将下面算式中的字母换成数字，相同的字母换成相同的数字，不同的字母

4、换成不同的数字，并且使算式成立。（2）（3）（4）在下面的乘法算式中，1到9这9个数字各出现一次。试填出的数字：1=52分析：被乘数的百位数应该3，乘数7，乘数只能是3，4，6，7。就这四个值分别试算，知3，6，7均无解，答案为19634=7852，17384=6952例3一个四位数使一个平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同，求这个四位数。分析：设所求的数是。注意平方数的特征， 补充练习，(1)付钱的问题：甲和乙合伙买一件东西，甲付10元钱，一付10元钱，甲付10元钱，一付10元钱，当甲付完10员钱时,乙付的不足10元钱,总价是一个完全平方数,乙应该付给甲多少钱,两人付的钱一样多?

5、(2)拉灯的问题: 设有编号为1、2、3，100盏电灯，各有一下拉线开关控制着，开始时都是闭合状态，现有100个学生，第一个学生进来时，凡号码是1的倍数的开关拉了一下，接着第二个 学生进来，把号码是2的倍数的 开关拉一下，第n个学生进来，把号码是n的倍数的开关拉一下，如此下去，最后一个学生进来，把号码是100的 倍数的开关拉一下，直到最后。请问：还有多少盏灯是亮着的？ 例4 在方框中填入适当的数，使等式成立。2001=2001分析：容易得出乘数的千位和个位为1，百位和十位分别设为a、b。借助下图可知b等于0或5。试一试：P65在方框中填入适当的数，使等式成立。2004=2004两组解：2004

6、1001=2006004；20041251=2507004例5 在1-13这13个自然数中，选12个填写在空格中，使得每横行四个数的和都相等，每竖列三个数的和也相等。共有多少种不同的填法？分析：因为所选的12个数的和既是3的倍数，又是4的倍数，所以必然12的倍数。，12的倍数中比91略小的数是84，91-84=7，所以没有7。先考虑列：844=21，找出所有和为21的三个数的组合：逐一实验；然后考虑行：843=28结果为：4！3！=144种不同的填法。三、数独游戏数独，是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字谜题。传统的数独游戏是将一个大正方形划成33的九个九宫格，

7、每个九宫格又由3行3列共9个小方格构成，这样整个大正方形形成一个99的方格群。在这个大正方形内填满1-9的数字,要求大正方形每一行、每一列及每个九宫格内均必须包括1到9的每一个数字，既不能遗漏也不能重复。如初级：9536826431295678123527843795146359368423758239695124951642332957368513951619319725652691541735215796374518975426783238267中级： 能放在哪里?考虑这上面三个九宫格，看看能否决定的位置红色格子能放和，在左上九宫格里，能放的只有红色与棕色格子，但红色格子将会被和所占据，所

8、以能确定棕色格子必然为。看看左上方九宫格里，能否由些微线索决定的位置直观法:(1) 单元唯一法(2) 单元排除法: 在某一单元（即行，列或区块）中找到能填入某一数字的唯一位置，换句话说，就是把单元中其他的空白位置都排除掉。观察数字9在谜题中的位置，可以看到它出现在B2，A4，C7，D8，I1和H9。(3) 区块排除法虽然我们无法确定2在起始于G1的区块中的确定位置，但幸运的是，能填入2的位置正好都在行I上，也就是说，无论2在I1还是在I3，行I的其他单元格中将不可能再出现数字2，所以可以毫不犹豫地排除在I5填入2的可能性，这样，对于起始于G4的区块而言，能填入数字2的位置就只剩下H6了。所以H

9、6=2。接下来，当然毫无疑问，利用单元唯一法，在I5填入数字1。在行C上，数字3的位置可以通过下面的方法来确定：先看行B，利用单元排除法，通过H2和F3位置上的3进行列排除，得到行B中能填入3的位置为B4和B5。碰巧的是，这两个单元格都在起始于A4的区块中，这时已经满足了上述情况3的条件。利用单元排除法的区块排除，则行C上的C4和C5都不能再填入3；再加上F3的列排除的共同努力，最终确定数字3在行C上的唯一位置就是C1。要想求得数字8在第6列的位置，就必须要借助区块排除法。先看第4列，通过位于C3和I8的数字8的行排除，使8在第4列可能填入的位置只剩下D4和F4，而这两个单元格正好都在起始于D

10、4的区块中。因为第4列不能没有数字8，而数字8如果填在区块中的其他位置（如D6，E6或F6）时将迫使D4和F4上不能再填入8，这样会导致第4列没有数字8。因此，第6列中的D6，E6和F6能填入数字8的可能性被排除。这样第6列中就只剩下B6能填入8了。你能确定数字3在起始于A1的区块中的位置吗？先看位于C5的数字3，它不仅排除了同一行中C1和C3中填入3的可能性，也同时排除了同一行中C8和C9填入3的可能性，这使得在起始于A7的区块中，能填入3的位置只剩下B8和B9利用区块排除法，在起始于A7的区块中，无论3在B8还是B9，行B中的其他位置都不能再填入3，所以B1，B2和B3都被排除。于是，在起

11、始于A1的区块中，能填入3的位置仅剩下A1和A2了。但至此我们还无法确定3的准确位置，这时我们还要借助于其他的辅助区块来进一步排除。观察起始于D1的区块，利用D7位置上的3排除同一行的D1，以及用G3位置上的3排除同一列的E3和F3，使区块中可能填入3的位置只余E2和F2，刚好这两个位置都在第2列中，符合上面介绍的第2种情况，于是可以把A2也排除掉。最后，我们就可以很肯定地在A1中填入数字3了。这个例子同时使用了多个辅助区块同时参与排除。在实际使用中虽然这种情况并不常见，但却也不少见。关键在于如何能正确识别并恰当应用区块排除法。相信通过大量的练习并勤于分析思考，这种方法就可以运用自如，得心应手

12、。(4) 唯一余数法 对于单元格G9应该填入什么数字，就算你把前面介绍的所有直观技法都用上，也不得而知。然而，我们通过观察它所在的行，列和区块，可以发现除了数字2以外，1到9中其他的数字都出现了，其中行G中包含了7，6，9，5，3和8，第9列中包含了数字5，8，7和1，起始于G7的单元格中包含了3，8，4，7，5和1。这样，如果G9不填入数字2，就一定会违反游戏“行，列或区块不能出现重复数字”的规则。所以G9中的数字一定是2你能看出来对哪个单元格应用唯一余数法吗？E6=9I7=95.组合排除法组合排除法和区块排除法一样，都是直观法中进阶的技法，但它的应用范围要更小一点。一般情况下，基本没有机会

13、用到这种方法解题，所以要找到相应的例子也都很困难。当然，如果你希望优先以这个技法来解题的话，还是能碰到很多能符合使用组合排除法条件的情况。组合排除法，顾名思义，要考虑到某种组合。这里的组合既包括区块与区块的组合，也包括单元格与单元格的组合，利用组合的关联与排斥的关系而进行某种排除。它也是一种模糊排除法，同样是在不确定数字的具体位置的情况下进行排除的。下面先看一个例子：对于上面这个谜题，你能确定数字6在起始于G4的区块中的位置吗？要想获得正确的答案初看起来有些困难。因为虽然在G9和H3已经存在了两个6，但是利用它们只能行排除区块中的G4和H6两个单元格，还是无法确定6到底是在I4还是在I5中。这

14、时候，组合排除法就派上用场了。现在撇开起始于G4的区块，先看它上面的两个区块，即起始于A4和D4的区块。这几个区块的共同特点是占有同样的几列，也就是第4列至第6列，因此它们之间的数字会相互直接影响。对于起始于A4的区块，利用A1处已有的数字6进行行排除，可以得到这个区块中可能填入6的位置只剩下两个：B5和C6。 对于起始于D4的区块，利用E7处已有的数字6进行行排除，可以得到这个区块中可能填入6的位置也剩下两个：F5和F6。 这时，我们仍无法确定6在这两个区块中的确切位置。但不妨对可能出现的情况作一下分析：1. 假设在起始于A4的区块中，B5=6，则同一区块中的C6必不为6，而且B5还将列排除

15、F5，这样在起始于D4的区块中，只有F6=6。 2. 假设在起始于A4的区块中，C6=6，则同一区块中的B5必不为6，而且C6还将列排除F6，这样在起始于D4的区块中，只有F5=6。 简单地说，只有两种可能：B5=6且F6=6，或者C6=6且F5=6。决不会再出现其他的情况。但无论是其中哪一种情况，第5列和第6列都会有确定的6出现在这两个区块中，也就是说，第5列和第6列的其他位置不可能再出现数字6。这样，原本无法肯定的6在起始于G4区块中的位置，一下子就变得明确了。利用起始于A4和D4的区块对起始于G4的区块进行列排除，可以把I5排除掉，这样，就只剩下I4可以填入6了。小结一下，组合排除法的要

16、满足的条件如下：1. 如果在横向并行的两个区块中，某个数字可能填入的位置正好都分别占据相同的两行，则这两行可以被用来对横向并行的另一区块做行排除。 2. 如果在纵向并行的两个区块中，某个数字可能填入的位置正好都分别占据相同的两列，则这两列可以被用来对纵向并行的另一区块做列排除。 让我们再看一个例子：要想确定数字1在起始于D4的单元格中的位置，我们将设法借助于其横向上相邻两个区块的帮助。利用I2的列排除，我们可以把起始于D1的区块中的E2和F2排除掉，这样，这个区块中能填入1的位置剩下D1，D3和E1。 利用H7的列排除，可以把起始于D7的区块中的E7和F7排除掉，再利用A9的列排除，可以把这个

17、区块中E9和F9排除掉，这样，这个区块中能填入1的位置只剩下D8和E8。虽然在起始于D1的区块中，能填入1的位置多达3个，但是它们正好只分布在行D和行E上，而且在起始于D7的区块中能填入1的位置所占据的也是这两行。最终1的位置只可能有三种情况：D1=1且E8=1；或者D3=1且E8=1；或者E1=1且D8=1。无论是哪种情况，行D和行E都会有确定的1出现在这两个区块中，也就是说，这两行的其他位置不会再出现1。于是，借助于这两个区块的行排除，我们可以把起始于D4的区块中的D4和D6排除掉，再利用G4位置的列排除，最终确定1的位置在F6。下面是其他一些使用组合排除法的例子：在实践中，组合排除法的实

18、际应用机会不如区块排除法多。但是，掌握这一技法无疑可以大大提高求解谜题的灵活性，从而增加解题的乐趣。(6) 矩形排除法对于这个谜题，如果不用矩形排除法是无法继续下去的。我们将通过讲解这种技法，从而找到数字8在起始于G1的区块中的位置。乍看之下，好象一筹莫展。因为B2和E3上的8只能列排除左下角这个区块中的G2， H2，G3和I3这4个单元格，这时仍剩下两个单元格G1和H1无法确定。让我们先来留意一下第6列，这一列中暂时没有8，那么8可能会填入哪几个单元格中呢？首先，B2中的8行排除了B6，而E3和F4中的8又分别行排除了E6和F6。这样，能填入8的位置就只剩下C6和I6了。同样，对于第9列，由

19、于F4的行排除，F9不可能填8，所以这一列能填入8的位置也就只剩下C9和I9了。凑巧的是，这两列中能填入8的位置都在同样的两行上，即行C和行I。这时就为我们应用矩形排除法创造了前提条件。如果第6列中C6=8，那么I6和C9一定不能是8。而第9列这时就只剩下I9能填入8了；又或者如果第6列中I6=8，那么C6和I9一定不能是8，而第9列就只剩下C9能填入8了。不可能再有第3种情况。所以，要么C6=8且I9=8，要么I6=8且C9=8。但无论是哪种情况，不难发现，行C和行I都已填入了8，所以这两行的其他位置不可能再填入8。我们正好可以利用这一点来进行排除。 观察起始于G1的区块，我们已经知道现在只

20、剩下G1和I1两个单元格无法确定了，通过上面的分析，利用矩形排除法排除位于行I上的I1，就可以确定数字8一定在G1上。做到这一步时，不用矩形排除法的话恐怕是走投无路了。这次还是要在起始于G1的区块中找到数字4的位置。但我们无法确定4究竟在G2还是G3呢？ 先要找找看有没有满足矩形排除法条件的情况存在。观察行B，在这一行中，由于C5的区块排除，B4和B5都不能为4，再加上H8列排除了B8，这样行B中能填入4的位置包括B1和B3。 再看行F，由于D6的列排除，使得F6不能填4，所以行F中能填入4的位置只有F1和F3幸运的是，行B和行F中能填入4的位置正好都位于同样的两列上，即第1列和第3列。根据上面矩形排除法的规则，第1列和第3列中不在行B和行F上的单元格中不能填入4，所以G3不能为4。这样，起始于G1的区块中就只有G2能填入4了。下面是应用矩形排除法的其他一些例子，希望可以帮助大家快速掌握这种方法：