1、填 数 游 戏填 数 游 戏数字谜是是一种数学的猜谜游戏,它通常给出某个算术运算式子,且式中含有一些文字、字母或者符号表示特定的数字,要求我们根据运算性质、法则和分析、推理的方法,判断和确定文字、字母或符号所代表的数字。常见方法:实验法、列举筛选法、逆推、反证等。注意:1尽可能多的找出各种条件;2学会运用估值的方法,以缩小搜索范围。一、添运算符号和括号例1 填上运算符号或( ),使等式成立,可将几个数字排列成一个多位数。 9 8 - 7 6 5 4 3 2 1 = 20试一试:(1)8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 =1989(2)在每一个数前添上“+”、“-”使等式
2、成立。9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 21例2在下式中填上适当的括号,使计算结果符合要求:123456789=2.8试一试:在下列方框中填入或,有 种不同的填法。987654321=例3二十四点游戏:有四个自然数2,4,6,8,将这四个数(每个数只能用一次)进行适当组合,只能用加、减、乘、除四则运算,使其结果等于24。(方法越多越好)2648; (842)6; 8426; 68(42); (68)24(2+6)48;打擂: 一级 3,3,3,7 4,4,4,1 3,3,3,1二级 2,4,6,3 6,6,6,2 10,10,4,4三级 5,5,5,1 3,3,7,7 3,3,8,8二、
3、在算式中填数 之 试验与列举筛选法例1 将19填入框内,使下面的三个等式成立。+=分析:由三式一个数分解成另两个数的乘积,只有两种可能:23=6,24=8,又由和、差的奇偶性知1,2式中要么不出现奇数,要么出现2个奇数。但在1-9中有5个奇数,所以3式应出现1个奇数。因此,3式应为23=6,剩下的问题是将剩下的数分成两组,使每组中的两数之和等于第三个数。试一试:将09填入框内,使下面的三个等式成立。+=例2 将右边竖式中的字母换成数字,相同的字母换成相同的数字,不同的字母换成不同的数字,并且使算式成立。方法1: 方法2:练习(1)将下面算式中的字母换成数字,相同的字母换成相同的数字,不同的字母
4、换成不同的数字,并且使算式成立。(2)(3)(4)在下面的乘法算式中,1到9这9个数字各出现一次。试填出的数字:1=52分析:被乘数的百位数应该3,乘数7,乘数只能是3,4,6,7。就这四个值分别试算,知3,6,7均无解,答案为19634=7852,17384=6952例3一个四位数使一个平方数,并且它的前两位数字相同,后两位数字也相同,求这个四位数。分析:设所求的数是。注意平方数的特征, 补充练习,(1)付钱的问题:甲和乙合伙买一件东西,甲付10元钱,一付10元钱,甲付10元钱,一付10元钱,当甲付完10员钱时,乙付的不足10元钱,总价是一个完全平方数,乙应该付给甲多少钱,两人付的钱一样多?
5、(2)拉灯的问题: 设有编号为1、2、3,100盏电灯,各有一下拉线开关控制着,开始时都是闭合状态,现有100个学生,第一个学生进来时,凡号码是1的倍数的开关拉了一下,接着第二个 学生进来,把号码是2的倍数的 开关拉一下,第n个学生进来,把号码是n的倍数的开关拉一下,如此下去,最后一个学生进来,把号码是100的 倍数的开关拉一下,直到最后。请问:还有多少盏灯是亮着的? 例4 在方框中填入适当的数,使等式成立。2001=2001分析:容易得出乘数的千位和个位为1,百位和十位分别设为a、b。借助下图可知b等于0或5。试一试:P65在方框中填入适当的数,使等式成立。2004=2004两组解:2004
6、1001=2006004;20041251=2507004例5 在1-13这13个自然数中,选12个填写在空格中,使得每横行四个数的和都相等,每竖列三个数的和也相等。共有多少种不同的填法?分析:因为所选的12个数的和既是3的倍数,又是4的倍数,所以必然12的倍数。,12的倍数中比91略小的数是84,91-84=7,所以没有7。先考虑列:844=21,找出所有和为21的三个数的组合:逐一实验;然后考虑行:843=28结果为:4!3!=144种不同的填法。三、数独游戏数独,是一种源自18世纪末的瑞士,后在美国发展、并在日本得以发扬光大的数字谜题。传统的数独游戏是将一个大正方形划成33的九个九宫格,
7、每个九宫格又由3行3列共9个小方格构成,这样整个大正方形形成一个99的方格群。在这个大正方形内填满1-9的数字,要求大正方形每一行、每一列及每个九宫格内均必须包括1到9的每一个数字,既不能遗漏也不能重复。如初级:9536826431295678123527843795146359368423758239695124951642332957368513951619319725652691541735215796374518975426783238267中级: 能放在哪里?考虑这上面三个九宫格,看看能否决定的位置红色格子能放和,在左上九宫格里,能放的只有红色与棕色格子,但红色格子将会被和所占据,所
8、以能确定棕色格子必然为。看看左上方九宫格里,能否由些微线索决定的位置直观法:(1) 单元唯一法(2) 单元排除法: 在某一单元(即行,列或区块)中找到能填入某一数字的唯一位置,换句话说,就是把单元中其他的空白位置都排除掉。观察数字9在谜题中的位置,可以看到它出现在B2,A4,C7,D8,I1和H9。(3) 区块排除法虽然我们无法确定2在起始于G1的区块中的确定位置,但幸运的是,能填入2的位置正好都在行I上,也就是说,无论2在I1还是在I3,行I的其他单元格中将不可能再出现数字2,所以可以毫不犹豫地排除在I5填入2的可能性,这样,对于起始于G4的区块而言,能填入数字2的位置就只剩下H6了。所以H
9、6=2。接下来,当然毫无疑问,利用单元唯一法,在I5填入数字1。在行C上,数字3的位置可以通过下面的方法来确定:先看行B,利用单元排除法,通过H2和F3位置上的3进行列排除,得到行B中能填入3的位置为B4和B5。碰巧的是,这两个单元格都在起始于A4的区块中,这时已经满足了上述情况3的条件。利用单元排除法的区块排除,则行C上的C4和C5都不能再填入3;再加上F3的列排除的共同努力,最终确定数字3在行C上的唯一位置就是C1。要想求得数字8在第6列的位置,就必须要借助区块排除法。先看第4列,通过位于C3和I8的数字8的行排除,使8在第4列可能填入的位置只剩下D4和F4,而这两个单元格正好都在起始于D
10、4的区块中。因为第4列不能没有数字8,而数字8如果填在区块中的其他位置(如D6,E6或F6)时将迫使D4和F4上不能再填入8,这样会导致第4列没有数字8。因此,第6列中的D6,E6和F6能填入数字8的可能性被排除。这样第6列中就只剩下B6能填入8了。你能确定数字3在起始于A1的区块中的位置吗?先看位于C5的数字3,它不仅排除了同一行中C1和C3中填入3的可能性,也同时排除了同一行中C8和C9填入3的可能性,这使得在起始于A7的区块中,能填入3的位置只剩下B8和B9利用区块排除法,在起始于A7的区块中,无论3在B8还是B9,行B中的其他位置都不能再填入3,所以B1,B2和B3都被排除。于是,在起
11、始于A1的区块中,能填入3的位置仅剩下A1和A2了。但至此我们还无法确定3的准确位置,这时我们还要借助于其他的辅助区块来进一步排除。观察起始于D1的区块,利用D7位置上的3排除同一行的D1,以及用G3位置上的3排除同一列的E3和F3,使区块中可能填入3的位置只余E2和F2,刚好这两个位置都在第2列中,符合上面介绍的第2种情况,于是可以把A2也排除掉。最后,我们就可以很肯定地在A1中填入数字3了。这个例子同时使用了多个辅助区块同时参与排除。在实际使用中虽然这种情况并不常见,但却也不少见。关键在于如何能正确识别并恰当应用区块排除法。相信通过大量的练习并勤于分析思考,这种方法就可以运用自如,得心应手
12、。(4) 唯一余数法 对于单元格G9应该填入什么数字,就算你把前面介绍的所有直观技法都用上,也不得而知。然而,我们通过观察它所在的行,列和区块,可以发现除了数字2以外,1到9中其他的数字都出现了,其中行G中包含了7,6,9,5,3和8,第9列中包含了数字5,8,7和1,起始于G7的单元格中包含了3,8,4,7,5和1。这样,如果G9不填入数字2,就一定会违反游戏“行,列或区块不能出现重复数字”的规则。所以G9中的数字一定是2你能看出来对哪个单元格应用唯一余数法吗?E6=9I7=95.组合排除法组合排除法和区块排除法一样,都是直观法中进阶的技法,但它的应用范围要更小一点。一般情况下,基本没有机会
13、用到这种方法解题,所以要找到相应的例子也都很困难。当然,如果你希望优先以这个技法来解题的话,还是能碰到很多能符合使用组合排除法条件的情况。组合排除法,顾名思义,要考虑到某种组合。这里的组合既包括区块与区块的组合,也包括单元格与单元格的组合,利用组合的关联与排斥的关系而进行某种排除。它也是一种模糊排除法,同样是在不确定数字的具体位置的情况下进行排除的。下面先看一个例子:对于上面这个谜题,你能确定数字6在起始于G4的区块中的位置吗?要想获得正确的答案初看起来有些困难。因为虽然在G9和H3已经存在了两个6,但是利用它们只能行排除区块中的G4和H6两个单元格,还是无法确定6到底是在I4还是在I5中。这
14、时候,组合排除法就派上用场了。现在撇开起始于G4的区块,先看它上面的两个区块,即起始于A4和D4的区块。这几个区块的共同特点是占有同样的几列,也就是第4列至第6列,因此它们之间的数字会相互直接影响。对于起始于A4的区块,利用A1处已有的数字6进行行排除,可以得到这个区块中可能填入6的位置只剩下两个:B5和C6。 对于起始于D4的区块,利用E7处已有的数字6进行行排除,可以得到这个区块中可能填入6的位置也剩下两个:F5和F6。 这时,我们仍无法确定6在这两个区块中的确切位置。但不妨对可能出现的情况作一下分析:1. 假设在起始于A4的区块中,B5=6,则同一区块中的C6必不为6,而且B5还将列排除
15、F5,这样在起始于D4的区块中,只有F6=6。 2. 假设在起始于A4的区块中,C6=6,则同一区块中的B5必不为6,而且C6还将列排除F6,这样在起始于D4的区块中,只有F5=6。 简单地说,只有两种可能:B5=6且F6=6,或者C6=6且F5=6。决不会再出现其他的情况。但无论是其中哪一种情况,第5列和第6列都会有确定的6出现在这两个区块中,也就是说,第5列和第6列的其他位置不可能再出现数字6。这样,原本无法肯定的6在起始于G4区块中的位置,一下子就变得明确了。利用起始于A4和D4的区块对起始于G4的区块进行列排除,可以把I5排除掉,这样,就只剩下I4可以填入6了。小结一下,组合排除法的要
16、满足的条件如下:1. 如果在横向并行的两个区块中,某个数字可能填入的位置正好都分别占据相同的两行,则这两行可以被用来对横向并行的另一区块做行排除。 2. 如果在纵向并行的两个区块中,某个数字可能填入的位置正好都分别占据相同的两列,则这两列可以被用来对纵向并行的另一区块做列排除。 让我们再看一个例子:要想确定数字1在起始于D4的单元格中的位置,我们将设法借助于其横向上相邻两个区块的帮助。利用I2的列排除,我们可以把起始于D1的区块中的E2和F2排除掉,这样,这个区块中能填入1的位置剩下D1,D3和E1。 利用H7的列排除,可以把起始于D7的区块中的E7和F7排除掉,再利用A9的列排除,可以把这个
17、区块中E9和F9排除掉,这样,这个区块中能填入1的位置只剩下D8和E8。虽然在起始于D1的区块中,能填入1的位置多达3个,但是它们正好只分布在行D和行E上,而且在起始于D7的区块中能填入1的位置所占据的也是这两行。最终1的位置只可能有三种情况:D1=1且E8=1;或者D3=1且E8=1;或者E1=1且D8=1。无论是哪种情况,行D和行E都会有确定的1出现在这两个区块中,也就是说,这两行的其他位置不会再出现1。于是,借助于这两个区块的行排除,我们可以把起始于D4的区块中的D4和D6排除掉,再利用G4位置的列排除,最终确定1的位置在F6。下面是其他一些使用组合排除法的例子:在实践中,组合排除法的实
18、际应用机会不如区块排除法多。但是,掌握这一技法无疑可以大大提高求解谜题的灵活性,从而增加解题的乐趣。(6) 矩形排除法对于这个谜题,如果不用矩形排除法是无法继续下去的。我们将通过讲解这种技法,从而找到数字8在起始于G1的区块中的位置。乍看之下,好象一筹莫展。因为B2和E3上的8只能列排除左下角这个区块中的G2, H2,G3和I3这4个单元格,这时仍剩下两个单元格G1和H1无法确定。让我们先来留意一下第6列,这一列中暂时没有8,那么8可能会填入哪几个单元格中呢?首先,B2中的8行排除了B6,而E3和F4中的8又分别行排除了E6和F6。这样,能填入8的位置就只剩下C6和I6了。同样,对于第9列,由
19、于F4的行排除,F9不可能填8,所以这一列能填入8的位置也就只剩下C9和I9了。凑巧的是,这两列中能填入8的位置都在同样的两行上,即行C和行I。这时就为我们应用矩形排除法创造了前提条件。如果第6列中C6=8,那么I6和C9一定不能是8。而第9列这时就只剩下I9能填入8了;又或者如果第6列中I6=8,那么C6和I9一定不能是8,而第9列就只剩下C9能填入8了。不可能再有第3种情况。所以,要么C6=8且I9=8,要么I6=8且C9=8。但无论是哪种情况,不难发现,行C和行I都已填入了8,所以这两行的其他位置不可能再填入8。我们正好可以利用这一点来进行排除。 观察起始于G1的区块,我们已经知道现在只
20、剩下G1和I1两个单元格无法确定了,通过上面的分析,利用矩形排除法排除位于行I上的I1,就可以确定数字8一定在G1上。做到这一步时,不用矩形排除法的话恐怕是走投无路了。这次还是要在起始于G1的区块中找到数字4的位置。但我们无法确定4究竟在G2还是G3呢? 先要找找看有没有满足矩形排除法条件的情况存在。观察行B,在这一行中,由于C5的区块排除,B4和B5都不能为4,再加上H8列排除了B8,这样行B中能填入4的位置包括B1和B3。 再看行F,由于D6的列排除,使得F6不能填4,所以行F中能填入4的位置只有F1和F3幸运的是,行B和行F中能填入4的位置正好都位于同样的两列上,即第1列和第3列。根据上面矩形排除法的规则,第1列和第3列中不在行B和行F上的单元格中不能填入4,所以G3不能为4。这样,起始于G1的区块中就只有G2能填入4了。下面是应用矩形排除法的其他一些例子,希望可以帮助大家快速掌握这种方法:
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