轴对称问题有限元法.docx

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轴对称问题有限元法

第四章轴对称问题有限元法

在工程问题中经常会遇到一些实际结构，它们的几何形状、约束条件和外载荷均对称某一固定轴，我们把该固定轴称为对称轴。

则在载荷作用下产生的应力、应变和位移也都对称此轴。

这种问题就称为轴对称问题。

在离心机械、压力容器、矿山机械、飞行器中经常遇到轴对称问题。

第一节轴对称问题弹性力学基本方程

对于轴对称问题，宜采用圆柱坐标系（

）。

如果将

弹性体的对称轴作为Z轴，则所有应力、应变和位移分量都只是r和Z轴的函数，而与

无关，即不随

变化。

弹性体内任意一点只有两个位移：

即沿r方向的径向位移

和沿Z方向的轴向位移

。

由于轴对称，沿

方向的环向（周向）位移

等于零。

因此轴对称问题是二维问题。

在轴对称弹性体内用相距dr的两个圆柱面和过轴线互成dθ角的两个铅垂面切割出一个高为dz的微元体，如图2所示。

（a）

（b）

沿r方向作用的正应力

称为径向应力

沿θ方向作用的正应力

称为环向应力

沿z方向作用的正应力

称为轴向应力

rz面内的剪应力

=

故轴对称弹性体内任意一点的应力分量

对应的轴对称弹性体内任意一点的应变分量

其中

------沿r方向径向线应变

------沿θ方向环向线应变

------沿z方向轴向线应变

------rz面内的剪应变

与平面问题相比，轴对称问题多了一个环向应变

。

弹性体受载时，点（

）产生径向位移

，使过点（

）的周长增加了

，因而产生相对伸长，即环向应变:

轴对称问题的几何方程（应变与位移之间的关系）为

写成矩阵形式

根据虎克定律，应力与应变的关系为

由上式得

（4-2）

这里弹性矩阵[D]为

[D]＝

第二节三角形截面环单元

一、结构离散化

离散化轴对称体时，采用的单元是一些圆环。

这些圆环单元与rz平面（子午面）正交的截面可以有不同的形状：

3节点三角形、6节点三角形、4节点四边形和8节点四边形等等。

单元的节点是圆周状的铰链，各单元rz平面（子午面）内形成网格。

在我们这里研究的是3节点三角形轴对称单元，这些圆环单元与rz平面（子午面）正交的截面是三角形，如图3所示。