数学必修二重难点.docx

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数学必修二重难点

人教版数学必修二

第三章直线与方程重难点解析

第三章课文目录

3．1　直线的倾斜角与斜率

3．2　直线的方程

3．3　直线的交点坐标与距离公式

重难点：

1、倾斜角、斜率、过两点的直线的斜率公式。

2、直线方程的两点式、截距式的推导及运用。

3、两点间的距离公式和它的简单应用。

4、点到直线距离公式，会求两条平行直线间的距离。

一、直线的倾斜角与斜率

1．直线的倾斜角

　　一条与x轴相交的直线，如果把x轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α叫做直线的倾斜角。

一条直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°。

　　直线倾斜角的取值范围是：

0°≤α<180°。

2．直线的斜率：

　　倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，记为k,即k=tanα。

　　[说明]：

（1）α=0°k=0　

（2）0°<α<90°k>0　（3）90°<α<180°k<0

　　（4）α=90°k不存在。

　　[注意]：

斜率k可以是任意实数，每条直线都存在唯一确定的倾斜角，但不是每条直线都有斜率。

3．过两点的直线的斜率公式：

　　直线经过两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）,（x1≠x2）。

它的斜率。

对于上面的斜率公式要注意下面五点：

（1）当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90°,直线与x轴垂直；

（2）k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;

（3）斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;

（4）当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=0°，直线与x轴平行或重合.

（5）求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．

典型例题：

[例题1]：

已知A（3,2）,B（-4,1）,C（0,-1）,求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.（用计算机作直线,图略）

分析:

已知两点坐标,而且x1≠x2,由斜率公式代入即可求得k的值;

而当k=tanα<0时,倾斜角α是钝角;

而当k=tanα>0时,倾斜角α是锐角;

而当k=tanα=0时,倾斜角α是0°.

解析:

直线AB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角α是锐角;

直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角α是钝角;

直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角α是锐角.

[例题2]：

已知直线l1⊥l2，且l1的倾斜角为，求l1,l2的斜率。

　　解析：

∵l1的斜率角，∴，

　　则l1，l2的斜率分别为。

　　点评：

已知直线的倾斜角，可以由定义式直接得出直线的斜率。

[例题3]：

求出过两点A（-2，0），B（-5，3）的直线的倾斜角和斜率。

　　解析：

，即tanα=-1，而α∈[0，π），∴。

　　点评：

已知直线的斜率，可以直接得出倾斜角，但要注意角的范围。

[例题4]：

已知点P（a,b）（a,b不同时为0），0为坐标原点，求直线OP的斜率和倾斜角。

　　解析：

当b=0时，由a≠0，则OP的倾斜角α=0，斜率k=0。

　　当a,b同号时，，。

　　当a,b异号时，。

　　当a=0时，由b≠0，则，k不存在。

　　点评：

斜率是否存在，与P点位置有关；斜率的正、负与零，倾斜角的表达方式不同，这是因为倾角的范围造成的。

[例题5]：

如图，直线的倾斜角，直线，求、的斜率。

解析：

的斜率，

∵的倾斜角，

∴的斜率．

[例题6]：

已知和分别是的倾斜角和斜率，当

（1）；

（2）；（3）时，分别求直线的斜率．

解析：

当时，∵，∴．

当时，∵，∴，∴．

当时，∵，∴，∴．

[例题7]：

已知直线l的方程：

（λ2+1）x+2λy-1-λ2=0（λ∈R）。

（1）求直线l的倾斜角的范围；

（2）证明此直线恒过一定点，并求定点坐标。

　　解析：

（1）当λ=0时，倾角；当λ≠0时，直线化为：

，

　　若λ>0，直线斜率。

　　若λ<0，直线斜率。

　　综上所述，l的倾角的范围是。

（2）原方程变形为以λ为主变量的方程：

（x-1）λ2+2λy+（x-1）=0，令，可知此方程与λ无关的解为x=1,y=0。

故直线l恒过定点（1,0）。

二、直线的方程

直线方程的四种形式：

（1）点斜式：

　　已知：

直线l经过定点P0（x0,y0），且斜率为k，则直线l的方程为：

y-y0=k（x-x0），称为直线的点斜式方程。

特别地，当l的倾斜角为0°时，k=tan0°=0，此时，l的方程为y=y0。

　　如果直线l的斜率为k,与y轴的交点为（0,b），代入点斜式得l的方程为：

y=kx+b（其中，b叫直线l的纵截距），这便是直线的斜截式。

　　[注意]：

斜截式是点斜式的特例，两者均不能表示与x轴垂直的直线方程。

换句话说，斜率存在的直线才可以用点斜式或斜截式表示，斜率不存在的直线的方程可写成x=x0的形式（直线经过P0（x0,y0））。

此外，斜截式中的b不是指距离，而是直线与y轴交点的纵坐标。

b可正可负，也可为0。

（2）两点式：

　　已知：

直线l过两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2），（x1≠x2），则利用斜率公式和点斜式可得l的方程为：

　　（其中x1≠x2，y1≠y2）。

　　这便是直线方程的两点式。

两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，但把两点式化为整式形式：

（x2-x1）（y-y1）=（y2-y1）（x-x1），就可以利用它求出平面内过任意两个已知点的直线方程：

　　若x1=x2,y1≠y2时，则有x-x1=0，即:

x=x1；

　　若y1=y2,x1≠x2时，则有y-y1=0,即：

y=y1。

　　（3）截距式：

　　如果直线l在x轴，y轴上的截距分别为a和b（a≠0,b≠0），则l的方程为：

。

　　这便是直线方程的截距式，显然，截距式是两点式的特例，它不能表示与坐标轴垂直及过原点的直线。

　　（4）一般式：

　　方程Ax+By+C=0（A、B不全为零）叫做直线方程的一般式。

任何一条直线的方程都可以化成一般式。

　　直线的方程都是二元一次方程；任何一个关于x,y的二元一次方程都表示一条直线。

这就是直线与二元一次方程的关系。

　　当B≠0时：

直线Ax+By+C=0的斜率，在y轴上的截距。

　　当B=0时：

直线Ax+By+C=0的斜率不存在，在x轴上的截距。

　　综上所述，两个独立条件确定一条直线，所以求一条直线的方程，必须给出两个独立的条件。

一般说来，确定一条直线主要有两种方法。

第一个方法，由直线上的一点和直线的方向确定。

而直线的方向由斜率确定，这便是直线方程的点斜式的由来（斜截式是点斜式的特例）。

第二个方法，由两点确定一条直线，这便是两点式的由来，当然两点式也可以由点斜式而来，截距式可看作是两点式的特例。

四种形式（点斜式、斜截式、两点式、截距式）进行比较：

直线名称

已知条件

直线方程

使用范围

示意图

点斜式

斜截式

两点式

（

截距式

典型例题：

[例题1]：

求满足下列条件的直线方程：

（1）经过点P（-2,3），倾斜角是直线的倾斜角的一半。

（2）经过点P（-2,3），且在两坐标轴上截距相等。

　　（3）经过两点A（-2,3）,B（4,-1）。

　　（4）经过点P（-2,3），且与两坐标轴围成三角形的面积为4。

　　解析：

（1）由题设直线方程为y-3=k（x+2）。

　　因为直线中，∴此直线倾斜角α=120°，

　　由题所求直线的倾斜角θ=60°，则：

，所以方程为

　　即：

就是所求方程。

（2）当直线过原点时：

设直线为y=kx，由于过P（-2,3），则3=-2k，则，则为直线方程。

　　当直线不过原点时：

设直线为，由于过P（-2,3），则，∴a=1，

　　所以，方程为x+y=1，即：

x+y-1=0就是所求方程。

　　（3）由两点式得，即：

2x+3y-5=0。

　　（4）由题可设方程为y-3=k（x+2），分别令x=0得纵截距b=2k+3；y=0得横截距。

　　又由题得：

，解之得。

　　故所求方程为：

和，即：

x+2y-4=0或9x+2y+12=0。

评点：

（1）要根据不同的条件，选择适当的方程形式。

（2）在点斜式和斜截式中，都有斜率k,常把k作为参数引入待定。

　　（3）截距相等，要注意区分截距是否为零，即是否过原点。

　　（4）直线方程的最后结果要求写成斜截式或者一般式的形式。

[例题6]：

已知点P（x,y）,A（x1,y1）,B（x2,y2）,（x1≠x2）则点P在直线AB上的充要条件是（）。

　　A、　　B、

　　C、　　D、

　　提示：

本题复习充分条件和必要条件；直线的方程和方程的直线；定比分点坐标公式并渗透参数方程等内容，但作为选择题，只要熟悉概念，不难判断：

A：

P不能取A点，B：

不能取A点和B点，D：

不能取A点和B点，故只能选C。

　　事实上，对于C：

当t=0时，表示B点，当t=1时，表示A点。

　　当t≠0，1时，，由定比分点公式知，它可以表示直线AB上所有异于A、B的点（反之亦然）。

[例题7]：

过点P（2，1）作直线交正半轴于AB两点，当取到最小值时，求直线的方程.

解析：

设直线的方程为：

令＝0解得；令＝0，解得

∴A（，0），B（0，），

∴＝

当且仅当即时，取到最小值.

又根据题意，∴

所以直线的方程为：

点评：

此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除＝1的情形

[例题8]：

一直线被两直线：

，：

截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.

解析：

设所求直线与，的交点分别是A、B，设A（），则B点坐标为（）

因为A、B分别在，上，所以

①＋②得：

，即点A在直线上，又直线过原点，所以直线的方程为.

[例题9]：

直线在轴上的截距是－1，而且它的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则（）

A.A＝，B＝1B.A＝－，B＝－1

C.A＝，B＝－1D.A＝－，B＝1

解析：

将直线方程化成斜截式.

因为＝－1，B＝－1，故否定A、D.

又直线的倾斜角＝，

∴直线的倾斜角为2＝，

∴斜率－＝-，

∴A＝－，B＝－1，故选B

[例题10]：

若直线通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件（）

A.A、B、C同号B.AC＜0，BC＜0C.C＝0，AB＜0D.A＝0，BC＜0

解法一：

原方程可化为（B≠0）

∵直线通过第二、三、四象限，

∴其斜率小于0，轴上的截距小于0，即－＜0，且－＜0

∴＞0，且＞0

即A、B同号，B、C同号.∴A、B、C同号，故选A

解法二：

（用排除法）

若C＝0，AB＜0，则原方程化为＝－.

由AB＜0，可知－＞0.

∴此时直线经过原点，位于第一、三象限，故排除C.

若A＝0，BC＜0，则原方程化为.由BC＜0，得－＞0.

∴此时直线与轴平行，位于轴上方，经过一、二象限.故排除D.

若AC＜0，BC＜0，知A、C异号，B、C异号

∴A、B同号，即AB＞0.

∴此时直线经过第一、二、四象限，故排除B.故A、B、C同号，应选A

[例题11]：

直线（＝0）的图象是（）

解法一：

由已知，直线的斜率为，在轴上的截距为

又因为＝0.

∴