现代控制理论第3版课后习题答案.doc
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《现代控制理论参考答案》
第一章答案
1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：
系统的模拟结构图如下：
系统的状态方程如下：
令，则
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2有电路如图1-28所示。
以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解：
由图，令，输出量
有电路原理可知：
既得
写成矢量矩阵形式为：
1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：
系统的状态空间表达式如下所示：
1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：
令，则有
相应的模拟结构图如下：
1-6
（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图
解：
1-7给定下列状态空间表达式
‘
（1）画出其模拟结构图
（2）求系统的传递函数
解：
（2）
1-8求下列矩阵的特征矢量
（3）
解：
A的特征方程
解之得：
当时，
解得：
令得
（或令，得）
当时，
解得：
令得
（或令，得）
当时，
解得：
令得
1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）
（2）
解：
A的特征方程
当时，
解之得令得
当时，
解之得令得
当时，
解之得令得
约旦标准型
1-10已知两系统的传递函数分别为W1（s）和W2（s）
试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果
解：
（1）串联联结
（2）并联联结
1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
求系统的闭环传递函数
解：
1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为
求系统的闭环传递函数
解：
1-12已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b（即控制列阵）为
（1）
解法1：
解法2：
求T,使得得所以
所以，状态空间表达式为
第二章习题答案
2-4用三种方法计算以下矩阵指数函数。
（2）A=
解：
第一种方法：
令
则，即。
求解得到，
当时，特征矢量
由，得
即，可令
当时，特征矢量
由，得
即，可令
则，
第二种方法，即拉氏反变换法：
第三种方法，即凯莱—哈密顿定理
由第一种方法可知，
2-5下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A阵。
（3）（4）
解：
（3）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
（4）因为，所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
2-6求下列状态空间表达式的解：
初始状态，输入时单位阶跃函数。
解：
因为，
2-9有系统如图2.2所示，试求离散化的状态空间表达式。
设采样周期分别为T=0.1s和1s，而和为分段常数。
图2.2系统结构图
解：
将此图化成模拟结构图
列出状态方程
则离散时间状态空间表达式为
由和得：
当T=1时
当T=0.1时
第三章习题
3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性。
系统中a,b,c,d的取值对能控性和能观性是否有关，若有关，其取值条件如何？
（1）系统如图3.16所示：
解：
由图可得：
状态空间表达式为：
由于、、与无关，因而状态不能完全能控，为不能控系统。
由于只与有关，因而系统为不完全能观的，为不能观系统。
（3）系统如下式：
解：
如状态方程与输出方程所示，A为约旦标准形。
要使系统能控，控制矩阵b中相对于约旦块的最后一行元素不能为0，故有。
要使系统能观，则C中对应于约旦块的第一列元素不全为0，故有。
3-2时不变系统
试用两种方法判别其能控性和能观性。
解：
方法一：
方法二：
将系统化为约旦标准形。
，
中有全为零的行，系统不可控。
中没有全为0的列，系统可观。
3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数
解：
构造能控阵：
要使系统完全能控，则，即
构造能观阵：
要使系统完全能观，则，即
3-4设系统的传递函数是
（1）当a取何值时，系统将是不完全能控或不完全能观的？
（2）当a取上述值时，求使系统的完全能控的状态空间表达式。
（3）当a取上述值时，求使系统的完全能观的状态空间表达式。
解：
（1）方法1：
系统能控且能观的条件为W（s）没有零极点对消。
因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。
方法2：
系统能控且能观的条件为矩阵C不存在全为0的列。
因此当a=1,或a=3或a=6时，系统为不能控或不能观。
（2）当a=1,a=3或a=6时，系统可化为能控标准I型
（3）根据对偶原理，当a=1,a=2或a=4时，系统的能观标准II型为
3-6已知系统的微分方程为：
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。
解：
系统的状态空间表达式为
传递函数为
其对偶系统的状态空间表达式为：
传递函数为
3-9已知系统的传递函数为
试求其能控标准型和能观标准型。
解：
系统的能控标准I型为
能观标准II型为
3-10给定下列状态空间方程，试判别其是否变换为能控和能观标准型。
解：
3-11试将下列系统按能控性进行分解
（1）
解：
rankM=2<3，系统不是完全能控的。
构造奇异变换阵：
，其中是任意的，只要满足满秩。
即得
3-12试将下列系统按能观性进行结构分解
（1）
解：
由已知得
则有
rankN=2<3，该系统不能观
构造非奇异变换矩阵，有
则
3-13试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解
（1）
解：
由已知得
rankM=3，则系统能控
rankN=3，则系统能观
所以此系统为能控并且能观系统
取，则
则，，
3-14求下列传递函数阵的最小实现。
（1）
解：
，，
，，
系统能控不能观
取，则
所以，
，
所以最小实现为，，，
验证：
3-15设和是两个能控且能观的系统
（1）试分析由和所组成的串联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数；
（2）试分析由和所组成的并联系统的能控性和能观性，并写出其传递函数。
解：
（1）和串联
当的输出是的输入时，
，
则rankM=2<3，所以系统不完全能控。
当得输出是的输入时
，
因为
rankM=3则系统能控
因为
rankN=2<3则系统不能观
（2）和并联
，
因为rankM=3，所以系统完全能控
因为rankN=3，所以系统完全能观
现代控制理论第四章习题答案
4-1判断下列二次型函数的符号性质：
（1）
（2）
解：
（1）由已知得
，，
因此是负定的
（2）由已知得
，，
因此不是正定的
4-2已知二阶系统的状态方程：
试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件。
解：
方法
（1）：
要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定，则要求满足A的特征值均具有负实部。
即：
有解，且解具有负实部。
即：
方法
（2）：
系统的原点平衡状态为大范围渐近稳定，等价于。
取，令，则带入，得到
若，则此方程组有唯一解。
即
其中
要求正定，则要求
因此，且
4-3试用lyapunov第二法确定下列系统原点的稳定性。
（1）
（2）
解：
（1）系统唯一的平衡状态是。
选取Lyapunov函数为，则
是负定的。
，有。
即系统在原点处大范围渐近稳定。
（2）系统唯一的平衡状态是。
选取Lyapunov函数为，则
是负定的。
，有。
即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-6设非线性系统状态方程为：
试确定平衡状态的稳定性。
解：
若采用克拉索夫斯基法，则依题意有：
取
很明显，的符号无法确定，故改用李雅普诺夫第二法。
选取Lyapunov函数为，则
是负定的。
，有。
即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-9设非线性方程：
试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。
解：
（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：
，有。
取
则，根据希尔维斯特判据，有：
，的符号无法判断。
（2）李雅普诺夫方法：
选取Lyapunov函数为，则
是负定的。
，有。
即系统在原点处大范围渐近稳定。
4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数
解：
假设的梯度为：
计算的导数为：
选择参数，试选，于是得：
，显然满足旋度方程，表明上述选择的参数是允许的。
则有：
如果，则是负定的，因此，是的约束条件。
计算得到为：
是正定的，因此在范围内，是渐进稳定的。
现代控制理论第五章习题答案
5-1已知系统状态方程为：
试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。
解：
依题意有：
，系统能控。
系统的特征多项式为：
则将系统写成能控标准I型，则有。
引入状态反馈后，系统的状态方程为：
，其中矩阵，设，则系统的特征多项式为：
根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：
比较各对应项系数，可解得：
则有：
。
5-3有系统：
（1）画出模拟结构图。
（2）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？
（3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。
解
（1）系统模拟结构图如下：
（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统完全能控。
对于系统有：
，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。
（3）系统的特征多项式为：
则将系统写成能控标准I型，则有。
引入状态反馈后，系统的状态方程为：
，设，则系统的特征多项式为：
根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：
比较各对应项系数，可解得：
。
5-4设系统传递函数为
试问能否
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