串并联电路中的等效电阻计算公式.docx

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串并联电路中的等效电阻计算公式

串、并联电路中的等效电阻

　　学习目标要求：

　　1．知道串、并联电路中电流、电压特点。

　　2．理解串、并联电路的等效电阻。

　　3．会计算简单串、并联电路中的电流、电压和电阻。

　　4．理解欧姆定律在串、并联电路中的应用。

　　5．会运用串、并联电路知识分析解决简单的串、并联电路问题。

　　中考常考内容：

　　1．串、并联电路的特点。

　　2．串联电路的分压作用，并联电路的分流作用。

　　3．串、并联电路的计算。

　　知识要点：

　　1．串联电路的特点

（1）串联电路电流的特点：

由于在串联电路中，电流只有一条路径，因此，各处的电流均相等，即；因此，在对串联电路的分析和计算中，抓住通过各段导体的电流相等这个条件，在不同导体间架起一座桥梁，是解题的一条捷径。

（2）由于各处的电流都相等，根据公式，可以得到，在串联电路中，电阻大的导体，它两端的电压也大，电压的分配与导体的电阻成正比，因此，导体串联具有分压作用。

串联电路的总电压等于各串联导体两端电压之和，即。

　　（3）导体串联，相当于增加了导体的长度，因此，串联导体的总电阻大于任何一个串联导体的电阻，总电阻等于各串联导体电阻之和，即。

如果用个阻值均为的导体串联，则总电阻。

　　2．并联电路的特点

（1）并联电路电压的特点：

由于在并联电路中，各支路两端分别相接且又分别接入电路中相同的两点之间，所以各支路两端的电压都相等，即。

因此，在电路的分析和计算中，抓住各并联导体两端的电压相同这个条件，在不同导体间架起一座桥梁，是解题的一条捷径。

（2）由于各支路两端的电压都相等，根据公式，可得到，在并联电路中，电阻大的导体，通过它的电流小，电流的分配与导体的电阻成反比，因此，导体并联具有分流作用。

并联电路的总电流等于各支路的电流之和，即。

　　（3）导体并联，相当于增大了导体的横截面积，因此，并联导体的总电阻小于任何一个并联导体的电阻，总电阻的倒数等于各并联导体电阻的倒数之和，即。

如果用个阻值均为的导体并联，则总电阻。

　　（4）并联电路各支路互不影响，即当一条支路中的电阻发生改变时，只会导致本支路中的电流发生改变，而对其他支路中的各物理量均无影响（因为其他支路两端的电压和电阻均未改变），但是干路中的电流会随可变支路中电流的增大而增大，随着可变支路中电流的减小而减小，而且增大和减小的数值相同。

　　3．总电阻和等效电阻

　　电路中任何一部分的几个电阻，总可以由一个电阻来代替，而不影响这一部分两端电路原来的电压和电路中这部分的电流强度。

这一个电阻就叫做这几个电阻的总电阻。

也可以说，将这一个电阻代替原来的几个电阻后，整个电路的效果与原来几个电阻的效果相同，所以这一个电阻叫做这个电阻的等效电阻。

　　4．并联电路一条支路的电阻变大，总电阻将变大

　　根据并联电路的电阻特点得到。

当增大时，变小，也变小，而变大，也就是变大。

　　典型例题：

　　例1．如图1所示电路，电源电压为20伏特且保持不变，已知：

电阻；当开关闭合，断开时，电阻和两端的电压为和；当开关闭合，断开时，电阻、、两端的电压分别为、、，已知：

，。

求：

（1）当开关闭合，断开时，电阻两端的电压为多少伏特；

（2）电阻与之比。

　　解析：

该题分为两种状态，第一次电路，当开关闭合，断开时，电阻和串联，设此时电路中的电流为，电阻两端的电压……①

　　当开关断开，闭合时，电压、、串联，此时电路中的电流设为，电阻两端的电压为……②

　　将①式和②式相比，便可以求出两次电路的电流之比，

　　因为已知：

，即，约去得。

　　又已知，……③，……④

　　③式与④式相比：

，，得

　　这样就把题目中的第二问求出，电阻。

下面只要将电阻和的关系找出，或电阻和的关系找出，就可以根据第二次电路的电阻关系分压，继而可以求出电阻两端的电压。

利用两次电路的电流比和电源电压不变的关系列出两个方程。

已知：

，，

　　第一次电路，当开关闭合，断开时，电路中电流……⑤

　　第二次电路，当开关断开，闭合时，电路中电流：

……⑥

　　将⑤式和⑥式相比：

，，整理得：

。

　　对于第二次电路：

，所以，

　　因为电源电压伏特，所以电阻两端电压。

　　答：

（1）当闭合开关，断开时，电阻两端的电压；

（2）电阻和的比为。

　　例2．有一个看不清楚的电阻（大约几欧姆），为了测出它的阻值，设计了如图所示电路，电源电压不变。

已知电路中定值电阻的阻值为12欧姆，滑动变阻器的最大阻值是10欧姆。

当开关闭合，断开，滑动变阻器的滑片在端时，电路中电流表的示数为安培。

当开关和都闭合，滑动变阻器的滑片在变阻器的端时，电路中电流表的示数为2安培。

　　求：

电路中定值电阻的阻值是多少欧姆。

　　解析：

此题可以根据两种状态列方程，利用电源电压不变解方程组。

　　当开关闭合，断开，滑动变阻器的滑片在变阻器端时，滑动变阻器和电阻串联，此时电路中电流表的示数设为，，

　　列出方程：

……①

　　当开关和都闭合，滑动变阻器的滑片位于变阻器的端时，电阻和并联，此时干路中电流表的示数设为，，又可以列出一个方程：

……②

　　①式等于②式，又已知：

，，

　　代入数据得，

　　整理得，，解得，（舍去）。

　　答：

因为题目中已给出大约是几欧的，所以20欧姆舍去，为6欧姆。

　　例3．如图3所示电路，电源电压保持不变，调节滑动变阻器的滑片，使滑动变阻器连入电路的阻值为为5欧姆时，电路中电压表的示数为10伏特，设此时电路中的电流为。

然后再调节滑动变阻器的滑片，使变阻器连入电路的阻值为15欧姆时，电压表示数为5伏，此时设电路中的电流强度为。

   求：

（1）两次电路的电流强度之比；

（2）电源电压是多少伏特。

　　   （3）定值电阻的阻值是多少欧姆？

　　解析：

此题分为两次电路，第一次电路设电压表的示数为，则，……①

　　第二次电路，设电压表示数为，，……②

　　将①式和②式相比：

，约去电阻得，，

　　利用电源电压相等的关系列方程，可以求出电阻的电阻值。

　　第一次电路的电流：

……③，第二次电路的电流：

……④

  将③式与④式相比，

   代入数据得，，解得

　　在第一次电路中，因为，，电阻比为：

，所以电阻两端的电压与变阻器两端的电压比，又，故此，电源电压。

　　答：

（1）两次电路的电流比；

（2）电阻的阻值为5欧姆；（3）电源电压为20伏特。

　　例4．如图4所示电路，电源电压不变，已知电阻的阻值为30欧姆，当滑动变阻器的滑片位于变阻器的中点时，电路中电压表的示数为伏特。

当滑动变阻器连入电路的电阻时，电路中电压表的示数为。

当滑动变阻器的滑片位于变阻器的端时，电路中电压表的示数为。

已知。

   求：

（1）滑动变阻器的最大阻值；

（2）电源电压。

　　解析：

该题分为三种状态，也就是三个电路，当滑动变阻器的滑片位于处时，此时它两端的电压为，设此时电路中的电流为，则……①

　　当滑动变阻器的滑片位于变阻器的端时，此时它两端的电压为，设此时电路中的电流为，则……②

　　已知：

，将①式和②式相比得：

　　约去，，得。

　　然后利用电源电压不变的关系列方程，便可以求出滑动变阻器的最大阻值。

　　当滑动变阻器的滑片位于变阻器处时，电路中的电流……③

　　当滑动变阻器的滑片位于变阻器的端时，电路中的电流……④

　　将③式与④式相比得：

，，解得，。

　　当滑动变阻器的滑片位于变阻器的中点时，电路中电压表的示数，滑动变阻器的阻值此时为，即，设此时电阻两端的电压为，利用串联电路正比分压公式，可以求出电阻两端的电压，继而可以求出电源电压。

　　，，解得：

，电源电压。

　　答：

（1）滑动变阻器的最大阻值为90欧姆；

（2）电源电压为12伏特。

测试

　　选择题

　　1．如图1所示电路，电源电压保持不变，当开关断开与闭合时，电路中电流表的示数比是1∶3，则可知电阻和的阻值之比是（　）

   A、1∶3　　B、1∶2　　C、2∶1　　D、3∶1

　　2．如图2所示电路，电源电压保持不变。

定值电阻的阻值为4欧姆，定值电阻的阻值为20欧姆，电路中电压表和电压表的示数分别为5伏特和9伏特，则电阻是（　）

    A、4欧姆　B、8欧姆　C、12欧姆　D、16欧姆

　　3．如图3所示电路，电源电压保持不变。

当开关闭合后，电路中电压表的示数为4伏特，电压表的示数为6伏特；电路中电流表的示数为1安培，且当电阻与对换位置后，电压表、电压表、电流表三表的示数均不发生改变，则（　）

　　A、通过三个电阻、、的电流之和是1安培　

　　B、电阻=1欧姆

　　C、电源电压为10伏特　

　　D、电阻两端的电压4伏特

　　4．如图4所示电路，电源电压保持不变。

当滑动变阻器的滑片在变阻器端，且只闭合开关时，电路中电压表、的示数比为1：

1。

当开关和都闭合时，电路中电流表、的示数之比为2：

1。

若将滑动变阻器的滑片固定在变阻器中央时，则以下说法中错误的是（　）

　　A、只闭合开关时，电压表、的示数之比为2：

1

　　B、只闭合开关时，电压表、的示数之比为4：

1

　　C、开关和都闭合时，电流表、的示数比为2：

1

　　D、开关和都闭合时，电流表、的示数比为1：

2。

　　5．有两个定值电阻和，它们的阻值之比为，将它们串联在电压恒定的电源上，若电阻两端的电压是3伏特，那么电源电压是（　）

　　A、3伏特　　B、9伏特　　C、6伏特　　D、12伏特

　　6．如图5所示电路，电源电压为6伏特且保持不变，已知电阻的阻值为200欧姆，电阻的阻值为300欧姆。

当滑动变阻器的滑片从端移到端时，电压表示数的变化情况是（　）

　　A、6伏特至0伏特　B、伏特至6伏特　C、6伏特至伏特　D、6伏特至伏特

　　7．如图6所示电路，电源电压保持不变，电路中电流表的示数是安培。

若在电路中A、B两点之间再接入电阻时，且：

=2。

则此时电路中电流表的示数为（　）

　　A、安培　B、安培　C、安培　D、安培

　　8．三个电阻，当把它们并联时总电阻为，则它们的大小关系是（　）

　　A、　B、　C、　D、

答案与解析

　　答案：

　　1、B　2、D　3、B　4、D　5、D　6、C　7、C　8、D

　　解析：

　　1．

　　解析：

当开关断开时，电阻和串联，根据欧姆定律公式可以列出方程：

设此时电路中电流表的示数为，当开关闭合时，电阻被短路，电路中只有电阻，设此时电路中电流表的示数为，则，又已知，将两式相比得：

，，+=3，=2，。

　　2．

　　解析：

该电路是电阻、和三个电阻串联，电路中电压表是测量电阻和两端电压的，示数为伏特；电路中电压表是测量和两端电压的，其示数为伏特，根据串联电路中电流相等的特点，分别列出方程，便可求出电阻的电阻值。

，代入数据后解得欧姆。

　　3．

　　解析：

此电路是电阻、、串联，电路中电压表是测量电阻、两端电压，设为伏特，电压表是测量电阻和两端电压，设为伏特，设电路中电流表的示数为安培，此电路既然是一个串联电路，那么通过电阻、、的电流应该是相等的，所以A选项是错误的。

　　因为将电阻和对换位置后，三个表的示数不变，由于三个电阻组成的是串联电路，电路的总电阻就一定了，所以电流表的示数不变是很自然的事了，但电压表是测量电阻和两端电压的，电压表是测量电阻和两端电压的，电压的分配也是固定不变的，如果将电阻和对换位置后，两个电压表的示数也不变，说明电压的分配也没有发生改变，从而可以推断电阻和的电阻值是相等的。

因为电压表的示数是6伏特，所以电阻和两端的电压是相等的，各为3伏特，故此选项D是错误的。

　　又已知电压表的示数是4伏特，电压表是测量电阻和两端电压的，已经知道电阻两端电压是3伏特，所以电阻两端电压就为1伏特。

通过以上分析，电阻两端电压为1伏特，电阻两端电压为3伏特，电阻两端电压为3伏特，那么电源电压就应该为7伏特，所以选项C也是错误的。

　　由于电阻两端的电压是1伏特，通过电阻的电流为1安培，所以电阻的阻值就是1欧姆。

　　4．

　　解析：

根据已知条件可知，当滑动变阻器的滑片在端且只闭合时，电路中电阻和滑动变阻器串联，电阻没有接入电路中，此时电压表是测量电阻两端电压的，设为；电压表是测量滑动变阻器两端电压的，设为，因为，所以，那么当滑动变阻器的滑片固定在变阻器中央时，：

=2：

1，（设变阻器中点为），所以电压表和电压表的示数之比也应该是2：

1，所以选项A是正确的。

　　又当开关和闭合时，电阻和并联，电流表是测量通过中的电流强度的，电流强度设为；电流表是测量通过电阻中的电流强度的，电流强度设为；又已知，说明，从而可以得出：

电阻与滑动变阻器一半电阻的比为4：

1，即，故此当滑动变阻器的滑片固定在中点且只闭合时，电压表测电阻两端电压设为，电压表测量变阻器两端电压设为，因为，所以，因此选项B也是正确的。

　　当开关和都闭合时，电阻和并联，，所以，电流表和电流表的示数之比为，C选项也是正确的。

很显然D选项是错误的。

　　5．

　　解析：

将电阻和串联起来，已知电阻两端电压是3伏特，电阻和的阻值之比为3：

1，根据串联电路的特点，各电阻两端电压的分配跟电阻成正比，根据公式：

，伏特，又根据，可得9伏+3伏=12伏特，电源电压为12伏特。

　　6．

　　解析：

该电路是一个串联电路，值得注意的问题是：

滑片的移动不起到改变电路中电阻的作用，也就是说，滑片移动时，电路中的电阻是不改变的。

当滑片在端时，电压表是测电源电压的，此时电压表的示数是6伏特。

当滑片移到端时，电压表测电阻两端电压，根据串联电路特点，正比分压公式，设电阻两端电压为，电阻两端电压为，已知电源电压为伏特，求，将数据代入上式得，解得=伏。

当滑片在端时，电压表示数为6伏特，当滑片在端时，电压表示数为伏特。

　　7．

　　解析：

首先要弄清楚，当在电路中A、B两点之间再接入电阻时，就是将与并联，组成一个并联电路，还必须知道，此时通过电阻的电流安培是不变的，干路电流也就是电流表的示数要变大，因为电源电压不变，并联一个电阻时，电路的总电阻变小了，所以干路中的电流变大了。

　　又由于通过电阻的电流是不变的，仍为安培，那么增大了的电流是通过电阻的电流，

　　根据并联电路分流的特点，，又已知：

=2，即：

=1：

2，代入公式便可以求出，，解得安培。

　　根据并联电路中电流的特点：

=安培，故此电路中电流表的示数为安培。

　　8．

　　解析：

当与并联时总电阻，所以，因为，所以。

也就是并联电阻的总电阻要小于任何一支路的电阻的阻值。

中　考　解　析

串、并联电路中的等效电阻

　　1．（吉林省）几个导体串联起来的总电阻比其中任何一个导体的电阻都大，这相当于增加了导体的__________。

　　解析：

理解串联的总电阻跟各部分导体电阻的关系，就可答出此题。

　　答案：

长度

　　2．（哈尔滨市）铭牌上标有“6V10Ω”的电铃，要使它能在9伏的电路中正常工作，需要串联一个＿＿＿＿＿欧的电阻。

　　解析：

根据I=，连接到9伏的电路中正常工作，则

　　R总=,则应串联R¢=15W－10W=5W的电阻。

　　此题“正常工作”是关键。

　　答案：

5

　　3．（四川省）阻值分别为20欧和30欧的两个电阻，它们串联时的总电阻是____欧，它们并联时的总电阻是____欧。

　　解析：

电阻串联或并联使用时总电阻的计算。

　　串联时，R=R1+R2，并联时，或。

　　答案：

50；12

　　4．（北京市东城区）一个小灯泡的额定电压是6伏，额定电流是安。

若把它接到10伏的电源上，且使它正常工作，应该给它串联一个阻值是_________欧的电阻。

　　解析：

串联电路电流处处相等，灯泡的额定电压是6，接到10伏的电源上，应串联一个电阻分压。

所以R灯===30Ω　R总===50Ω

　　∴R=R总-R灯=50Ω-30Ω=20Ω。

　　答案：

20

　　5．（天津市）如图1所示，电源电压为6伏，闭合开关S后，发现两灯泡均不亮，检查后发现L1灯丝断了，电路其它部分均正常，如果用电压表测量bc两点间电压应为______伏。

   解析：

由题可知L1的灯丝断了，b、c之间断路，其它各点都连通，把电压表连到b、C之间，相当于电压表与L2串联到电路中，Rv＞＞R2，UV=RVI＞＞R2I，故电压表的示数约等于电源电压6伏。

即b、C之间电压为6伏。

　　答案：

6

   6．（安徽省）如图2所示电路中的电源电压不变，电阻R=10欧，闭合开关S后，电流表的读数为I。

当将一个阻值为_______欧的电阻与电阻R____联时，电流表的读数变为2I。

   解析：

要求学生掌握欧姆定律，并理解并联后总电阻与各并联电阻的关系，就可得出正确答案。

本题考查了学生的理解能力。

   答案：

10；并

   7．（北京市海淀区）如图3所示，电源电压不变，R1=8欧，R2=12欧。

当S1闭合、S2断开，①、②都是电流表时，两表示数之比为　　　，当S1、S2都闭合，①、②都是电压表时。

两表示数之比为　　　。

　　解析：

本题虽是填空但要求较高，学生首先分析出当S1闭合、S2断开，①、②都是电流表时，R1，R2是并联，当S1，S2都闭合，①、②都是电压表时，R1，R2是串联，在以上基础上，问题就很容易解决了。

本题考查了学生的综合能力．

　　答案：

2:

5；　5:

3

　　8．（西宁市）三个电阻并联后接到电源上R1:

R2:

R3=1:

2:

3，它们两端的电压之比U1:

U2:

U3=___________。

通过它们的电流强度之比I1:

I2:

I3　

　　解析：

学生要掌握关联电路中电压的关系和电流的关系，就能答出此题。

　　答案：

1:

1:

1；　6:

3:

2

　　9．（吉林省）一只阻值为欧的电阻与另一只阻值为10欧的电阻并联，并联后的总电阻（　）

　　A．小于欧　B．等于1欧　C．等于欧　D．小于10欧，但大于欧

　　解析：

根据“并联电路的总电阻比任何一个支路中的电阻都小”的知识可判断正确答案为A。

此题考查了学生的理解能力。

　　答案：

A

　　10．（天津市）两个相同的灯泡串联在一起接在某一电源上，每个灯泡两端的电压均为，若把这两个灯泡并联起来接在原来的电源上，每个灯泡两端的电压为，则（　）

　　A．U1:

U2=1:

1　B．U1:

U2=2:

1　C．U1:

U2=1:

2　D．U1:

U2=1:

4

　　解析：

要求学生明确掌握串、并联电路中电压之间的关系，注意电源电压不变，即可算出正确答案为C。

本题考查了学生综合运用知识的能力。

　　答案：

Ｃ

　　11．（天津市）如图4所示，电流表A1、A2、A3的示数分别为30毫安、50毫安、70毫安，则电流表（　）

　　A．A的示数是120毫安　B．A的示数是70毫安

　　C．A的示数是80毫安　D．A的示数是30毫安

　 解析：

首先判断出图中所示为一并联电路，然后明确图中五个电流表测的是哪些灯炮的电流，根据题目要求可推出A、C是正确的。

　　答案：

A、C

　　12．（江西省）如图5所示电路中，电源电压保持不变，当开关S2闭合时，电流表示数将（　　）

　　A．增大　B．减小　　C．不变　D．无法确定

　　解析：

应知道并联电路各支路之间互不影响，更应进一步理解R1两端电压不变，自身电阻没变，根据欧姆定律，R1中的电流是不变的，增加了一个支路，电流表接在干路上，示数应增大，不要误认为R2分一部分电流过来，干路电流不变。

　　答案：

A

　　13．（河北省）如图6所示电路中，电源电压保持不变。

当S闭合时，R1和R3两端的电压之比为U1:

U3=1:

4，电流表的示数为I；当S断开时，R1、R2、R3两端的电压分别为U1'、U2'、U3'，且U1':

U2'=1:

2，电流表的示数为I'。

则下列判断正确的是（　）　　

　  A．I:

I'=2:

5　　B．I:

I'=5:

2　C．U1:

U1'=5:

7　　D．U3:

U3'=7:

5

　　解析：

串联电路中各电阻两端电压比等于电阻比。

　　即：

U1:

U3=R1:

R3=1:

4　U1′:

U2′=R1:

R2=1:

2

　　∴R2:

R3=1:

2　∴==　

　　答案：

D。

　　14．（安徽省）如图7所示的电路中，当开关S闭合后，灯L1、L2都发光。

经过一段时间后，两灯突然同时熄灭，而电压表的示数变为6伏，已知开关S和电路完好。

则产生这一现象的原因可能是（　）

   　A．灯L1短路　　B．灯L2短路　C．灯L1断路　　D．灯L2断路

　　解析：

本题考查了多个考点，要求学生全面理解短路、断路及造成的后果，仔细看图及分析题中所给综合条件可判断出正确答案为C，本题考查了学生的理解、分析、判断能力。

　　答案：

C

　　15．（哈尔滨市）如图8所示电路，当S闭合，滑片P向左滑动时，下列说法中正确的是（　）

   A．电压表的示数不变，电流表的示数变大　B．电压表的示数变小，电流表的示数变小

　　C．电压表的示数变大，电流表的示数变大　D．电压表的示数变小，电流表的示数变大

　　解析：

R1与R2串联在电路中，电流表测电路中的电流I=，电压表测R2两端的电压。

当滑片P向左滑动时，R2变小，则R总变小，由I=，可知U一定，I变大，电流表示数变大。

U1=IR1，R1一定，所以U1变大。

U2=U－U1，因此，U2变小，即电压表数变小。

应选项D。

　　答案：

D

　　16．（天津市）如图9所示，当变阻器的滑片P置于某一位置时R1、R2两端的电压分别为U1和U2，当滑片P置于另一位置时，R1、R2两端的电压分别为和。

若△U1=|U1-|，△U2=|U2-|，则（　）

   　A．△U1<△U2　　B．△U1>△U2　C．△U1=△U2　D．无法判断△U1、△U2哪个大

　　解析：

此题首先要审清题目要求，看清图中所示，根据串联电路电压的关系特点，由于总电压不变，R0、R2为定值电阻，可推出ΔU1=ΔU0+ΔU2，由此判断答案B是正确的，此题要求学生思路清晰，分析正确，考查了学生的推理能力。

　　答案：

B

　　17．（重庆市）两个电阻的阻值分别为R1，R2，连接方式如图10所示，试推导电路的总电阻R与R1、R2之间的关系（要求：

对于推导过程中的依据要有必要的文字说明）