绝热稳定流动的基本方程.docx

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绝热稳定流动的基本方程

第1节绝热稳定流动的基本方程

1、绝热稳定流动

工程中气体和蒸汽在管道内的流动可以视为稳定流动，为了简化起见，可以认为垂直于管道轴向的任一截面上的各种热力参数、热力学参数都相同，气体参数只沿管道轴向（气流流动方向）发生变化，称为一维稳定流动。

此外，气体在喷管或扩压管内的流动时间较短，与外界几乎没有热量交换，可以认为是绝热流动。

因此，气体在喷管或扩压管内的流动为一维绝热稳定流动。

2、绝热稳定流动基本方程

研究气体和蒸汽的一维稳定流动主要有三个基本方程。

即连续性方程、绝热稳定流动能量方程和定熵过程方程。

1、连续性方程

在一维稳定流动的流道中，去截面1—1、2—2、······根据质量守恒定律，可导出一个基本关系式。

在稳定流动通道内任一固定点上的参数不随时间的改变而改变，各截面处质量流量都相等。

即

（7-1）

式中——各截面处的质量流量，kg/s；

——各截面处的截面积，；

——各截面处的气体流速，m/s；

——各截面处的气体比体积，；

对于微元稳定流动过程，对上式微分可得

（7-2）

式（7-1）、式（7-2）为稳定流动连续性方程。

它适用于任何工质的可逆与不可逆的稳定流动过程。

2、绝热稳定流动能量方程

由能量守恒定律可知，气体和蒸汽的稳定流动过程必须符合稳定流动能量方程，即

气体和蒸汽在管道内流动时，一般情况下，由绝热流动时，，因此上式可简化为（7-3）

对于微元绝热稳定流动过程，可写成

（7-4）

式（7-3）、式（7-4）为绝热稳定流动能量方程。

说明气体和蒸汽在绝热稳定流动过程中，其动能的增加等于焓的减少。

它适用于任何工质的可逆与不可逆绝热稳定流动过程。

3、定熵过程方程

气体在管道内进行的绝热流动过程，若是可逆的，就是定熵过程。

气体的状态参数变化符合理想气体定熵过程方程式，即

（7-5）

对于微元可逆绝热流动过程，可写成

（7-6）

式（7-5），式（7-6）只适用用于比热容为定值（即k为定值）的理想气体的可逆绝热流动过程。

对于蒸汽在定熵过程中状态参数的变化，可通过蒸汽的图表查得。

3、声速和马赫数

在气体高速流动的分析中，声速和马赫数是十分重要的两个参数。

声速是微弱扰动产生的压力波在连续介质中传播的速度，用符号c表示。

压力波在气体和蒸汽中的传播过程可视为是定熵过程，因此气体或蒸汽的声速计算公式为

对于理想气体的定熵过程有（7-7）

显然，声速不是一个常数，它取决于气体的性质及所处的状态。

所以声速通常是指某一状态（即某一截面）下的声速，称为当地声速。

；例如，在下，0℃的空气中的声速为331m/s；20℃的空气中的声速为343m/s。

在讨论气体和蒸汽流动特性时，流体的流动速度和当地声速的比值，称为马赫数，用符号表示，即（7-8）

马赫数Ma是一个重要的无因次数，用于气体和蒸汽流动特性的研究之中。

根据马赫数的大小可将气体和蒸汽的流动分为：

Ma<1,即，称为亚声速；Ma=1，即，称为声速；Ma>1，即，称为超声速。

第2节气体和蒸汽在喷管和扩压管中的定熵流动

1、流速变化与压力变化的关系

对于定熵流动过程，由式（2-33）可得

代入式（7-4）可得

（7-9）

上式表明，定熵流动中，如果气体流速增大（），则气体的压力必降低（）；如果气体流速减小（），则气体的压力必增高（）。

这就是喷管和扩亚管的流动特征。

也就是说，喷管的目的是使气体和蒸汽降压增速；而扩压管的目的是增压减速。

为了更好地实现这一目的，还需要有管道截面变化来配合。

2、喷管截面变化的规律

利用上述绝热稳定流动的三个基本方程及声速与马赫数的关系式经整理可得（7-10）

该式称为管内流动的特征方程，它说明了管内流动是速度变化所需的几何条件。

对于喷管，气流速度是增大（）的，当，进入喷管的气体是亚声速流动时，，喷管的截面应收缩，称为渐缩喷管。

当，超声速流动时，，喷管的截面应扩张，称为渐扩喷管。

若要使进入喷管的气体由亚声速连续增至超声速流动时，喷管的截面要做成渐缩渐扩式，称为渐缩渐扩喷管（缩放形喷管），或称为拉伐尔喷管。

对于扩压管，气流速度是减小的（），当，即超声速流动时，，扩压管的截面应收缩，称为渐缩扩压管。

当，即亚声速流动时，截面应是渐扩形，称为渐扩扩压管。

如果气流由超声速连续降至亚声速时，则截面要先缩小再扩大，称为渐缩渐扩扩压管。

喷管和扩压管的种类见表7-1。

第3节喷管中流速及流量的计算

1、喷管出口流速的计算

根据绝热稳定流动能量方程式（7-3）可求得喷管出口截面处气流的流速为（7-11）

式中——喷管进口截面上的气体流速，；

——喷管进出口截面上气流的比焓值，

一般情况下喷管进口气体流速与出口气体流速相比小的多，可以忽略不计。

所以气体出口流速可用进出口焓值近似表达为（7-12）

式（7-11）、（7-12）是直接根据能量方程导出的，因此适用于任何工质的可逆与不可逆过程。

对于蒸汽流过喷管，可利用蒸汽图表查得焓值，代入（7-12）便可求出出口流速。

如果是理想气体，取定比热容时，，代入上式，可求得出口流速计算公式为

（7-13）

由上式可知，出口气体流速大小决定于气体等熵指数，进口参数、和喷管进口、出口气体的压力比。

出口气体流速与喷管截面积大小无关，出口截面积大小仅决定喷管的质量流量。

【例7-1】干饱和水蒸气在喷管中流动时，喷管进口压力。

绝对膨胀至，水蒸气的质量流量，试求渐缩喷管出口处水蒸气流速及出口截面积。

解：

由水蒸气图表查得喷管进、出口处水蒸气参数值为

，，

由式（7-12）求得喷管出口处水蒸气流速为

由连续性方程可得出口截面积为

2、临界压力比与临界流速

1、临界压力比与临界流速的计算

由前面的分析可知在渐缩渐扩喷管的喉部（最小截面处），，该截面称为临界截面，该截面处的压力为临界压力，流速为临界流速（等于当地声速）。

临界压力与进口压力比值，称为临界压力比。

由式（7-7）和式（7-13）可得临界流速

（7-14）

根据定熵过程方程，由上式可求得临界压力比为

（7-15）

上式表明临界压力比仅取决于气体的等熵指数，这样可根据求得值，从而临界压力。

式（7-15）所确定的临界压力比是从理想气体定熵过程中推导出来的，因此适用于定比热容的理想气体定熵流动过程。

水蒸气一般不符合理想气体定熵过程方程式，并且在水蒸气的定熵流动过程中，可能从过热蒸汽变为饱和蒸汽或是湿蒸汽，这些都使的水蒸气的定熵流动过程比较复杂。

为使为题简化，假定水蒸气也符合的关系式，但此时，，而是一个纯经验值。

这样可将经验值代入式（7-15）从而求得水蒸气的临界压力比值。

水蒸汽的经验值和理想气体的等熵指数，以及将它们代入式（7-15）而计算出的值，均列于表7-2中。

临界压力比是一个很重要的参数，根据它才能计算出在一定进口条件下，气体压力下降到多少时流速恰好等于当地声速，达到临界状态。

由表7-2中的数值可看出各类工质的大约为0.5左右，这说明当工质压力大约降到喷管进口压力的一半时，就会出现临界状态。

另外还要指出，水蒸气在定熵流动过程中，可能从过热蒸汽变为饱和蒸汽或湿蒸汽，而这三种不同的蒸汽状态有不同的k值和值。

在工程上一般规定以水蒸气的进口状态为准，选着相应的值和值。

将式（7-15）代入到式（7-14）中可得理想气体临界流速计算公式为

（7-16）

上式是从理想气体性质推导出来的，故只适用与理想气体等熵流动中临界流速的计算。

显然该临界流速也是渐缩喷管中所能达到的最大出口流速。

若用临界焓代替式（7-12）中的出口焓，则临界流速也可由下式计算（7-17）

式（7-17）适用于任何工质的可逆和不可逆绝热稳定流动过程。

水蒸气的临界流速计算，可根据表7-2中所列的临界压力比值，求出相应的临界压力。

这样在图上等压线与通过进口状态点1的定熵线的相交点，即为临界状态点。

从而可查出其余临界参数等。

最后由式（7-17）求出其临界流速。

2、根据临界压力确定喷管形状

如前所诉，对于渐缩喷管，工质在其中降压增速时，出口流速最大只能达到临界流速，出口压力最低只能降到临界压力。

因此，当喷管出口外界压力（简称背压）大于临界压力（）时，喷管出口截面处的压力，出口流速小于当地声速，。

随着背压降低，当时，，出口速度可达到。

若背压继续降低，当时，喷管出口截面处的压力仍等于临界压力而不等于背压，即，出口流速仍为声速，由于临界压力降到背压的膨胀在喷管外面完成，这种现象称为膨胀不足。

对于缩放喷管，由于有渐扩部分保证了气流在达到临界流速后的继续膨胀，因此可以获得超声速气流。

充分利用喷管进口压力和出口外的背压之间的压差来降压增速，在选择喷管时，可以根据喷管出口外的背压与喷管进口工质初压之比值和临界压力比相比较，从而决定选用哪一种形式的喷管。

当即，时，应选渐缩形喷管；当，即时，应选缩放形喷管。

3、喷管流量的计算

缩放喷管与渐缩渐扩喷管的质量流量都是受最小截面积所控制，所以渐缩喷管按出口截面积计算质量流量，渐缩渐扩喷管按喉部截面积计算质量流量。

1、渐缩喷管质量流量的计算

由式（7-1）可知喷管质量流量为

对水蒸气等实际气体通过喷管的质量流量可安焓差计算，即

（7-18）

式中——喷管出口截面积，

——喷管出口截面上气体的流速

——喷管出口截面上气体的比体积，

——喷管进出口截面上气体的比焓值，。

对于理想气体定熵流动过程，质量流量为

（7-19）

由上式可知，当及一定时，质量流量取决喷管进口、出口压力比。

质量流量随压力比的变化关系如图7-1所示。

需要指出的是，式（7-19）中的是喷管出口截面处的压力，只有在背压时，才等于；当背压时，则而保持不变。

所以实际的气体质量流量随压力比的变化如图（7-1）中的a-b-c所示。

当背压时，则。

若，在进口气流速度时，质量流量=0，说明当喷管进出口压力相等时，气体不会流动，对应图（7-1）中a点。

随背压降低，相应降低，并始终保持，直至。

当时，此时出口压力与进口压力之比，就是临界压力比达到最大值（图7-1中点b），这一变化过程如曲线a-b所示。

若背压继续降低（），则不再降低而保持不变，即，所以质量流量也保持不变，如图7-1中n-c所示。

将式（7-15）代入式（7-19）可求得渐缩喷管的最大流量，即临界流量（7-20）

式（7-20）适用于理想气体定熵流动过程。

也可应用临界流速和而连续性方程计算临界流量

（7-21）

式（7-21）适用于任何工质任何过程。

2、渐缩渐扩喷管质量流量的计算

渐缩渐扩喷管喉部（最小截面积）处所对应的参数为临界值，所以无论喷管出口压力比临界压力低多少，只要进口气体参数与临界参数不变，质量流量保持。

所以渐缩渐扩喷管的质量流量可按喉部截面积计算，即（7-22）

和（7-23）

对于实际水蒸气等实际气体可用焓差计算

（7-24）

【例7-2】有压力，温度℃的水蒸气，经喷管射入压力为的容积中，为保证水蒸气在喷管中充分定熵膨胀，

应选择何种形式的喷管？

当水蒸气质量流量时，求该喷管出口处水蒸气的流速及喷管的主要截面积。

解：

根据、℃查附表5知水蒸气处于过热蒸汽状态，查表7-2得。

故

由于，根据选择喷管的原则，应选缩放形喷管。

由于喷管进口参数、℃，临界参数，及出口参数，查水蒸气图可得下列数值

缩放喷管的临界流速为

喉部截面积为

出口流速为

出口截面为

4、喷管内有摩阻的绝热流动

前面对工质在喷管内绝热流动的讨论均认为是可逆绝热流动，即图7-2所示的定熵过程1-2。

而工质在实际流动过程中存在内部摩擦以及工质与管壁的摩擦，这样使一部分动能重新转化为热能而被工质吸收，所以实际的喷管内流动是过程是不可逆绝热过程，工质的熵是增大的，其过程在图上不是定熵线而是一条增熵线。

如图