证明G的q阶子群必为不变子群。
16.设H是群G的子群且H
C（G），那么H是G的不变子群。
而且假设G/H是循环群，那么G是互换群。
17.设H是群G的子群，N（H）为H的正规化子。
证明：
H△G当且仅当G=N（H）。
20.证明阶数为p2的群必为互换群，其中p为素数。
21.设G是互换群，H={x∈G|x的阶是有限的}。
证明
1）H是G的子群；
2）在商群G/H中，除幺元H外不含阶为有限的元素。
22.设H，K是群G的不变子群，且G/H和G/K均是互换群，那么G/（H∩K）必为互换群。
23.设H△G，证明G/H是互换群的充分必要条件为：
对任意g1，g2∈G有
。
24.设G是n阶互换群且p是素数。
假设p|n，那么G中存在阶为p的元素。
25.设G是群，关于任意a∈G，概念
σa（x）=axa－1，x∈G
则σa是G的自同构映射，称之为G的内自同构。
G的内自同构的全部组成G的自同构群的不变子群。
26.设f是群G到G′的群同态映射，K=Kerf。
证明：
对任意a∈G，f－1（f（a））=aK。
27.证明除零同态之外，不存在〈Q，+〉到〈I，+〉的群同态映射。
28.设f是群G到G′的满同态映射，A是G的子群。
试证：
若是A的阶与G′的阶互素，那么A包括在Kerf中。
29.设群G只含有限多个子群，f是G到其自身的满同态。
证明f是G的自同构。
30.设H是群G的不变子群，且[G:
H]=m，那么对任意x∈G，必有xm∈H。
31.证明在同构的意义下只有两个6阶群，一个是循环群，一个是S3。
32.证明：
在同构的意义下只有两个不同的10阶群。
定理假设〈R，+，·〉是环，那么以下条件等价：
定理有限整环都是域。
定理体仅有零理想和单位理想。
定理设D是环〈R，+，·〉的理想。
假设在R/D上概念二元运算⊕与⊙如下：
（D+r1）⊕（D+r2）=D+（r1+r2）r1，r2∈R
（D+r1）⊙（D+r2）=D+（r1·r2）r1，r2∈R
那么〈R/D，⊕，⊙〉为环，称为〈R，+，·〉关于D的商环。
定理假设f是环〈R，+，·〉到环〈S，⊙，*〉的环同态，那么Kerf是〈R，+，·〉的理想。
定理假设f是环〈R，+，·〉到〈S，
〉的环同态，那么〈R/Kerf，⊕，⊙〉≅〈f[R]，
〉。
例9设D1和D2都是环〈R，+，·〉的理想。
假设D2⊆D1，那么D1/D2是R/D2的理想，而且R/D2/D1/D2≅R/D1
例13假设p为素数，那么（p）为〈I，+，·〉的极大理想。
定理假设D是含幺元互换环〈R，+，·〉的理想，那么〈R，+，·〉关于D的商环〈R/D，⊕，⊙〉是域，当且仅当D是〈R，+，·〉的极大理想。
例14模m的剩余类环〈Zm，⊕，⊙〉是域，当且仅当m为素数。
习题
2.关于乘法来讲，每一个元素都是幂等元的环称为布尔环。
证明以下结论。
a）设X为集合，那么〈P（X），⊕，∩〉是布尔环。
b）Z2和Z2×Z2都是布尔环。
c）布尔环的每一个元素都以自己为负元。
d）布尔环必为互换环。
e）阶大于2的布尔环不可能是整环。
3.若A和B为环〈R，+，·〉的子环，那么A∩B也是〈R，+，·〉的子环。
假设A和B为环〈R，+，·〉的理想，那么A∩B也是〈R，+，·〉的理想。
4.假设〈R，+，·〉是环，而且〈R，+〉是循环群，那么〈R，+，·〉是互换环。
5.设〈R，+，·〉是具有么元1的环，在R上概念运算⊕和⊙如下：
r⊕s=r+s+1
r⊙s=r·s+r+sr，s∈R
a）证明〈R，⊕，⊙〉是环；
b）求出〈R，⊕，⊙〉的零元和么元；
c）证明〈R，⊕，⊙〉与〈R，+，·〉同构。
6.求出〈N6，+6，·6〉，〈N8，+8，·8〉，〈N12，+12·12〉的所有子环和理想。
7.设D1和D2是环〈R，+，·〉的理想，证明D1+D2也是〈R，+，·〉的理想，其中D1+D2={d1+d2|d1∈D1且d2∈D2}。
8.证明两个域的积代数结构不可能是域。
10.设〈R，+，·〉是I上二阶方阵的环，A是元素为偶数的所有二阶方阵组成的集合。
证明A是〈R，+，·〉的理想，并求R/A的阶。
11.设m，r∈I+且r|m，找出Zm到Zr的一个满同态f，求Kerf和Zm/Kerf。
12.找出环〈I，+，·〉的所有自同态，并求每一个自同态的核。
13.设环〈R，+，·〉有且只有一个右么元，试证R有么元。
14.设〈R，+，·〉为具有么元1的环，u∈R且u有右逆元。
证明关于u的下述条件是等价的：
1）u有多于一个的右逆元；
2）u不是可逆的；
3）u是左零因子。
15.设环〈R，+，·〉的每一个左理想都有左么元，试证〈R，+，·〉的每一个左理想都有么元。
16.设〈R，+，·〉是具有么元1的环。
假设{0}和R是〈R，+，·〉仅有的两个左理想，证明〈R，+，·〉是体。
17.设〈R，+，·〉是具有么元1的环，D为R之理想。
证明：
（a）设U={x|x∈R且x关于·可逆}，那么〈U，·〉为群。
（b）设G={a|a∈U且a－1∈D}，那么G是U的不变子群。
18.设f是环〈R，+，·〉到〈S，⊕，*〉的环同态，且A
R。
证明:
f－1（f（A））=A+Kerf。
19.设f是环〈R，+，·〉到〈S，⊕，*〉的环同态，H1和H2均为R之子环，且包括Kerf。
证明：
假设f（H1）=f（H2），那么H1=H2。
20.含么环不可能与任何不含么元的环同构。
习题
1.若pn阶域有pm阶子域，那么m|n。
2.求出4阶域和5阶域上的所有不可约的首1二次多项式。
3.证明x2+1是GF（7）上的不可约多项式。
4.设p（x）和q（x）是GF（p）上互素的多项式，那么它们在GF（p）的扩域上仍为互素的。
5.证明域的加法群和乘法群不能同构。
6.试证明：
a）有理数域〈Q，＋，·〉的自同构映射只有一个。
b）域〈{a+bi|a，b∈Q}，＋，·〉的自同构映射只有两个。
7.设m＞2，〈{a1，a2，…，am}，＋，·〉是m阶有限域，0是其零元。
证明
。
定理pn阶域的元素都是多项式
的根。
定理有限域的乘法群必为循环群。
定理设域〈F，＋，·〉的特点为p。
若是α，β∈F，那么
（α+β）p=αp+βp
推论设域〈F，＋，·〉的特点为p。
假设α，β∈F，那么
（α－β）p=αp－βp
第四章格与布尔代数
定理4.1.3设〈L，≤〉是格，假设a，b，c∈L，那么
i）a≤b当且仅当a*b=a当且仅当a⊕b=b；
ii）假设b≤c，则a*b≤a*c且a⊕b≤a⊕c；
iii）a⊕（b*c）≤（a⊕b）*（a⊕c），a*（b⊕c）≥（a*b）⊕（a*c）；
iv）a≤c当且仅当a⊕（b*c）≤（a⊕b）*c。
习题
4.设〈L，≤〉是格，a，b，c∈L。
若是a≤b≤c，那么a⊕b=b*c且（a*b）⊕（b*c）=（a⊕b）*（a⊕c）=b。
5.设〈L，≤〉是格，a，b，c，d∈L。
若是a≤b且c≤d，那么a*c≤b*d。
6.设〈L，≤〉是格，a，b，c，d∈L，那么
（a*b）⊕（c*d）≤（a⊕c）*（b⊕d）
（a*b）⊕（b*c）⊕（c*a）≤（a⊕b）*（b⊕c）*（c⊕a）
7.设〈L，≤〉是格，a，b，c∈L，那么
（a*b）⊕（a*c）≤a*（b⊕（a*c））
（a⊕b）*（a⊕c）≥a⊕（b*（a⊕c））
8.设〈L，≤〉是格，a，b，c∈L，若是a*b*c=a⊕b⊕c，那么a=b=c。
9.设〈L，≤〉是格，a，b∈L。
令S={x∈L|a≤x≤b}，证明〈S，≤〉也是格。
概念4.2.1若是集合L上的两个二元运算*和⊕知足互换律、结合律、吸收律，那么称代数系统〈L，*，⊕〉为格。
定理概念和概念是等价的。
概念设〈P，≤〉和〈Q，≤′〉是两个半序结构且f:
P→Q。
i）若是对任意a，b∈P，当a≤b时必有f（a）≤′f（b），那么称f为保序的。
ii）若是f是双射，而且f和f－１都是保序的，那么称P和Q是顺序同构的。
由上述概念可知，假设P和Q是顺序同构的，那么对任意a，b∈L,均有
a≤b当且仅当f（a）≤′f（b）。
定理设格〈L，*，⊕〉和〈S，∧，∨〉中的半序关系别离是≤和≤′。
i）若g是从〈L，*，⊕〉到〈S，∧，∨〉的同态，那么g是保序的。
ii）若g是从〈L，*，⊕〉到〈S，∧，∨〉的同构，那么L和S是顺序同构的。
定理设〈L，*，⊕〉和〈S，∧，∨〉是两个格，其中的半序关系别离为≤和≤′，那么L和S同构当且仅当它们是顺序同构的。
习题
5.证明群〈G，
〉的不变子群集合是G的子群格的子格，并证明两个不变子群N和N2的最小上界是N1
N2。
6.画出24阶循环群的子群格的图，并证明它同构于〈S24，D〉。
7.画出C6和C8的子群格的图。
当n为素数时，
的子群格的图是什么？
当n=p1p2（其中p1，p2是素数）时，
的子群格的图是什么？
8.设A和B是集合，f：
A→B。
证明S={f[x]|x
A}是〈P（B），
〉的子格。
9.设〈S，*，⊕〉是格，J是S的非空子集。
若是关于任意a，b∈J和c∈S，a⊕b∈J且a*c∈J，那么称J为S的理想。
证明：
a）S的理想必为S的子格，但S的子格不必然是S的理想。
b）设f是格S到S′的同态映射，A是S的子格，J是S的理想，那么f[A]是f[S]的子格，f[J]是f[S]的理想。
f[A]是不是S′的子格？
f[J]是不是S′的理想？
概念设〈L，*，⊕〉是格。
若是关于任意a，b，c∈L，当a≤b时必有a⊕（b*c）=b*（a⊕c），那么称〈L，*，⊕〉为模格。
定理格〈L，*，⊕〉是模格的充要条件是不含如下形式的子格：
定理每一个链都是分派格。
定理格〈L，*，⊕〉是分派格的充要条件是：
关于任意的a，b，c∈L，均有
（a*b）⊕（b*c）⊕（c*a）=（a⊕b）*（b⊕c）*（c⊕a）
定理模格〈L，*，⊕〉是分派格的充要条件是不含如下形式的子格
1.求出格〈S75，D〉中每一个元素的补元。
2.试证明：
在有一个以上元素的格中，可不能有元素是它本身的补元。
3.画出格〈S30，D〉和〈S45，D〉的图。
其中哪个格是有补格？
5.格〈S30，D〉和〈S45，D〉是不是是分派格？
6.证明〈I，min，max〉是分派格。
8.试证明：
在有界分派格中，有补元的各元素组成一个子格。
9.试证明每一个分派格都是模式格。
10.设〈L，*，⊕〉是格。
证明L是分派格当且仅当，关于任意a，b，c∈L，（a⊕b）*c≤a⊕（b*c）。
11.设〈L，*，⊕〉是分派格，a∈L。
概念ϕ：
L→L为：
关于任意x∈L，ϕ（x）=x*a。
概念ψ：
L→L为：
关于任意x∈L，ψ（x）=x⊕a。
证明ϕ和ψ是L的两个自同态，并求出ϕ[L]和ψ[L]。
12.设E是格L的所有自同态的集合，证明E关于函数合成运算组成独异点。
13.设〈L，*，⊕〉是分派格，a，b∈L，且a＜b，b/a={x|x∈L∧a≤x≤b}。
概念ϕ：
L→b/a为ϕ（x）=（x⊕a）*b。
证明ϕ是同态映射。
14.设〈L，*，⊕〉是格。
证明：
L是模格当且仅当，关于任意a，b，c∈L，a⊕（b*（a⊕c））=（a⊕b）*（a⊕c）。
15.设〈L，≤〉是模格，a，b，c∈L。
证明：
假设b，c为a的覆盖且b≠c，那
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