等腰三角形与直角三角形0915085837.docx
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等腰三角形与直角三角形0915085837
九年级教学教案（人教版）
等腰三角形与直角三角形
♦课前热身
1.如图，等边△ABC勺边长为3,
P为BC上一点，且BP=1,
D为AC上一点，若/APD=
60°，则CD勺长为（
C
第1题图
A.3
2
2.如图，已知△ABC中,
AB=17,
AC=10,
1
2
BC边上的高
AD=8,则边BC的长为
第2题图
A.21
•以上答案都不对
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
300,腰长为4cm,则其腰上的高为
cm
4.如图，在边长为1的等边△ABC中,中线AD与中线BE相交于点0,则OA长度为
【参考答案】
1.
2.
3.
♦考点聚焦
等腰三角线
1等腰三角形的判定与性质.
2.等边三角形的判定与性质.
3.运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题.
直角三角形
1运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的
实际问题.
2.运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形.
3.折叠问题.
4.将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用.
♦备考兵法
等腰三角线
边、角
1.运用三角形不等关系，？
结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、的计算问题，并要注意分类讨论.
2.要正确辨析等腰三角形的判定与性质.
3.能熟练运用等腰三角形、方程（组）、函数等知识综合.解决实际问题.
直角三角形
1.正确区■分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数.
2.在解决直角三角形的有关问题时，应注意以勾股定理为桥梁建立方程（组）？
来解决问题，实现几何问题代数化.
3.在解决直角三角形的相关问题时，要注意题中是否含有特殊角（30°,45°,60°）.若
有，则应运用一些相关的特殊性质解题.
4.在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时,
?
常常通过作高转化为直角三角形来
解决.
5.折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路.
♦考点链接
.等腰三角形的性质与判定:
1.等腰三角形的两底角
2.等腰三角形底边上的
，底边上的
，顶角的
，三线合一;
3.有两个角相等的三角形是
二.等边三角形的性质与判定:
1.等边三角形每个角都等于
，同样具有“三线合一”的性质;
2.三个角相等的三角形是
三边相等的三角形是
，一个角等于60°的
三角形是等边三角形.
三.直角三角形的性质与判定:
1.
直角三角形两锐角
2.
直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的
3.
直角三角形中，斜边的中线等于斜边的
4.
勾股定理:
5.
勾股定理的逆定理:
♦典例精析
例1（湖北襄樊）在^ABC中，AB=AC=12cm,BC=6cm,D为BC的中点，动点P
从B点出发，以每秒1cm的速度沿BtAtC的方向运动.设运动时间为t，那么当t=
秒时，过.D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的
P在BA上时，BNt,AP
【答案】7或17
【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，①当点
=12-t,2（t+3）=12-t+12+3，解得t=7;②当点P在AC上时，.PC=24-t,t+3=2（24-t+3），
解得
t=17,故填7或17.
（山东滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB=4米，NBAC=30°,
=90°,因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为
B
C
【答案】（2+2）米.
【解析】掌握30。
所对的直角边等于斜边的一半，即可求解
例3（四川乐山）如图，AD丄CDAB=13,BC=12CD=3
AD=4,贝UsinB等于（）
A.1
13
【答案】A
上C
13
【解析】由AD丄DC知^ADC为直角三角形.
由勾股定理得：
AC2=AE2+DC2=32+42=5,AC=5
在^ACB中，•••AB2=169,bC+aC=52+122=169,
•••a^bC+aC.
由勾股定理的逆定理知：
△ABC是直角三角形.
■a_AC_5
--sinB—.
AB13
例4（安徽）已知点O到^ABC的两边AB,
AC所在直线的距离相等，且
OB=OC
解析
如图
如图
若点
1，若点0在BC上，求证:
2，若点0在^ABC的内部,
AB=AC
求证：
AB=AC
0在^ABC的外部，AB=AC成立吗？
请画图表示.
（1）
•••Rt△OEB^Rt△OFC
•••/B=/C.
•••AC=AB
（2）过点O作OEIAB,OF丄AC,E,F分别是垂足.由题意知，OE=OF
在Rt△OEB和Rt△OFC中，OE=OFOB=OC
•••Rt△OEB^Rt△OFE
•••/OBE2OCF
又OB=OC
•••/OBgOCB
•••/ABC=/ACB
•••AC=AB
（3）不一定成立.
当/A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，有AB=AC否则AB^AC,?
如示
例图.
BC边的中点）探究图形的性质，再运用变化的观点
探究一般位置（点O在^ABC内,点O在三角形外）下图形的性质有何变化，培养同学们从
不同的角度分析，解决问题的能力，拓展思维，提高综合解题能力.
♦迎考精练
一、选择题
1.（•四川达州）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的
四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形
AB、CD的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面
积是（）
A.13
B.26C.47D.94
2.（甘肃白银）
如图，OO的弦AB=6,
M是AB上任意一点,
且OM最小值为
4，则OO的半径为（
A.5
3.（山东济宁）
“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个
小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角
形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板
投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）
则投掷一次飞镖扎在中间
小正方形区域（含边线）的概率是（
111
A.-B.-C.-I
245
4.（浙江嘉兴）如图，等腰△ABC中，底边BC=a,ZA=36°,
1
10
ZABC的平分线交AC于D,NBCD的平分线交BD于E,设
k"—1
A
A.k2a
B.k3a
C
a
.17
D.13
B
第4题图
^C
5.（湖北恩施）
如图，长方体的长为
15,
宽为10,
高为20,
/B.5
/
C
点B离点C的距离为5,—只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
则DE=（）
爬到点B，需要爬行的最短距离是（
20
6.（浙江宁波）
A.30°
7.（山东威海）
A.20°
B.25C.10^5+5
等腰直角三角形的一个底角的度数是（
B.45
如图，AB=AC,B»BC若/A=40
.30,
D.35
60
15
.90
，则/ABD的度数是（
35
D.40：
8.（湖北襄樊）如图，已知直线
AB//CD,
/DCF
=110。
，且AE=AF,则/A等于（）
二、填空题
.40
.50
-D.70
BC=4，过直角顶点C作
Ci,过C作GA2丄AB,垂足为A2,再过A
1.（四川泸州）如图，已知Rt△ABC中，AC=3,
CA丄AB,垂足为Ai,再过A作AQ丄BC,垂足为
作AG丄BC,垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA,AQ,C1A2，…，则
CA=
2.（四川内江）已知Rt△ABC的周长是4+4J5，斜边上的中线长是2,则Saab=3.（四川宜宾）已知：
如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边
AE=3,则图中阴影部分的面积为
第12题图
4.（湖南长沙）如图，等腰△ABC中，AB=AC,AD是底边上的高，若
AB=5cm,BC=6cm，贝UAD=cm
C
三、解答题
1.（河南）如图所示，/EA（=/ABDAC=ED点O是ADEC的交点，点E是AB的中点.试
判断OE和AB的位置关系,并给出证明.
2.（浙江绍兴）如图，在△ABC中，AB=AC,NBAC=40°分别以AB,AC为边作
两个等腰直角三角形ABD和ACE，使丄BAD=ZCAE=90°
（1）求丄DBC的度数;
（2）求证：
BD=CE.
3.（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以
“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的
恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山
（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧,
AB=50km,A、B到直线X的距离分别为
10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一
服务区
P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图
（1）是方案一的示意图（AP
与直线
X垂直，垂足为P）,P到A、B的距离之和S=PA+PB，图
（2）是方案二的
示意图
（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直线X于点P）,P到A、B的距
离之和
（1）
求S、S2，并比较它们的大小;
请你说明S^PA+PB的值为最小;
拟建的恩施到张家界高速公路丫与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标
系,
B到直线丫的距离为30km，请你在X旁和丫旁各修建一服务区P、Q，使P、A、
B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
图
（1）
B
A
X
图（3）
图
（2）
4.（广东中山）如图所示,
△ABC是等边三角形，D点是
AC的中点，延长
使CE=CD,
D点作DM丄BE，垂足是M
（不写作法，保留作图痕迹）
（1）用尺规作图的方法，过
【参考答案】选择题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
【解析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，•/AB//CD,/DCF=110:
所以NEFB=NDCF=110。
NAFE=70°,•/AE=AF,.・.NE=NAFE=70°,
NA=40。
，故选B
填空题
2.83.I
4.4
解答题
1.OE丄AB
证明：
在^BAC^n^ABD中,
AC=BD「NBAC=NABD
AB=BA
:
丄OBA/OAB•OA=OB-
又•••AE=BE•OELAB
2.解：
（1）AABD是等腰直角三角形・，ZBAD=90°
•••/ABD=45°,AB=AC,
•••/ABC=70°•••/CBD=70°+45°=115
证明：
（2）AB=AC,NBAD=ZCAE=90°,AD=AE,•••ABAD^ACAE,•••BD=CE
3.解：
⑴图
（1）中过B作BdAP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,
•••AC=30
在Rt△ABC中，AB=50AC=30••BC=40
•BP=Jcp2+BC2=40^2
S=40^2+10
⑵图10
（2）中，过B作BC丄AA'垂足为C,贝UAC=50,
又BC=40
•BA'=J402+502=10/41
由轴对称知：
PA=PA'
S2=BA'=10J41
•-S1>S2
⑵女0图10
（2）,在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA，,由轴对称知MA=MA'•••MB+MAMB+MA>A'B•••S2=BA'为最小
（3）过A作关于X轴的对称点A',过B作关于丫轴的对称点B',
连接A'B',交X轴于点P,交丫轴于点Q,则P,Q即为所求过A'、B'分别作X轴、丫轴的平行线交于点G,
A'B'=J1002+502=5OJ5
•••所求四边形的周长为50+5075
（2）T△ABC是等边三角形,
D是AC的中点,
二BD平分NABC（三线合一），
.•.NABC=2NDBE.
Tce=CD,「.NCED=NCDE.
又；NACB=NCED+NCDE,「.NACB=2NE.
又：
厶ABC=NACB,
/.2NDBC=2NE,•••NDBC=NE,
又;DM丄BE,
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