等腰三角形与直角三角形0915085837.docx
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等腰三角形与直角三角形0915085837
九年级教学教案(人教版)
等腰三角形与直角三角形
♦课前热身
1.如图,等边△ABC勺边长为3,
P为BC上一点,且BP=1,
D为AC上一点,若/APD=
60°,则CD勺长为(
C
第1题图
A.3
2
2.如图,已知△ABC中,
AB=17,
AC=10,
1
2
BC边上的高
AD=8,则边BC的长为
第2题图
A.21
•以上答案都不对
3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为
300,腰长为4cm,则其腰上的高为
cm
4.如图,在边长为1的等边△ABC中,中线AD与中线BE相交于点0,则OA长度为
【参考答案】
1.
2.
3.
♦考点聚焦
等腰三角线
1等腰三角形的判定与性质.
2.等边三角形的判定与性质.
3.运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题.
直角三角形
1运用勾股定理计算线段的长,证明线段的数量关系,解决与面积有关的问题以及简单的
实际问题.
2.运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形.
3.折叠问题.
4.将直角三角形,平面直角坐标系,函数,开放性问题,探索性问题结合在一起综合运用.
♦备考兵法
等腰三角线
边、角
1.运用三角形不等关系,?
结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、的计算问题,并要注意分类讨论.
2.要正确辨析等腰三角形的判定与性质.
3.能熟练运用等腰三角形、方程(组)、函数等知识综合.解决实际问题.
直角三角形
1.正确区■分勾股定理与其逆定理,掌握常用的勾股数.
2.在解决直角三角形的有关问题时,应注意以勾股定理为桥梁建立方程(组)?
来解决问题,实现几何问题代数化.
3.在解决直角三角形的相关问题时,要注意题中是否含有特殊角(30°,45°,60°).若
有,则应运用一些相关的特殊性质解题.
4.在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时,
?
常常通过作高转化为直角三角形来
解决.
5.折叠问题是新中考热点之一,在处理折叠问题时,动手操作,认真观察,充分发挥空间想象力,注意折叠过程中,线段,角发生的变化,寻找破题思路.
♦考点链接
.等腰三角形的性质与判定:
1.等腰三角形的两底角
2.等腰三角形底边上的
,底边上的
,顶角的
,三线合一;
3.有两个角相等的三角形是
二.等边三角形的性质与判定:
1.等边三角形每个角都等于
,同样具有“三线合一”的性质;
2.三个角相等的三角形是
三边相等的三角形是
,一个角等于60°的
三角形是等边三角形.
三.直角三角形的性质与判定:
1.
直角三角形两锐角
2.
直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的
3.
直角三角形中,斜边的中线等于斜边的
4.
勾股定理:
5.
勾股定理的逆定理:
♦典例精析
例1(湖北襄樊)在^ABC中,AB=AC=12cm,BC=6cm,D为BC的中点,动点P
从B点出发,以每秒1cm的速度沿BtAtC的方向运动.设运动时间为t,那么当t=
秒时,过.D、P两点的直线将△ABC的周长分成两个部分,使其中一部分是另一部分的
P在BA上时,BNt,AP
【答案】7或17
【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题,两种情况,①当点
=12-t,2(t+3)=12-t+12+3,解得t=7;②当点P在AC上时,.PC=24-t,t+3=2(24-t+3),
解得
t=17,故填7或17.
(山东滨州)某楼梯的侧面视图如图所示,其中AB=4米,NBAC=30°,
=90°,因某种活动要求铺设红色地毯,则在AB段楼梯所铺地毯的长度应为
B
C
【答案】(2+2)米.
【解析】掌握30。
所对的直角边等于斜边的一半,即可求解
例3(四川乐山)如图,AD丄CDAB=13,BC=12CD=3
AD=4,贝UsinB等于()
A.1
13
【答案】A
上C
13
【解析】由AD丄DC知^ADC为直角三角形.
由勾股定理得:
AC2=AE2+DC2=32+42=5,AC=5
在^ACB中,•••AB2=169,bC+aC=52+122=169,
•••a^bC+aC.
由勾股定理的逆定理知:
△ABC是直角三角形.
■a_AC_5
--sinB—.
AB13
例4(安徽)已知点O到^ABC的两边AB,
AC所在直线的距离相等,且
OB=OC
解析
如图
如图
若点
1,若点0在BC上,求证:
2,若点0在^ABC的内部,
AB=AC
求证:
AB=AC
0在^ABC的外部,AB=AC成立吗?
请画图表示.
(1)
•••Rt△OEB^Rt△OFC
•••/B=/C.
•••AC=AB
(2)过点O作OEIAB,OF丄AC,E,F分别是垂足.由题意知,OE=OF
在Rt△OEB和Rt△OFC中,OE=OFOB=OC
•••Rt△OEB^Rt△OFE
•••/OBE2OCF
又OB=OC
•••/OBgOCB
•••/ABC=/ACB
•••AC=AB
(3)不一定成立.
当/A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时,有AB=AC否则AB^AC,?
如示
例图.
BC边的中点)探究图形的性质,再运用变化的观点
探究一般位置(点O在^ABC内,点O在三角形外)下图形的性质有何变化,培养同学们从
不同的角度分析,解决问题的能力,拓展思维,提高综合解题能力.
♦迎考精练
一、选择题
1.(•四川达州)如图是一株美丽的勾股树,其中所有的
四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形
AB、CD的边长分别是3、5、2、3,则最大正方形E的面
积是()
A.13
B.26C.47D.94
2.(甘肃白银)
如图,OO的弦AB=6,
M是AB上任意一点,
且OM最小值为
4,则OO的半径为(
A.5
3.(山东济宁)
“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个
小正方形拼成的大正方形.如图,是一“赵爽弦图”飞镖板,其直角三角
形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板
投掷飞镖(假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上)
则投掷一次飞镖扎在中间
小正方形区域(含边线)的概率是(
111
A.-B.-C.-I
245
4.(浙江嘉兴)如图,等腰△ABC中,底边BC=a,ZA=36°,
1
10
ZABC的平分线交AC于D,NBCD的平分线交BD于E,设
k"—1
A
A.k2a
B.k3a
C
a
.17
D.13
B
第4题图
^C
5.(湖北恩施)
如图,长方体的长为
15,
宽为10,
高为20,
/B.5
/
C
点B离点C的距离为5,—只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点
则DE=()
爬到点B,需要爬行的最短距离是(
20
6.(浙江宁波)
A.30°
7.(山东威海)
A.20°
B.25C.10^5+5
等腰直角三角形的一个底角的度数是(
B.45
如图,AB=AC,B»BC若/A=40
.30,
D.35
60
15
.90
,则/ABD的度数是(
35
D.40:
8.(湖北襄樊)如图,已知直线
AB//CD,
/DCF
=110。
,且AE=AF,则/A等于()
二、填空题
.40
.50
-D.70
BC=4,过直角顶点C作
Ci,过C作GA2丄AB,垂足为A2,再过A
1.(四川泸州)如图,已知Rt△ABC中,AC=3,
CA丄AB,垂足为Ai,再过A作AQ丄BC,垂足为
作AG丄BC,垂足为C2,…,这样一直做下去,得到了一组线段CA,AQ,C1A2,…,则
CA=
2.(四川内江)已知Rt△ABC的周长是4+4J5,斜边上的中线长是2,则Saab=3.(四川宜宾)已知:
如图,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边
AE=3,则图中阴影部分的面积为
第12题图
4.(湖南长沙)如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,若
AB=5cm,BC=6cm,贝UAD=cm
C
三、解答题
1.(河南)如图所示,/EA(=/ABDAC=ED点O是ADEC的交点,点E是AB的中点.试
判断OE和AB的位置关系,并给出证明.
2.(浙江绍兴)如图,在△ABC中,AB=AC,NBAC=40°分别以AB,AC为边作
两个等腰直角三角形ABD和ACE,使丄BAD=ZCAE=90°
(1)求丄DBC的度数;
(2)求证:
BD=CE.
3.(湖北恩施)恩施州自然风光无限,特别是以
“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的
恩施大峡谷(A)和世界级自然保护区星斗山
(B)位于笔直的沪渝高速公路X同侧,
AB=50km,A、B到直线X的距离分别为
10km和40km,要在沪渝高速公路旁修建一
服务区
P,向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案,图
(1)是方案一的示意图(AP
与直线
X垂直,垂足为P),P到A、B的距离之和S=PA+PB,图
(2)是方案二的
示意图
(点A关于直线X的对称点是A,连接BA交直线X于点P),P到A、B的距
离之和
(1)
求S、S2,并比较它们的大小;
请你说明S^PA+PB的值为最小;
拟建的恩施到张家界高速公路丫与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标
系,
B到直线丫的距离为30km,请你在X旁和丫旁各修建一服务区P、Q,使P、A、
B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.
图
(1)
B
A
X
图(3)
图
(2)
4.(广东中山)如图所示,
△ABC是等边三角形,D点是
AC的中点,延长
使CE=CD,
D点作DM丄BE,垂足是M
(不写作法,保留作图痕迹)
(1)用尺规作图的方法,过
【参考答案】选择题
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
【解析】本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识,•/AB//CD,/DCF=110:
所以NEFB=NDCF=110。
NAFE=70°,•/AE=AF,.・.NE=NAFE=70°,
NA=40。
,故选B
填空题
2.83.I
4.4
解答题
1.OE丄AB
证明:
在^BAC^n^ABD中,
AC=BD「NBAC=NABD
AB=BA
:
丄OBA/OAB•OA=OB-
又•••AE=BE•OELAB
2.解:
(1)AABD是等腰直角三角形・,ZBAD=90°
•••/ABD=45°,AB=AC,
•••/ABC=70°•••/CBD=70°+45°=115
证明:
(2)AB=AC,NBAD=ZCAE=90°,AD=AE,•••ABAD^ACAE,•••BD=CE
3.解:
⑴图
(1)中过B作BdAP,垂足为C,则PC=40,又AP=10,
•••AC=30
在Rt△ABC中,AB=50AC=30••BC=40
•BP=Jcp2+BC2=40^2
S=40^2+10
⑵图10
(2)中,过B作BC丄AA'垂足为C,贝UAC=50,
又BC=40
•BA'=J402+502=10/41
由轴对称知:
PA=PA'
S2=BA'=10J41
•-S1>S2
⑵女0图10
(2),在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA,,由轴对称知MA=MA'•••MB+MAMB+MA>A'B•••S2=BA'为最小
(3)过A作关于X轴的对称点A',过B作关于丫轴的对称点B',
连接A'B',交X轴于点P,交丫轴于点Q,则P,Q即为所求过A'、B'分别作X轴、丫轴的平行线交于点G,
A'B'=J1002+502=5OJ5
•••所求四边形的周长为50+5075
(2)T△ABC是等边三角形,
D是AC的中点,
二BD平分NABC(三线合一),
.•.NABC=2NDBE.
Tce=CD,「.NCED=NCDE.
又;NACB=NCED+NCDE,「.NACB=2NE.
又:
厶ABC=NACB,
/.2NDBC=2NE,•••NDBC=NE,
又;DM丄BE,