等腰三角形与直角三角形0915085837.docx

1、等腰三角形与直角三角形0915085837九年级教学教案（人教版）等腰三角形与直角三角形课前热身1.如图，等边 ABC勺边长为3,P 为 BC上一点，且 BP= 1 ,D 为 AC上一点，若/ APD=60，则CD勺长为（C第1题图A. 322.如图，已知 ABC中,AB= 17,AC=10,12BC边上的高AD= 8, 则边BC的长为第2题图A. 21以上答案都不对3.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为300,腰长为4 cm,则其腰上的高为cm4.如图，在边长为1的等边 ABC中,中线AD与中线BE相交于点0,则OA长度为【参考答案】1.2.3.考点聚焦等腰三角线1等腰三角形的判定与性质.

2、2.等边三角形的判定与性质.3.运用等腰三角形、等边三角形的判定与性质解决有关计算与证明问题.直角三角形1运用勾股定理计算线段的长，证明线段的数量关系，解决与面积有关的问题以及简单的实际问题.2.运用勾股定理及其逆定理从数的角度来研究直角三角形.3.折叠问题.4.将直角三角形，平面直角坐标系，函数，开放性问题，探索性问题结合在一起综合运用.备考兵法等腰三角线边、角1 .运用三角形不等关系，？结合等腰三角形的判定与性质解决等腰三角形中高、 的计算问题，并要注意分类讨论.2 .要正确辨析等腰三角形的判定与性质.3 .能熟练运用等腰三角形、方程（组） 、函数等知识综合.解决实际问题.直角三角形1 .

3、正确区分勾股定理与其逆定理，掌握常用的勾股数.2 .在解决直角三角形的有关问题时， 应注意以勾股定理为桥梁建立方程 （组）？来解决 问题，实现几何问题代数化.3 .在解决直角三角形的相关问题时， 要注意题中是否含有特殊角 （30, 45, 60）.若有，则应运用一些相关的特殊性质解题.4 .在解决许多非直角三角形的计算与证明问题时,?常常通过作高转化为直角三角形来解决.5 .折叠问题是新中考热点之一，在处理折叠问题时，动手操作，认真观察，充分发挥 空间想象力，注意折叠过程中，线段，角发生的变化，寻找破题思路.考点链接.等腰三角形的性质与判定:1.等腰三角形的两底角2.等腰三角形底边上的，底边上

4、的，顶角的，三线合一;3.有两个角相等的三角形是二.等边三角形的性质与判定:1.等边三角形每个角都等于，同样具有“三线合一”的性质;2.三个角相等的三角形是,三边相等的三角形是，一个角等于 60的三角形是等边三角形.三.直角三角形的性质与判定:1.直角三角形两锐角2.直角三角形中30所对的直角边等于斜边的3.直角三角形中，斜边的中线等于斜边的4.勾股定理:5.勾股定理的逆定理:典例精析例1 （湖北襄樊）在 ABC中，AB=AC=12cm, BC=6cm, D为BC的中点，动点P从B点出发，以每秒1 cm的速度沿Bt At C的方向运动.设运动时间为 t，那么当t =秒时，过.D、P两点的直线将

5、 ABC的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的P 在 BA 上时，BN t, AP【答案】7或17【解析】本题考查等腰三角形中的动点问题，两种情况，当点=12-t ,2( t+3 ) = 12-t+12+3，解得 t = 7;当点 P 在 AC上时，.PC= 24-t , t+3 = 2( 24-t+3 )，解得t = 17,故填7或17.（山东滨州） 某楼梯的侧面视图如图所示，其中 AB=4米，NBAC=30,= 90 ,因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB段楼梯所铺地毯的长度应为BC【答案】(2+2 )米.【解析】掌握30。所对的直角边等于斜边的一半，即可求解例3 (四川乐山) 如

6、图，AD丄CD AB=13, BC=12 CD=3AD=4,贝U sinB 等于()A. 113【答案】A上C13【解析】由AD丄DC知 ADC为直角三角形.由勾股定理得：AC2=AE2+DC2=32+42=5, AC=5在ACB中， AB2=169, bC+aC=52+122=169, abC+aC.由勾股定理的逆定理知： ABC是直角三角形. a_ AC _ 5-sinB .AB 13例4 (安徽)已知点O到 ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等，且OB=OC解析如图如图若点1，若点0在BC上，求证:2，若点0在 ABC的内部,AB=AC求证：AB=AC0在 ABC的外部，AB=AC成

7、立吗？请画图表示.(1) Rt OEB Rt OFC/ B=/ C. AC=AB(2)过点O作OEI AB, OF丄AC, E, F分别是垂足.由题意知， OE=OF在 Rt OEB和 Rt OFC中，OE=OF OB=OC Rt OEB Rt OFE/ OBE2 OCF又 OB=OC/ OBg OCB/ ABC=/ ACB AC=AB（3）不一定成立.当/ A的平分线所在直线与边 BC的垂直平分线重合时，有 AB=AC否则AB AC, ?如示例图.BC边的中点）探究图形的性质，再运用变化的观点探究一般位置（点 O在 ABC内,点O在三角形外）下图形的性质有何变化，培养同学们从不同的角度分析，

8、解决问题的能力，拓展思维，提高综合解题能力.迎考精练一、选择题1.（ 四川达州）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A B、C D的边长分别是 3、5、2、3,则最大正方形 E的面积是（）A. 13B . 26 C . 47 D . 942.（甘肃白银）如图，O O的弦AB= 6,M是AB上任意一点,且OM最小值为4，则OO的半径为（A. 53.（山东济宁）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一 “赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是 2和4 .小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（

9、假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）,则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是（1 1 1A. - B . - C . - I2 4 54.(浙江嘉兴) 如图，等腰 ABC中，底边BC=a , ZA= 36,110ZABC的平分线交AC于D, NBCD的平分线交BD于E,设k1AA. k2aB . k3aCa.17D . 13B 第4题图C5.（湖北恩施）如图，长方体的长为15,宽为10,高为20,/ B .5/C点B离点C的距离为5, 只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点则 DE=( )爬到点B，需要爬行的最短距离是（206.（浙江宁波）A. 307.（山东威海）A. 20B . 25 C

10、 . 105+5等腰直角三角形的一个底角的度数是（B . 45如图，AB= AC,B BC 若/ A= 40.30,D . 356015.90，则/ ABD的度数是（35D . 40：8.（湖北襄樊）如图，已知直线AB / CD,/ DCF= 110。，且 AE = AF,则/ A等于( )二、填空题.40.50-D . 70BC= 4，过直角顶点 C作Ci,过C作GA2丄AB,垂足为 A2,再过 A1.（四川泸州） 如图，已知 Rt ABC中，AC= 3,CA丄AB,垂足为 Ai,再过 A作AQ丄BC,垂足为作AG丄BC,垂足为C2，这样一直做下去，得到了一组线段 CA, AQ, C1A2，

11、则CA =2.（四川内江）已知Rt ABC的周长是4+4J5，斜边上的中线长是 2,则Saab= 3.（四川宜宾）已知：如图，以Rt ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AE= 3,则图中阴影部分的面积为第12题图4.（湖南长沙）如图，等腰 ABC中，AB= AC, AD是底边上的高，若AB =5cm, BC =6cm，贝U AD = cmC三、解答题1.（河南）如图所示，/ EA（=/ ABDAC= ED点O是AD EC的交点，点E是AB的中点.试判断OE和AB的位置关系,并给出证明.2.（浙江绍兴）如图，在 ABC中，AB=AC, NBAC=40分别以AB, AC为边作两个等

12、腰直角三角形 ABD和ACE，使丄BAD = Z CAE = 90（1 ）求丄DBC的度数;(2)求证：BD =CE .3.（湖北恩施）恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 （A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 X同侧,AB = 50km, A、B到直线X的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客.小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为 P ）, P到A、B的距离之和S = PA + PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A，连接BA交直

13、线X于点P ）, P到A、B的距离之和(1 )求S、S2，并比较它们的大小;请你说明SPA + PB的值为最小;拟建的恩施到张家界高速公路 丫与沪渝高速公路垂直， 建立如图（3）所示的直角坐标系,B到直线丫的距离为30km，请你在X旁和丫旁各修建一服务区 P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.图（1）BAX图（3）图（2）4.（广东中山）如图所示, ABC是等边三角形， D点是AC的中点，延长使 CE =CD ,D点作DM丄BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）（1）用尺规作图的方法，过【参考答案】 选择题1.2.3.4.5.6.7.8.【解析】本题考查平行线的性

14、质、 等腰三角形的性质等知识，/ AB / CD, / DCF =110:所以 NEFB =NDCF =110。, NAFE=70 , / AE = AF,.NE=NAFE=70 ,NA=40。，故选 B填空题2. 8 3. I4. 4解答题1. OE 丄 AB证明：在 BACn ABD中,AC = BD NBAC =NABDAB = BA:丄 OBA/OAB OA=OB -又 AE=BE OEL AB2.解：（1） A ABD是等腰直角三角形，Z BAD =90/ ABD= 45 ,AB = AC,/ ABC= 70 / CBD= 70 +45 = 115证明：（2）AB = AC, N B

15、AD = Z CAE = 90 ,AD = AE, A BAD A CAE, BD= CE3.解：图(1)中过B作Bd AP,垂足为C,则PC= 40,又AP= 10, AC= 30在 Rt ABC 中，AB= 50 AC = 30 BC= 40 BP = J cp2 + BC2 =402S= 402 +10图10 (2)中，过 B作BC丄AA垂足为 C,贝U A C= 50,又 BC= 40 BA = J402 + 502 =10/41由轴对称知：PA=PAS2= BA = 10J41- S1 S2 女0图10 (2),在公路上任找一点 M,连接 MA,MB,MA，,由轴对称知 MA= MA

16、 MB+MA MB+MA AB S2 = BA为最小(3)过A作关于X轴的对称点A,过B作关于丫轴的对称点B,连接AB,交X轴于点P,交丫轴于点Q,则P,Q即为所求 过A、B分别作X轴、丫轴的平行线交于点 G,AB = J1002 +502 =5OJ5所求四边形的周长为50 +5075(2) T ABC是等边三角形,D是AC的中点,二BD平分NABC (三线合一)，.NABC =2NDBE .Tce =CD , .NCED =NCDE.又；NACB=NCED +NCDE , .NACB =2NE .又：厶ABC =NACB ,/. 2NDBC =2NE, N DBC =NE,又;DM丄BE ,