数学建模国赛A题.docx
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数学建模国赛A题
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A题
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
北京邮电大学世纪学院
参赛队员（打印并签名）：
1.彭旋
2.储润杰
3.金春阳
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2012年9月9日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
葡萄酒质量的评价
摘要
本文对于评酒员给出的数据和葡萄的量化指标分析，建立了对葡萄酒质量评价离散模型。
针对问题一，首先将有效数据进行求平均值和方差，排除了一些有问题的数据。
再用matlab将评酒员进行品尝后打分结果进行综合分析，然后用AHP法将其简化，得出了两组品酒员的评价结果差异，第二组更可信，进而得出了结论。
针对问题二，我们采用AHP法和K-均值聚类法对这些酿酒葡萄进行分级。
先在酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量中选择几个重要的指标，再构建判断矩阵，从而对各指标所属各矩阵进行归一化，确定各指标的权重，计算出每种酿酒葡萄的综合得分，然后用K-均值聚类方法将各种酿酒葡萄的综合得分划分等级。
针对问题三，根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量综合评价的结果，我们采用主成分分析法，线性回归方程来求得之间的联系，用酿造红葡萄酒和白葡萄酒的主要影响葡萄酒质量成分花色苷，单宁，总酚，酒总黄酮和白藜芦醇。
加权后列出酿酒葡萄和葡萄酒之间的关系，得出二者为正相关的线性关系。
针对问题四，首先通过对于第三问结果的分析，二者的正相关的线性关系。
对酿酒葡萄的理化指标和酿酒葡萄对旧的质量的影响。
最后论证葡萄酒的质量是否受酿酒葡萄和理化指标的
最后我们基于对葡萄酒质量的评价，我们给出了对酿造葡萄酒的一些建议和看法，模型的优劣和改善，更好的提高了准确度。
关键字K-均值聚类法AHP法线性回归加权
一.问题重述
葡萄酒是以新鲜葡萄或葡萄汁为原料，经发酵而成的含有多种营养成分的饮料酒,是世界公认的对人体有益的健康酒精饮品。
同时葡萄酒是一种成分复杂的酒精类饮料，不同产地，土壤和品种的葡萄成分不同，对葡萄酒的质量有者明显影响，是划分葡萄酒等级的重要依据，酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接关系。
而葡萄酒的酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄质量，通过一些评酒员的评品，确定葡萄酒的质量。
附件1的评品数据中
1）第一组红酒数据——样品20——色调——品酒员4号数据缺失；
2）第一组白酒数据——样品3——持久性——品酒员7号数据明显有问题，怀疑是一个7；
3）第一组白酒数据——样品8——口感分析——浓度——品酒员9号数据明显异常。
等不相干的数据排除。
二.模型假设
1.假设评酒员的品酒数据真实有效。
2.假设所选指标准确无误，主要参考。
3.假设由葡萄到酒的的过程中为理想状态，无其他影响。
4.假设评酒员的评判尺度一样
5.假设酿酒葡萄品质没有区别，均为一样。
三.符号说明
专家矩阵列表
第一组红酒的权重
第二组白酒的权重
第二组红酒的权重
第一组白酒的权重
数据归一的结果
权值
一致性
四.问题分析
问题一分析：
本文针对两组评论员对葡萄酒的评价的可信度运用模糊德尔菲层次分析法。
各自的两两判断矩阵，我们假定就考虑某一准则下对应的决策方案的权重确定问题。
假设通过德尔菲法，确认在第n个专家在其下属层次中的
以及
两个要素之间相对重要程度判断为
。
形成第n个专家两两比较判断矩阵
.假设有m个指标，目的是要确定这个m个指标关于该决策准则的决策权重两两比较判断矩阵包含了参与决策专家的意见，其中的相对重要程度判断具有不确定性，本方法采用平均值和方差来整合专家的意见，以求在决策者主观意见的基础上建立一个较为客观的模糊群体判断矩阵．用三角模糊数表示的群体的两两判断矩阵。
问题二的分析需要对酿酒葡萄进行分级，而酿酒葡萄的好坏与很多因素有关，本题的分级标准是根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量，糖、酸、单宁、色素和芳香物质是构成酿酒葡萄品质优劣的要素。
水和糖是葡萄酒的主要成分,这是葡萄能在酵母效用下发酵成葡萄酒的事物基础。
程度适当而优秀的单宁给人的感触感染是美妙的。
葡萄酒的颜色来历于葡萄中的色素。
葡萄的色素则决定着红葡萄酒的颜色气质。
芳喷鼻事物是造就葡萄酒风味的事物之一,芳喷鼻事物越多,葡萄酒的风味就稠密。
只管单宁、色素和芳喷鼻事物在整个葡萄的事物构成中所占比例很似的小。
但它们对葡萄酒的特色和风味有着很是显著的效应。
问题三的分析:
根据第二问关于酿酒葡萄进行分级分析，我们采用主成分分析法同时能够根据现有的数据，从数据中总结出某些规律，对酿酒葡萄的分级提出一个预测，以提前防范可能出现的问题，以免问题扩大，影响和制约葡萄酒的质量。
问题二需要使用拟合的方法来建立模型，并根据模型进行等级划分，根据生成的方程来计划如何是酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标成正相关的线性联系。
问题四的分析:
根据第二问关于酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标成正相关的线性联系，可以分析出酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量有一定的影响，并且第二问和第三问的问题分析出大量数据，再加上我们运用数学量化思想和线性代数的知识，分析论证出能用葡萄和葡萄酒的量化指标来评价葡萄酒的质量。
五.模型的建立与求解
求解问题一：
首先计算所有得分的平均数和方差，通过对比和分析筛选出比较合理的十组数据。
红葡萄酒品酒分析（方差）
样品1
样品5
样品6
样品11
样品12
样品18
样品19
样品24
样品25
样品27
第一组
62.7
62.01
59.73
63.69
79.66
47.21
47.38
74.89
54.99
49.78
第二组
81.88
13.66
21.12
33.39
25.12
50.27
55.16
10.72
43.73
20.5
白葡萄酒品酒分析（方差）
样品1
样品5
样品6
样品11
样品12
样品18
样品19
样品24
样品25
样品27
第一组
92.22
126.44
162.71
164.23
115.78
156.54
46.4
111.12
33.88
144.4
第二组
25.87
26.27
22.72
87.82
140.04
30.23
26.04
38.54
106.5
35.56
考虑一个综合评价葡萄酒评价结果的问题，可以从四个方面来评估，外观，香气，口感和综合分析。
我们随机选了4位评酒者，记为
分别从这四个方面对其葡萄酒的专家给出两两判断矩阵如下。
据此，构造该专家组的群体模糊两两判断矩阵
如下
据此可以求得群体的标准化模糊权重向量如下：
决策者对各个权重和的不同选择，将导致不同的决策权重．我们也可以在平面上分别做出决策环境参数和决策乐观系数为1.5对决策权重的影响曲线．很容易证明，决策权重是的严格单调增加线性函数，两组评酒员的评价结果无明显差异，结果证明第二组最可信。
求解问题二：
问题二需要对酿酒葡萄进行分级，而酿酒葡萄的好坏与很多因素有关，本题的分级标准是根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量，糖、酸、单宁、色素和芳香物质是构成酿酒葡萄品质优劣的要素。
水和糖是葡萄的最主要成分,这是葡萄能在酵母效用下发酵成葡萄酒的事物基础。
在葡萄酒中,酸除开均衡口感外,还具有抗氧化,保持葡萄酒鲜美的效用。
在味觉感触感染方面,程度适当的酸会使葡萄酒甜而不腻,并在口感上均衡火酒,甜度,葡萄的水果风味,从而增加味觉的舒适性。
单宁是大好的抗氧化事物。
同时,它的涩味和收敛感又造就了葡萄酒丰富的厚重品质。
程度适当而优秀的单宁给人的感触感染是美妙的。
葡萄酒的颜色来历于葡萄中的色素。
葡萄的色素则决定着红葡萄酒的颜色气质。
芳喷鼻事物是造就葡萄酒风味的事物之一,芳喷鼻事物越多,葡萄酒的风味就稠密。
只管单宁、色素和芳喷鼻事物在整个葡萄的事物构成中所占比例很似的小。
但它们对葡萄酒的特色和风味有着很是显著的效应。
我们在以酿酒葡萄为标准时，选择酿酒葡萄的百粒质量、总糖、可溶性固体物、固酸比和PH值等指标。
样品编号
可溶性固形物g/l
固酸比
百粒质量/g
PH值
总糖g/L
综合得分
等级
红葡萄
葡萄样品1
222.9
38.66
123.6
3.56
208.175
145.6608494
B
葡萄样品2
217.1
44.05
98.3
3.95
205.000
141.1020522
C
葡萄样品3
265.0
35.99
105.4
3.91
256.190
165.695647
A
葡萄样品4
213.7
28.61
174.7
3.29
189.722
143.6330461
C
葡萄样品5
202.6
32.00
254.2
3.64
209.663
149.3541036
B
葡萄样品6
234.1
26.43
172.0
3.29
244.385
155.0585379
B
葡萄样品7
256.9
25.98
168.8
3.18
209.861
164.5722002
A
葡萄样品8
197.9
34.99
181.1
2.92
198.849
138.6139763
C
葡萄样品9
194.3
34.58
138.1
3.74
193.690
131.375142
D
葡萄样品10
164.3
27.16
200.8
3.65
167.202
120.7632682
D
葡萄样品11
223.7
38.24
118.8
3.53
209.563
145.4224742
B
葡萄样品12
254.9
30.58
187.7
3.43
247.659
168.6572268
A
葡萄样品13
205.0
23.75
148.0
3.86
197.857
135.0753958
C
葡萄样品14
223.4
35.90
136.3
3.39
191.508
145.9794957
B
葡萄样品15
194.0
25.09
174.5
3.19
179.107
132.3274837
C
葡萄样品16
196.6
41.76
109.3
3.30
204.008
131.4918961
D
葡萄样品17
242.1
27.51
264.1
3.43
212.738
169.171178
A
葡萄样品18
245.9
28.21
208.4
3.27
226.032
165.0943432
A
葡萄样品19
213.1
31.54
168.8
3.57
205.794
144.0681221
C
葡萄样品20
210.3
40.48
334.3
3.81
193.194
164.5395836
A
葡萄样品21
232.5
31.99
106.1
3.56
205.794
146.3612396
B
葡萄样品22
225.3
39.36
115.8
3.65
224.147
146.7421785
B
葡萄样品23
210.1
30.23
219.1
3.39
207.679
148.324307
B
葡萄样品24
223.2
27.98
237.4
3.61
201.825
156.1931724
B
葡萄样品25
153.2
22.81
251.3
3.38
150.337
119.3527977
D
葡萄样品26
185.4
42.74
245.5
3.68
173.353
141.2635325
C
葡萄样品27
204.9
29.67
148.7
3.37
196.667
136.69503
C
白葡萄
可溶性固形物g/l
固酸比
百粒质量/g
PH值
总糖g/L
综合得分
等级
葡萄样品1
199.9
24.30
275.1
3.34
175.040
146.9447795
B
葡萄样品2
210.3
45.03
95.9
3.72
207.778
137.7896
C
葡萄样品3
214.9
56.20
213.2
3.82
180.595
156.2416186
A
葡萄样品4
209.1
34.87
111.0
3.67
206.885
136.1102554
D
葡萄样品5
219.6
30.47
112.8
3.67
202.917
140.1857772
C
葡萄样品6
196.4
25.15
296.7
3.64
186.448
148.5410409
B
葡萄样品7
174.4
23.50
234.9
3.19
161.746
128.6123147
D
葡萄样品8
174.8
41.17
285.1
3.80
157.778
139.6743886
C
葡萄样品9
228.9
56.22
138.2
3.70
209.464
155.3790631
A
葡萄样品10
219.4
32.88
125.6
3.59
217.996
142.9321504
C
葡萄样品11
188.8
56.98
316.5
3.93
167.202
155.2421896
A
葡萄样品12
211.4
47.39
285.8
3.83
209.365
161.8565688
A
葡萄样品13
187.1
29.67
286.1
3.58
153.909
142.57842
C
葡萄样品14
201.1
34.00
145.3
3.39
177.222
134.7785661
D
葡萄样品15
172.7
22.03
498.8
3.67
169.980
159.4094933
A
葡萄样品16
192.0
51.39
259.1
3.23
170.675
148.4865277
B
葡萄样品17
194.2
39.10
111.5
3.67
192.401
129.3470933
D
葡萄样品18
186.3
22.80
286.2
3.50
183.968
141.4349205
C
葡萄样品19
202.2
59.32
165.1
3.88
199.147
145.7326912
B
葡萄样品20
220.7
26.03
205.5
3.48
219.782
151.2875515
B
葡萄样品21
211.4
30.73
92.9
3.60
209.266
134.0363122
D
葡萄样品22
209.1
38.55
73.4
3.99
167.202
131.0738933
D
葡萄样品23
221.8
45.71
186.7
3.71
199.345
154.3045458
A
葡萄样品24
231.1
35.00
200.5
3.72
229.306
158.8258569
A
葡萄样品25
224.1
45.00
141.9
3.80
222.956
150.8442165
B
葡萄样品26
226.4
42.83
104.9
3.83
224.841
147.0066212
B
葡萄样品27
212.6
52.59
166.1
3.66
190.615
148.7838051
B
葡萄样品28
226.6
37.76
108.8
3.59
220.079
145.9246367
B
附件中检测表所给的指标值具有不同的值域和限值，要得到综合的评价
因子，首先必须通过一定方法对数据进行归一化处理。
所以我们首先要对每个指标进行归一化处理。
由该处理方法，我们可以得到一组在[0,1]区间的数据{xi1}，并且，原始数据越小，该归一化后的值越小。
同理，我们可以得到其他三个指标的数据归一化处理：
与此同时，对于各个指标的标准值，我们也应该做归一化处理。
即：
由于主观判断与客观理想之间存在偏差，因此需要对各比较判断矩阵进行一
致性检验，检验构造的判断矩阵求出的特征向量（权值）是否合理。
用一致性比
例CR作为判断依据，CR越小，表明判断矩阵的一致性越好，权重可接受性越
强。
计算公式
为判断矩阵的平均随机一致性指标，其值参见层次分析法（AHP）的平均随机一致性指标值。
则有
（1）zi与zj（i≠j；i，j=1，2，…，m）相互无关；
（2）z1是x1，x2，…，xp的一切线性组合中方差最大者；z2是与z1不相关的x1，x2，…，xp的所有线性组合中方差最大者；……；zm是与z1，z2，……zm-1都不相关的x1，x2，…，xp的所有线性组合中方差最大者。
这样决定的新变量指标z1，z2，…，zm分别称为原变量指标x1，x2，…，xp的第一，第二，…，第m主成分。
其中，z1在总方差中占的比例最大，z2，z3，…，zm的方差依次递减。
在实际问题的分析中，常挑选前几个最大的主成分，这样既减少了变量的数目，又抓住了主要矛盾，简化了变量之间的关系。
从以上分析可以看出，找主成分就是确定原来变量xj（j=1，2，…，p）在诸主成分zi（i=1，2，…，m）上的载荷lij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，p），从数学上容易知道，它们分别是x1，x2，…，xp的相关矩阵的m个较大的特征值所对应的特征向量。
二、主成分分析的计算步骤
通过上述主成分分析的基本原理的介绍，我们可以把主成分分析计算步骤归纳如下：
（1）计算相关系数矩阵
（3）
在公式（3）中，rij（i，j=1，2，…，p）为原来变量xi与xj的相关系数，其计算公式为
因为R是实对称矩阵（即rij=rji），所以只需计算其上三角元素或下三角元素即可。
（2）计算特征值与特征向量
首先解特征方程｜λI-R｜=0求出特征值λi（i=1，2，…，p），并使其按大小顺序排列，即λ1≥λ2≥…，≥λp≥0；然后分别求出对应于特征值λi的特征向量ei（i=1，2，…，p）。
（2）计算主成分贡献率及累计贡献率
主成分
贡献率：
，累计贡献率：
。
一般取累计贡献率达85-95％的特征值λ1，λ2，…，λm所对应的第一，第二，……，第m（m≤p）个主成分。
（3）计算主成分载荷
（5）
由此可以进一步计算主成分得分：
（6）
由于，判断矩阵一致性比例小于0.1，所以该判断矩阵具有良好的一致性，
可以通过矩阵的相容性检验。
因此，计算的权重是可以接受的。
表1.1-9的标度
标度内容表示意义
1
因素与
因素同等重要
3
因素与
因素稍重要
5
因素与
因素明显重要
7
因素与
因素非常重要
9
因素与
因素极端重要
2，4，6，8
对
的重要性介于上述2者之间
注：
为列项目
为行项目
表2.各指标权重值
可溶性固体物
固酸比
百粒重
总糖
pH
0.50
0.28
0.12
0.06
0.04
六.模型评价
模型优点：
本文构造了一个对于葡萄酒质量评价的模型，运用线性规划，德尔菲层次分析法等方式来论证模型的合理性，并提出了一些对于葡萄酒质量提高的建议。
分析了酿酒葡萄和葡萄酒理化指标之间的联系，是整个模型较为完整
不足：
由于葡萄为不确定性东西，受环境影响较大，评酒员主观意象较大。
七.参考资料
1．葡萄品质的评价及其与土壤质地的关系研究河北农业大学资源与环境科学学院，河北保定071001；徐淑伟
2．葡萄品质的评价及其与土壤质地的关系研究河北农业大学资源与园艺学院河北保定071002；刘树庆
3。
Nozaki,K,Kushida,T11984,Antioxidantacticitiesofphenoliccompoundsfromseedsandskinsof33grapevariaties,plantbreedingabstracts10:
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