八年级数学下册 第六章《矩形》教案.docx

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八年级数学下册第六章《矩形》教案

2019-2020年八年级数学下册第六章《矩形》教案

【教学目标】

一．知识与技能：

1.了解矩形的定义.

2.掌握矩形四个内角及对角线的性质以及对称性的性质.

3.矩形性质的简单应用.

二.过程与方法：

1.经历矩形概念的形成过程.

2.经历矩形性质“矩形的四个角都是直角，对角线相等”的发现过程.

三.情感、态度与价值观：

1．通过探索等活动帮助学生养成良好的学习习惯，提高学习积极性

【教学重点】

掌握矩形的性质并能简单应用

【教学难点】

矩形性质的发现及归纳推理过程

【教学过程】：

一、“合作学习”

如图，用6根火柴棒首尾相接摆成一个平行四边形。

思考：

（1）能摆成多少个不同的平行四边形？

它们有什么共

同的特点？

（2）在这些平行四边形中，有没有面积最大的一个平行四边形？

说出你的理由？

（3）这个面积最大的平行四边形的内角有什么特点？

量一量它的两条对角线的长度，你有什么发现？

教师在学生回答的基础上，引入新课题-----6.1矩形

（1）

二、讲解新课

1、矩形的概念

在上面“合作学习”和小

学的知识基础上，引导学生归纳出矩形的概念：

有一角是直角的平行四边形是矩形

让学生举出三个日常生活中的矩形的实例。

2、矩形的性质

根据上面的定义提问：

（1）矩形是不是平行四边形？

（2）平行四边形是不是矩形？

（3）平行四边形的性质对矩形是不是也具备？

（4）矩形有没有与平行四边形不同的性质？

教师在学生回答的基础上，引导学生得出：

矩形不但具备一般平行四边形的所有性质，还具备一般平行四边形没有的特殊性质：

（1）矩形的四个角都是直角；

（2）矩形的对角线相等。

教师根据矩形的性质2，画出图形，写出已知、求证，让学生独立完成性质2的证明。

已知：

如图，AC和BD是矩形ABCD的对角线；

求证：

AC=BD。

教师让学生独立完成证明过程，

让一位学生板演，教师是学生完成证明过程后，

进行点评指正。

3、讲解范例

例1、已知：

如图，在矩形ABCD中对角线AC、BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm。

（1）判断△AOB的形状；

（2）求对角线的长。

教师做启发性提问：

（1）矩形的对角线有什么性质？

（2）平行四边形的对角线有什么性质？

（3）有

（1）与

（2）可以知道，矩形的对角线被点O分成了四部分，OA、OB、OC、OD它们的大小关系是怎样的？

（4）从∠AOD=120°，可以知道∠AOB是多少度？

由此可以看出△AOB是什么形状？

（5）从△AOB的形状可以知道对角线AC、BD与AB有什么关系？

教师在学生回答后让学生独立完成解题过程，让一位学生板演，教师最后进行点评指正。

4、矩形的对称性

教师根据例1，再通过作图的方式，说明矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴。

三、课堂练习

学生独立完成课本第134页的“课内练习”1、2两题的解题过程，让一位学生板演第1题的证明过程，教师巡视指导，最后进行点评指正。

四、课堂小结

1、矩形不但具备一般平行四边形的所有性质，还具备一般平行四边形没有的特殊性质是：

（1）矩形的四个角都是直角；

（2）矩形的对角线相等。

2、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，有两条对称轴。

五、布置作业

见作业本

板书设计

6.1矩形

（2）

【教学目标】

一．知识与技能

1．掌握矩形的判定定理“有三个角是直角的四边形是矩形”；

2．掌握矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”。

二．过程与方法

1．经历矩形的判定定理的发现过程；

三．情感与态度

在经历矩形的判定定理的发现过程培养学生的探索精神及独立思考的学习习惯

【教学重点】

矩形的两个判定定理

【教学难点】

矩

形的两个判定定理的发现及推理过程

【教学过程】

一、复习引入

1、复习提问：

矩形的对边有什么性质？

角呢？

对角线呢？

（学生口答）

2、提问：

要判断一个四边形是矩形目前我们有什么方法？

在学生的回答后，引入新课—6.2矩形

（2）

二、讲解新课

1、“合作学习”

提问：

（1）命题“

矩形的四个角都是直角”的逆命题是什么？

是真命题还是假命题？

要判定一个四边形四边形矩形只要说明几个角是直角？

为什么？

（2）工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的对角线是否相等。

你知道这是为什么吗？

学生讨论回答，在学生回答后引导学生得出：

要判断一个四边形是不是矩形，除了利用矩形的定义外，还有以下两个定理：

定理1、有三个角是直角的四边形是矩形；

定理2、对角线相等的四边形是矩形。

2、矩形判断定理的证明

（1）证明定理1

教师做启发性提问：

①定理的条件是什么？

结论是什么？

②在没有这个判定定理以前，我们要证明一个四边形是矩形，只能根据什么方法来证明？

③因此证明这个定理应该先证明什么？

再证明什么？

教师在学生回答后，让学生自己独立的完成证明。

（2）证明定理2

教师对照右边的图形，写出已知、求证如下。

已知：

在平行四边形ABCD在中，AC=BD；

求证：

平行四边形ABC

D是矩形

教师做启发性提问：

①条件是什么？

结论是什么？

②要证明一个四边形是矩形，根据矩形的定义，只需证明什么？

③要证明有一个角是直角，根据相邻的两个角互补，只需要证明什么？

于是就归结为证明怎样的两个三角形全等？

④如果选择要证明全等的两个三角形是△ABC和△DCB，它们已经满足哪些条件？

这些条件能证明它们全等吗？

根据是什么？

在学生回答后让学生口述证明过程，教师在指正的基础上同步板书，证明过程略。

3、讲解范例

例2、一张四边形的纸板ABCD的形状如图

（1），它的两条对角线互相垂直。

如果要从这张纸板中剪出一个矩形，并且使它的四个顶点分别落在四边形ABCD的四条边上，可以怎么剪？

教师引导学生利用三角形的中位线定理，分别取AB、BC、CD、DA的中点E、F、G、H，任何再利用三角形的中位线定理进行证明，证明过程略。

三、课堂练习

学生独立完成课本第136页的“课内练习”1、2两题的解题过程，第1小题让学生口答，再让一位学生板演第2题的证明过程，教师巡视指导，最后进行点评指正。

四、课堂小结

针对判定一个四边形是矩形的判定方法进行小结，特别指出要利用判定定理2进行判定时要具备两个条件：

（1）这个四边形是平行四边形；

（2）对角线要相等。

这两个条件缺一不可。

五、布置作业

见作业本

板书设计

6.1矩形（3）

【教学目标】

一．知识与技能

1．进一步掌握矩形的性质及判定的应用

2．理解定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”及其证明过程

3．会利用矩形的性质和判定解决简单几何问题.

二．过程与方法

1．经历“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的发现过程

【教学重点】

进一步掌握矩形的性质及判定的应用．

【教学重点、难点】

定理”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明要添加教多的辅助线,综合应用知识的能力要求教高,是本节教学的难点．

【教学过程】

一.复习旧知:

1.矩形的定义.（请下游同学回答）

2.矩形的两个性质定理.（请中下游同学回答）

3.矩形的两个判定定理.（请中下游同学回答）

4.师生一起回答:

有一句话既是矩形的性质,又是矩形的判定,那就是矩形的定义.

5.师生共同回忆:

”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”.

二.新课讲授:

1.下面谈谈第5点”直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的证明过程.

启发引导如下:

1.帮助学生根据题意,画出图形.

2.根据图形,写出已知和求证.（上游生回答）.

3.回顾证明一条线段是另一条线段的一半,可以转换成怎样的一个等价命题.（上游生回答）.

4.如何在图中画出2倍的CD.（中游生回答）.

5.延长CD到E,使DE=CD,问题就化归为证明哪两条线段线段相等.（中游生回答）.

6.

现在我们证明两条线段相等有哪些新的方法.（上游生回答）.

已知:

如图,在RT⊿ABC

中,∠ACB=RT∠,

CD是斜边AB上的中线,

求证:

CD=

AB

证明:

延长CD到E,使DE=CD,连接AE,BE.

CD是斜边AB上的中线.

AD=DB

又

CD=DE

四边形AEBC是平行四边形.

∠ACB=RT∠,

四边形AEBC是矩形（矩形的定义）.

CE=AB（矩形的对角线相等）,

CD=

AB

三.巩固练习

1.课本”课内练习”（请三位中游生上黑板来演示）

2.（机动）见书本作业题（A）组.

四.小结:

1.通过这节课的学习,你有什么收获?

（请各个层次的同学回答）.

2.还有什么困惑需要我们共同解决?

五.作业:

见作业本

板书设计

6.2菱形

（1）

【教学目标】

一．知识与技能

1．掌握菱形的概念

2．掌握菱形的性质定理1“菱形的四条边都相等”

3．掌握菱形的性质定理2“菱形的对角线互相垂直并且每一条对角线平分一组”

4．掌握菱形的对称性

二．过程与方法

1.经历菱形的概念、性质的发现过程

2.探索菱形

的对称性

三．情感与态度

通过探索活动培养学生的自主学习的能力

【教学重点】

菱形的性质．

【教学难点】

菱形的轴对称需要用折叠和推理相结合的方法,是本节的教学难点．

【教学过程】

一.引入:

用多媒体显示下面的图形

观察以下由火柴棒摆成的图形

议一议:

（1）三个图形都是平行四边形吗?

（2）与图一相比,图二与图

三有什么共同的特点?

目的是让学生经历菱形的概念,性质的发现过程,并让学生注意以下几点:

（1）要使学生明确图二、图三都为平行四边形

（2）引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异

二.新课:

把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案,让学生感受菱形具有工整,匀称,美观等许多优点.

菱形也是特殊的平行四边形,所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质.

定理1:

菱形的四条边都相等

这个定理要求学生自己完成证明,可以根据菱形的定义推出,课堂上只需让学生说说理由就可以了,不必写证明过程.

定理2:

菱形的对角线互相垂直,并且每条对角线平分一组对角.

已知:

在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。

求证:

AC⊥

BD,AC平分∠

BAD和∠

BCD，BD平分∠

ABC和∠

ADC.

分析：

由菱形的定义得△ABD是什么三角形？

BO与OD有什么关系？

根据什么？

由此可得AO与BD有何关系？

∠BAD有何关系？

根据什么？

证明：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=AD（菱形的定义）

BO=OD（平行四边形的对角线互相平分）

∴AC⊥BD，AC平分

∠BAD（等腰三角形三线合一的性质）

同理，AC平分∠

BCD，BD平分∠

ABC和∠

ADC

∴对角线AC和BD分别平分一组对角

由定理2可以得出菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴。

另外，还可以从折叠来说明轴对称性。

同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。

菱形还具有平行四边形的所有共性，比如：

菱形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点。

三．应用

例1．在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交与点O,∠BAC=30°,BD=6

求菱形的边长和对角线AC的长.

分析:

本题是菱形的性质定理2的应用，由∠BAC=30°，

得出△ABD为等边三角形，就抓住了问题解决的关

键。

解：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB=AD（菱形的定义）

AC平分∠BAD（菱形的每条对角线平分一组对角）

又∵∠BAC=30°

∴∠BAD=60°

∴△ABD为等边三角形

∴AB=BD=6

又∵OB=OD=3（平行四边形的对角线互相平分）

AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）

由勾股定理得AO2+BO2=AB2

∴AO=

AC=2AO=

四．巩固：

教科书第141页课那练习1、2

五．小结：

1、通过本节课的学习，你有什么收获？

还有哪些困惑？

2、本节课的主要内容是：

一个定义（菱形的定义），二条定理（菱形的性质定理），二个结论（菱形是轴对称图形，又是中心对称图形）。

六．作业：

见作业本

板书设计

6.2菱形

（2）

【教学目标】

一．知识与技能

1．掌握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”。

2．掌握菱形的判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。

二．过程与与方法

1．经历菱形的判定定理的发现过程。

三．情感与态度

1．通过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力．并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系，向学生渗透集合思想．

【教学重点】

菱形的判定定理．

【教学难点】

菱形判定方法的综合应用．课本“合作学习”既需要一定的空间想象力，又要有较强的逻辑思维能力．

【教学过程】

（一）、复习引入

1、提问

菱形的定义和性质。

定义：

一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形。

性质：

除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，

对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角

判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？

定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定。

（板书课题）

（二）、创设情境，引入新课

1、合作学习：

学生拿出准备好的长方形纸片，按图6-15（P142）的方法对折两次，并沿（3）中的斜线剪开，展开剪下的部分，猜想这个图形是哪一种四边形？

一定是菱形吗？

为什么？

剪出的图形四条边都相等，根据这个条件首先证它是平行四边形，再证一组邻边相等，依定义即知为菱形．

结论：

菱形判定定理1：

四边都相等的四边形是菱形（板书）

　（三）、交流互动，探求新知

1、已知：

如图，在

ABCD中，BD⊥AC，O为垂足。

求证：

ABCD是菱形

启发：

在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等。

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）。

∵BD⊥AC，

∴AD＝CD

∴

ABCD是菱形（菱形的定义）。

结论：

菱形判定定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

2、猜想：

对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？

启发：

通过四个直角三角形的全等得到四条边相等。

结论：

对角线互相垂直平分的四边形是菱形。

3、例2：

如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F，求证：

四边形AFCE是菱形。

1

启发：

已知对角线互相垂直，还需什么条件就能说明四边形是菱形？

——说明是平行四边形

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥FC（矩形的定义）

∴∠1＝∠2

又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO

∴△AOE≌△COF

∴EO＝FO

∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。

又∵EF⊥AC

∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

（四）、应用新知，巩固练习

1、课本“课内练习”

（五）、课堂小结，布置作业

1、本节的主要内容是：

菱形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）：

　　1）．一组邻边相等的平行四边形．

　　2）．四条边相等的四边形．

　　3）.对角线互相垂直的平行四边形．

4）.对角线互相垂直平分的四边形

2、想一想：

说明平行四边形、矩形、菱形之间的区别与联系．

3、作业：

作业本

（2）

板书设计

6.3正方形

【教学目标】

一．知识与技能

1．掌握正方形的概念

2．掌握正方形的性质

3．掌握正方形的判定

二．过程与方法

1．经历探索正方形有关性质和判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形的关系

三．情感与态度

1．进一步加深对特殊与一般的认识

【教学重点】

正方形的性质与判定．

【教学难点】

正方形与矩形、菱形、平行四边形的概念之间的联系．

【教学过程】

一、情景引入

出示一块方巾，它是什么几何图形？

（正方形）

中国人对正方形有特殊的感情，如“坦荡方正”，“天圆地方”等词语，还有许多实物都是正方形的形状（学生举例），今天我们就来研究正方形

板书课题：

6.3正方形

二、探索新知

这块方巾是否也可以说是平行四边形？

矩形？

菱形？

与一般的平行四边形相比，它有何特殊性？

与一般的矩形相比，它有何特殊性？

与一般的菱形相比，它又有何特殊性？

根据以上知识，你能完成课本P145的图6-19吗？

根据图6-19，你有何发现？

三、梳理新知

结合学生的发现与图6-19，师生共同归纳出以下几点：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质

性质：

四个角都是直角，四条边相等

对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

判定：

一组邻边相等的矩形是正方形

有一个角是直角的菱形是正方形

四、巩固新知课本做一做

五、实践应用

（1）、给你一块矩形纸条，如何把它变成正方形纸条？

（2）、完成课本节前图

（3）、请你用最快的速度画一个正方形，然后想一想，你所选择的画法是否经得起推敲？

比一比，你周围的同学是否有比你更好的方法？

教师等待学生互相交流后，请学生代表发言

六、理论提升

例题：

已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E、F

求证：

四边形CFDE是正方形

证明：

∵DE⊥BC，DF⊥AC

∴∠DEC=∠DFC=900∵∠ACB=900

∴四边形CFDE是矩形（为什么？

）

∵CD是∠ACB的平分线

∴∠ACD=∠BCD

∴DE=DF

∴四边形CFDE是正方形（为什么？

）

七、小结

（1）这节课我的收获是什么？

（2）我最感兴趣的是什么？

（3）我想进一步研究的问题是什么？

八、作业见作业本

板书设计

6.4梯形

（1）

【教学目标】

一．知识与技能

1．掌握梯形的有关概念

2．掌握等腰梯形的概念和性质定理

二．过程与方法

1．体验梯形及等腰梯形概念的形成过程

三．情感与态度

1．在简单的操作活动中发展学生的说理意识、主动探究的习惯，初步体会平移、轴

对称的有关知识在研究等腰梯形性质中的运用形问题来解决的化归思想

【教学重点】

等腰梯形的性质定理及其应用．

【教学难点】

“等腰梯形同一底上的两个底角相等”的证明和例1，都需要添加辅助线，思路不易形成．

【教学过程】

一、回顾——知识的连续和类比

本章中已经研究了哪几种特殊四边形？

二、创设问题情境——引出梯形概念

观察一

组图片，在图中有你熟悉的图形吗？

三、探究：

（一）看看学学——梯形的有关概念

1、梯形：

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

一些基本概念（如图）：

底、腰、高。

2、等腰梯形：

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

3、直角梯形：

一腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。

（二）想想说说——比较梯形与平行四边形

梯形与平行四边形有什么异同？

（三）做做议议——探索等腰梯形的性质

1.在一张有平行线条的纸上作一个等腰梯形图中有哪些相等的线段？

有哪些相等的角？

这个图形是轴对称图形吗？

你能设法验证你的猜想吗？

（1）学生画图并通过观察猜想；

（2）小组合作交流，共同探索验证方法：

利用轴对称性、图形的平移等。

（3）学生汇报探索成果，归纳等腰梯形的性质：

①等腰梯形是轴对称图形，对称轴是连接两底中点的直线。

②等腰梯形同一底上的两个内角相等，两条对角线相等。

下面来验证：

已知：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD求证：

（1）∠ABC=∠DCB，∠BAD=∠CDA；

（2）AC=BD

分析：

我们学过“如果一个三角形中有两条边

相等，那么它们所对的角相等．”因此，我们只要能将等腰梯形同一底上的两个角转化为等腰三角形的两个底角，定理就容易证明了．

（引导学生口述证明方法，然后利用多媒体出示二种证明方法）

（1）如图，过点

DE作∥AB，交BC于E，得

ABED，所以得AB=DE．

∠DEC=∠ABC,又由AB=CD得DE=CD，因此可得∠ABC=∠DCB．

（2）作高

、

通过证

推出∠ABC=∠DCB．

　　　　（证明过程略）．

例1、如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，已知∠B=60°，

AD=15，AB=45，求BC的长.

辅助线的添法：

延长两腰.把问题转化为三角形来解决.

解延长BA，CD交于点E

∵AD∥BC

∴∠EAD=∠B，∠EDA=∠C

又∵∠B=∠C（等腰梯形同一底上的两个底角相等），且∠B=60°

∴∠EAD=∠EDA=60°

∴△EAD，△EBC都是等边三角形.

∴EA=AD=15

∴BC=EB=EA+AB=15+45=60.

（四）小试牛刀——等腰梯形性质的简单应用

1、已知等腰梯形的一个内角等于70°，你能确定其他三个内角的度数吗？

2、已知等腰梯形的上、下底边长分别是2㎝，8㎝，腰长是5㎝，求这个梯形的高及面积.

3、如图,将等腰梯形ABCD的一条对角线BD平移到CE的位置，则图中有平行四边形吗？

△CAE是等腰三角形吗？

为什么？

五、想想试试——发展综合应用能力

如图，在ABCD梯形中，AD∥BC，AB=CD，

且AD=2，BC=4，高DF=2，求腰DC的长。

四、反思——收获园地

梯形有什么显著特征？

有哪几种特殊梯形？

今天我们主要研究了其中的哪一种？

等腰梯形有什么性质？

今天我们在研究梯形问题时，可以用哪些方法将梯形问题转化成其他图形问题？

（常用辅助线）

五、作业：

见作业本本

板书设计

6.4梯形

（2）

【教学目标】

一．知识与技能

1．掌握等腰梯形的判定定理。

2．了解对角线相等的梯形是等腰梯形及其证明过程。

二．过程与方法

1．经历等腰梯形判定定理的发现和证明过程。

三．情感与态度

在经历等腰梯形判定定理的发现和证明过程中培养学生的合作能力与沟通能力

【教学重点】

等腰梯形的判定定理．

【教学难点】

例2的证明过程较复杂．

【教学过程】

一．复习并导入新知：

1、提问：

等腰梯形有哪些性质？

答：

等腰梯形同一底上的两个底角相等，两条对角线相等。

“等腰梯形同一底上的两个底角相等”的逆命题是什么？

逆命题：

在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。

二．新课讲授，探究新知

指导学生完成这一逆命题的证明：

已知：

梯形ABCD，AD∥BC，∠B=∠C，

求证：

梯形ABCD是等腰梯形。

证明：

分析：

这一结论主要运用等腰三角