高等数学练习题附答案.docx
《高等数学练习题附答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学练习题附答案.docx（41页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高等数学练习题附答案
《高等数学》
专业年级学号姓名
一、判断题.将“或＞填入相应的括号内•（每题2分，共20分）（）1•收敛的数列必有界•
（）2.无穷大量与有界量之积是无穷大量•
（）3•闭区间上的间断函数必无界•
（）4.单调函数的导函数也是单调函数•
（）5.若f（x）在X。
点可导，则f（X）也在X。
点可导•
（）6•若连续函数yf（x）在x0点不可导，则曲线yf（x）在（x0,f（x0））点没有切
线•
（）7.若f（x）在［a,b］上可积，则f（x）在［a,b］上连续•
（）8.若zf（x,y）在（x0,y0）处的两个一阶偏导数存在，则函数zf（x,y）在
（Xo,y。
）处可微.
（）9.微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解
（）10.设偶函数f（x）在区间（1,1）内具有二阶导数，且f（0）f（0）1,则
f（0）为f（x）的一个极小值.
二、填空题•（每题2分，共20分）
2
1.设f（x1）X,贝yf（x1）•
1
2X1
2.若f（x）1，贝Ulim.
x0
2X1
3.设单调可微函数f（x）的反函数为g（x）,f
（1）3,f
（1）2,f（3）6则
g（3）
x,
4.设uxy,贝Udu
y
6.设f（x）为可导函数，f
（1）1,F（x）f（-）f（x2）,则F
（1）
x
f（X）22
7.若tdtx（1x）,则f
（2）
0
8.f（x）x2x在［0,4］上的最大值为.
9.广义积分0e2xdx
三、计算题（每题5分，共40分）
4.计算定积分•.sin3xsin5xdx.
0
5.求函数f（x,y）x34x22xyy2的极值.
6.
设平面区域
D是由y
x,y
siny
x围成，计算dxdy.
1,xy
2,y
dy
匚
7.
计算由曲线
xy
x,y、3x围成的平面图形在第一象限的面积
8.
求微分方程
y
2x厶…”y的通解
y
四、证明题（每题10分，共20分）
1.证明：
arctanx
x
（
）.
2.设f（x）在闭区间［a,b］上连续，且f（x）0,
证明：
方程F（x）
x
F（x）0f（t）dt
0在区间（a,b）内有且仅有
x
dtbf（t）
个实根
《高等数学》参考答案
、判断题.
1.V；2.x
将"或X填入相应的括号内（每题
;3.X；4.X
;5.x；6.x；
7.X;
2分，共20分）
8.x；9";
（每题2分,
共20分）
1.x24x
2.1；
3.1/2;
4.（y
1/y）dx
（x
x/y2）dy；
5.2/3;
6.1
；7.
336;8.
9.
1/2
10.0.
三、计算题（每题
1.解：
因为
5分，共40分）
丄
~2n
n1
2
（2n）
1
（n
1）2
1
2
（2n）
由迫敛性定理知:
In
2.解：
先求对数
1yy
y（x
1（2n）2丄n2
limn
n
lim（
n
ln（x
1
1
lim
n
1）
（x
1
（n1）2
1）2ln（x
2
2
10）（
3.解:
原式=2J"x"x
=2dx
1（x）2
—）=0
（2n）2
2）10ln（x
10
10
10）
10
x10）
4•解:
5•解:
=2arcsin、xc
原式=0sin3xcos2xdx
3
2cosxsin2xdx
0
3
2sin2xdsinx
0
2
=_[sin
5
5
2x]2
=4/5
（0,
3x2
3
cosxsin2xdx
2
3
sin2xdsinx
2
5[sin
8x
2y
（8）
（2）
0）为极大值点
；时f"2）
4
（2）
6•解:
D=（x,y）
0y
i,y
sinydxdy
1
dy
07
2
x
sin
y
2y
22
D
x]_
2
y2x
8,fyy（0,0）
2y
fxy（0,0）2
22
0且A=8
f（0,0）0
fyy（2,2）
无法判断
fxy（2,2）2
ydx=y
0晳心
0y
dy
=[
0（siny
cosy]0
=1
cosl
ysiny）dy
1
0ydcosy
[ycosy]0
1
0cosydy
=1
sinl
7•解：
令uxy,
Xu
yu
2
8•解：
令y
由微分公式知:
四•证明题（每题10分,
1•解：
设
f（x）
f（x）
f（0）
2X/
e（
1
2^uv
2v£v
1
寸v
罷
2v
2亦
v'v
v'31
——dv
InJ3
12v
2u4x
2dx
2dx
1
yv
2
du
1
知（u）
（
dx
c）
4xe
u2
Xv
v■.3
4xe2xdxc）
2x2x
e（2xee
共20分）
f（x）
x2
arctanx
2x、
c）
arcsin——
V1x
2
x
1x2
1x2
2
x
1x2
1x=0
即：
原式成立。
a1b
F（a）b帀址心）af（t）dt>0
故方程F（x）0在（a,b）上至少有一个实根
F（x）2
F（x）在区间［a,b］上单调递增
F（x）在区间（a,b）上有且仅有一个实根
《高等数学》
专业学号姓名
、判断题（对的打V,错的打X；每题2分，共10分）
1.f（x）在点X。
处有定义是f（x）在点Xo处连续的必要条件•
2•若yf（x）在点X。
不可导，则曲线yf（x）在（Xo,f（x。
））处一定没有切线•
3.若f（x）在［a,b］上可积，g（x）在［a,b］上不可积，则f（x）g（x）在［a,b］上必不可积.
4.方程xyz0和x2y2z20在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点.
5.设y*是一阶线性非齐次微分方程的一个特解，y是其所对应的齐次方程的通解，则
yyy*为一阶线性微分方程的通解.
二、填空题（每题2分，共20分）
1.设f（3x）、2x1,f（a）5,则a.
ln（12x）
2.设f（x），当f（0）时，f（x）在点x0连续.
arcsin3x
1
3.设f（x）limx
（1）2xt，贝Vf（x）
tt
知已
X
导
处
A
\—/
a
mo
Hh
d2
5.若2f（x）cosx[f（x）]2，并且f（0）
dx
6.若f（x）,g（x）在点b左连续，且f（b）
则f（x）与g（x）大小比较为f（x）g（x）.
2厂「dydy
ysinx，贝U2；
d（x2）dx
1，则f（x）
g（b）,f（x）g（x）
（axb），
7.若
8.设
x
f（x）x2lntdt，则
f
（2）
9.设ze
几，则dz（1,d
10.累次积分
R
dx
0
R2x2
0
f（x2y2）dy化为极坐标下的累次积分为
、计算题（前
1.
sinx
（1
0\
lim
x0xt
dt
0sint
6题每题5分，后两题每题6分，共42分）
1
t）?
dt
2.设y
3.
sinxcosx,dx;
1sin2x
4.
2
x24x2dx;
0
5.设Z
x七
求
22
xy
6.
求由方程2yx（x
y）ln（x
y）所确定的函数
7.
设平面区域D是由y
x围成，计算
8.
求方程yInydx（x
四、（7分）
已知f（x）x3ax2
大值与极小值
yy（x）的微分dy.siny
dxdy.
y
lny）dy0在初始条件yx1e下的特解.
bx在x1处有极值2，试确定系数a、b，并求出所有的极
五、应用题（每题7分，共14分）
1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比•已知当速度为10（km/h）时，燃料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时96元•问轮船的速度为多少时，每航行1km所消耗的费用最小？
2.过点（1,0）向曲线y.x2作切线，求：
（1）切线与曲线所围成图形的面积；
（2）
图形绕y
轴旋转所得旋转体的体积•
六、证明题（7分）
设函数f（x）在0xa上的二阶导数存在，且f（0）0,f（x）0.证明
f（x）
g（x）在0xa上单调增加.
x
高等数学参考答案
、判断题
1.V；
2.x；
3.V；
4.X；
5.V.
、填空题
1.36；2.
2；3.
3
4（1x）e2x
；
4.
5A；
5.1
sinx；
6
7.COSx2,
2xcosx2
；8.
In
2
；
9.
2dx
dy
R
10.2df（rcos2）rdr.
00
三、计算题
1.原式
（1sinx）sinxcosxlim
x0
sinx
2x2x2x2x
2e（e1）e2e
（e2x1）2
e2x12e2x
2e2x（e2x1）2
1
2T
1e
sinxcosx.
3.原式=2dx
（sinxcosx）
（sinx
2d（sinxcosx）
cosx）
原式=
024sin2t2cost2costdt
16
02sin2tcos'tdt
22
sin2tdt202（1
cos4t）dt
2（t
1sin4t）l°2
z
5.—
y
2
y
2
y
（x2
xy
3
y2）'
6.
331
2223222
y（xy）2xy-（xy）22x
2
223
（xy）
2
y
/22、3—
（xy）
两边同时微分得:
2dy
dx
（dxdy）ln（xy）（x
2dydxln（xy）dxln（xy）dx
3ln（xy）
（本题求出导数后，用
dy
8原方程可化为
通解为
1
y）（dxdy）
xy
ln（xy）dy（dxdy）
dy2
0y2
dxy
1
0（siny
ysiny）dy
cosy：
ycosy0
cos1
cos1sin、
y
1
1
ocosydy
dyydx解出结果也可）
1
7.沁dxdy
dy
1sinl
dx
dy
xyiny
1
而dy[
1dy亠ylnye
byC]y
InIny
InIny1dyy
C]
Iny
1.lny
2
1
lnydyC]y
C
lny
112
^[2（M）C]
）上该函数处处可导，且
20（km/h）时，每航
7.2（元）
e代入通解得C1
四、
解：
f（x）3x2axb
因为f（x）在x1处有极值2，所以x
1必为驻点
故
f
（1）32ab0
又
f
（1）1ab2
解得:
a0,b3
于是
f（x）x3xf（x）
2
3（x1）
f（x）6x
由f
（x）
0得x1，从而
f
（1）
60，在x1处有极小值f
（1）
2
f（
1）
60，在x1处有极大值f（
1）2
五、
1.解
:
设船速为x（km/h），依题意每航行
1km的耗费为
13
y（kx396）
x
又x
10
时，k1036故得k0.006，
所以有
13
y—（0.006x96），x（0,
x
）
令
y
0012
2（x38000）0，得驻点x
20
故所求特解为:
（Iny）22x1ny10
x
由极值第一充分条件检验得
x20是极小值点.由于在（0,只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为
2.解:
（1）设切线与抛物线交点为（x0,y0），则切线的斜率为
y。
，
x1
又因为y2
x2上的切线斜率满足2yy1，在（X。
，y°）上即有2y°y1
所以2yo—1即2yox。
1
Xo1
则所围成图形的面积为:
代入上式得［3］Xf（X）2f（）
XX
由假设f（x）0知f（x）为增函数，又x，则f（x）f（）,
于是f（x）f（）0,从而［上凶］0,故丄凶在（0,a）内单调增加
XX
《高等数学》试卷
专业学号姓名
、填空题（每小题1分，共10分）
1.函数yarcsin—x2,1的定义域为。
2.函数yxex上点（0,1）处的切线方程是。
3•设f（x）在xo可导且f（x0）A，贝Vlimf（X0——2h^———3h）=。
h0h
4•设曲线过（0,1），且其上任意点（x,y）的切线斜率为2x，则该曲线的方程是
6.limxsin—=xx
•设f（x,y）sinxy，贝Vfx（x,y）=
:
dx°Rxf（x2y2）dy化为极坐标下的累次积分为
单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写
在题干的（
）内,
（1〜10每小题1分，11〜17每小题2分，共24分）
1.设函数
f（x）
1
—,g（x）1x,
x
则f（g（x））=
2.x0时,
xsin11是
x
1无穷大量
2无穷小量
3有界变量
4无界变量
①若f（x）在x
X。
连续，则
f（x）在xxo可导
②若
f（x）在x
X。
不可导，则
f（x）在x
xo不连续
③若
f（x）在x
X。
不可微，则
f（x）在x
X。
极限不存在
④若
f（x）在x
X。
不连续，则
f（x）在x
X。
不可导
5•设F（x）
G（x），则
（）
①F（x）
G（x）为常数
②F（x）
G（x）为常数
③F（x）
G（x）。
④—
F（x）dx—G（x）dxx
dx
dx
1
6.
1
xdx
=
（）
①上升的凸弧②下降的凸弧
③上升的凹弧④下降的凹弧
①0②1③2④3
7•方程2x3y1在空间表示的图形是（）
①平行于xOy面的平面②平行于Oz轴的平面
③过Oz轴的平面④直线
11•下列函数中为偶函数的是
（）
①yex②yx31
—3
③yxcosx
④yIn;
12.设f（x）在（a,b）可导，ax1x2
b，则至少有一点
（a,b）使
（）
①f（b）f（a）f（）（ba）
②f（b）f（a）f
（）（X2xj
③f（X2）f（xjf（）（ba）
④f（X2）f（xj
f（）（X2X1）
13•设f（x）在x
①cosx②2cosx③1sinx④1sinx
15•过点（1,2）且切线斜率为4x3的曲线方程为y=（）
①X4②x4+c③x4+1④4x3
16.设幕级数anxn在x0（x00）收敛，则
n0n0
①绝对收敛②条件收敛③发散④收敛性与an有关
17.设D：
域由
2
yx,yx所围成，贝U
sin
X
d
DX
①
1
1sinx
②
1
ysinx
dx
0
dy;
xX
dy
0丿
yX
dx;
③
1
xsinx
④
1
xsinx
dx
0
dy;
xX
dy
0J
xX
dx.
、计算题（1〜3每小题5分，4〜9每小题6分，共51分）
5.求过点A（2,1,—1）,E（1,1,2）的直线方程
计算
xasin
rsindrd
00
8•求微分方程dy（J）2dx的通解.
x1
2.（7分）借助于函数的单调性证明：
当x>1时，2X3
高等数学参考答案
、填空题（每小题1分，
共10分）
1.（—1,1）2
.2x—y+1=03.5A
.2.
4.y=x+1
5.1arctanx2c
6.17.ycos（xy'
）
2
8.2df（r2）rdr
9.三阶10.发散
00
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的
（）内，1〜10每小题1分，11〜17每小题2分，共24分）
1.③2.③3.④4.④5.②6.②7.②8.⑤9.④10.③
11.④12.④13.⑤14.③
15.③16.①17.②
三、计算题
（1〜3每小题5分，
4〜9每小题6分，共51分）
1.解:
Iny
丄[1n（x1）InxIn（x3）]
2
11111yy2（厂；门
x（x3）（x1
2.解:
18xcos（9x216）lim
x433
442
18（3）cos（9（才2
3
16）
=8
3•解：
原式=（1*即
（1ex）2
=dxd（1ex）
xx、2
（1e）（1e）
=（1exex）dx1
xx
1e1e
X1
=xln（1e）c
1e
4.解：
因为dx（cost）arctgtdt,dy（sint）arctgtdtdy（sint）arctgtdt
dx（cost）arctgtdt
tgt
5.解：
所求直线的方向数为{1,0,-3}
所求直线方程为
「1z2
0
6.解:
xysinz■
dued（x
ysinz）
21ydy
coszdz）
7.解:
原积分=0sin
asin
rdr
丄a2sin3d
20
8.解:
两边积分得
两边同除以
（y
1）2
dy
（1y）2
dx
（1x）2
dy
（1y）2
dx
（1x）2
9.解:
分解，得
f（x）="
1
1
1
1
x21
x
2
n1
x-
n02
（
n0
n
12n
（
x
1且
x
2
1）
1
=[1
（1）*]xn（x1）
nO2
四、应用和证明题（共1$分）
「解：
设速度为"u满足m竽mgku
解方程得u1（mgcekt）
由u「°=0定出c,得umg（1ekt）
k
2.证:
令f（x）
1
3则f（x）在区间［1,+^］连续
x
因此f（x）在］1,+s］单调增加
从而当x1时，f（x）f
（1）=0
即当x1时，2匸3-
x
《高等数学》
专业学号姓名
'、判断正误（每题2分，共20分）
1.两个无穷大量之和必定是无穷大量•
2.初等函数在其定义域内必定为连续函数•
3.yfx在点Xo连续，则yfx在点Xo必定可导.
5.
初等函数在其定义域区间内必定存在原函数
6.
方程x2
1表示一个圆.
7.
x,y
在点M0x0,y0可微，则zfx,y在点M
8.
2x
ex是二阶微分方程.
9.
d
dx
x
sintdt
1
sinxsinl.
10.若yfx
x
为连续函数，则ftdt必定可导.
a
、填空题（每题4分，共20分）
1.
dx
1sinx
2.
sin2xlim
3.设fx1，且f01，贝Ufxdx
2
4.zxy,贝Udz
db.2
——sinx
dxa
三、计算题与证明题（共计60分）
n
n
2
“J
1.
1lim
（5分）；
n
n
1
2lim
1
1
（5分）。
x0
x
e1
2.
.求函数
y
sinx
cosxsinx,
cosx的导数。
（10分）
fx
3.若在,上fx0,f00•证明：
Fx在区间，0和0,上
x
单调增加•（10分）
4.对物体长度进行了n次测量，得到n个数X2，,x.。
现在要确定一个量x，使之与
测得的数值之差的平方和最小.X应该是多少？
（10分）
5•计算xsinx2dx.（5分）
6.由曲线yInx与两直线ye1x,y0所围成的平面图形的面积是多少•（5分）
7.求微分方程xdyxy满足条件yx70的特解。
（5分）
dx"
8.计算二重积分x2dxdy,D是由圆x2y21及x2y24围成的区域.（5分）
升级会员 