高等数学练习题附答案.docx

1、高等数学练习题附答案高等数学专业 年级 学号 姓名 一、判断题.将“或 填入相应的括号内(每题2分，共20分) ()1收敛的数列必有界()2.无穷大量与有界量之积是无穷大量 ()3闭区间上的间断函数必无界 ()4.单调函数的导函数也是单调函数 ()5.若f (x)在X。点可导，则f(X )也在X。点可导()6若连续函数y f (x)在x0点不可导，则曲线 y f (x)在(x0, f (x0)点没有切线()7.若f (x)在a,b上可积，则f (x)在a,b上连续()8.若z f (x, y)在(x0, y0)处的两个一阶偏导数存在，则函数 z f (x, y)在(Xo,y。)处可微.()9.

2、微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解( )10.设偶函数f(x)在区间(1,1 )内具有二阶导数，且 f (0) f (0) 1,则f (0)为f (x)的一个极小值.二、填空题(每题2分，共20分)21.设 f(x 1) X ,贝y f (x 1) 12X 12.若 f(x) 1 ，贝U lim .x 02X 13.设单调可微函数f (x)的反函数为g(x) , f (1) 3, f (1) 2, f (3) 6则g (3) x ,4.设 u xy ,贝U du y6.设 f(x)为可导函数，f(1) 1,F(x) f(-) f(x2),则 F (1) xf(X) 2 27.若 t

3、dt x (1 x),则 f (2)08.f (x) x 2 x在0,4上的最大值为 .9.广义积分0 e2xdx 三、计算题（每题5分，共40 分）4.计算定积分 . sin3x sin5 xdx.05.求函数 f (x, y) x3 4x2 2xy y2 的极值.6.设平面区域D是由yx, ysin yx围成，计算 dxdy .1, xy2,yd y匚7.计算由曲线xyx, y 、3x围成的平面图形在第一象限的面积8.求微分方程y2x厶” y 的通解y四、证明题（每题10分，共20 分）1.证明：arc tanxx().2.设f(x)在闭区间a,b上连续，且f(x) 0,证明：方程F(x)

4、xF(x) 0 f (t)dt0在区间(a,b)内有且仅有xdt b f(t)个实根高等数学参考答案、判断题.1.V ； 2.x将或X填入相应的括号内(每题;3.X； 4.X;5. x； 6. x ；7. X ;2分，共20分)8.x ； 9;(每题2分,共 20 分)1. x2 4x2. 1；3. 1/2;4.(y1/ y)dx(xx/ y2)dy ；5. 2/3 ;6. 1； 7.3 36 ; 8.9.1/210. 0.三、计算题(每题1.解：因为5分，共40分)丄2 nn 12(2n)1(n1)212(2n)由迫敛性定理知:In2.解：先求对数1 y yy (x1 (2n)2 丄 n2l

5、im nnlim (nln(x1 1limn1)(x1(n 1)21) 2ln(x2210)(3.解:原式=2 J xx=2 d x1 ( x)2)=0(2n)22) 10l n(x101010)10x 10)4解:5解:=2 arcs in、x c原式=0 sin 3xcos2xdx32 cosxsin2 xdx032 sin 2 xd sin x02=_sin552x2=4/5(0,3x23cosxsin2 xdx23sin2 xdsinx25sin8x2y(8) ( 2)0)为极大值点；时 f2)4 ( 2)6解:D= (x,y)0 yi,ysin ydxdy1dy0 72xsiny2

6、y22Dx_2y 2x8 , fyy(0,0)2yfxy(0,0) 2220 且 A= 8f(0,0) 0fyy(2,2)无法判断fxy(2,2) 2ydx = y0晳心0 ydy=0(sin ycosy0=1coslysin y)dy10 yd cos yycos y010 cos ydy=1sinl7 解：令 u xy,Xuyu28解：令 y由微分公式知:四证明题（每题10分,1解：设f (x)f(x)f(0)2X/e (12uv2vv1寸v罷2v2亦vvv3 1dvIn J31 2v2u 4x2dx2dx1yv2du1知（u）(dxc)4xeu 2Xvv . 34xe 2xdx c)2x

7、 2xe (2xe e共 20 分)f(x)x2arcta n x2x 、c)arcsin V1 x2x1 x21 x22x1 x21 x =0即：原式成立。a 1 bF(a) b 帀址心)af(t)dt0故方程F(x) 0在(a,b)上至少有一个实根F (x) 2F(x)在区间a,b上单调递增F(x)在区间(a,b)上有且仅有一个实根高等数学专业 学号 姓名 、判断题(对的打V,错的打X；每题 2分，共10分)1. f (x)在点X。处有定义是f (x)在点Xo处连续的必要条件2若y f(x)在点X。不可导，则曲线y f (x)在(Xo, f(x。)处一定没有切线3.若f (x)在a, b上

8、可积，g(x)在a, b上不可积，则f(x) g(x)在a, b上必不可 积.4.方程xyz 0和x2 y2 z2 0在空间直角坐标系中分别表示三个坐标轴和一个点 .5.设y*是一阶线性非齐次微分方程的一个特解， y是其所对应的齐次方程的通解，则y y y*为一阶线性微分方程的通解.二、填空题(每题2分，共20分)1.设 f(3x) 、2x 1 , f (a) 5,则 a .ln(1 2x)2.设f(x) ，当f(0) 时，f (x)在点x 0连续.arcs in3x13.设 f(x) lim x(1 )2xt，贝V f (x) t t知 已X导处A/amoHhd 25.若 2f (x) co

9、sx f (x)2，并且 f(0)dx6.若f(x), g(x)在点b左连续，且f(b)则f (x)与g(x)大小比较为f (x) g (x).2 厂 dy dyy sin x ，贝U 2 ；d(x2) dx1，则 f(x)g(b), f (x) g (x)(a x b)，7.若8.设xf (x) x2 ln tdt，则f(2)9.设 z e几，则 dz (1,d10.累次积分Rdx0R2 x20f(x2 y2)dy化为极坐标下的累次积分为、计算题(前1.sin x(10 limx 0 x tdt0sin t6题每题5分，后两题每题6分，共42 分)1t)?dt2.设y3.sin x cosx

10、 , dx;1 sin 2x4.2x2 4 x2dx;05.设Zx 七 ,求2 2x y6.求由方程2y x (xy)ln(xy)所确定的函数7.设平面区域D是由yx围成，计算8.求方程y In ydx (x四、(7分)已知 f (x) x3 ax2大值与极小值y y( x)的微分dy . sin ydxdy.yln y)dy 0在初始条件yx1 e下的特解.bx在x 1处有极值 2，试确定系数a、b，并求出所有的极五、应用题(每题7分，共14分)1.一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比 已知当速度为10(km/h)时，燃 料费为每小时6元，而其它与速度无关的费用为每小时 96元问轮

11、船的速度为多少时，每航 行1 km所消耗的费用最小？2.过点(1, 0)向曲线y . x 2作切线，求：(1)切线与曲线所围成图形的面积； (2)图形绕y轴旋转所得旋转体的体积六、证明题(7分)设函数f (x)在0 x a上的二阶导数存在，且f (0) 0 , f (x) 0 .证明f (x)g(x) 在0 x a上单调增加.x高等数学参考答案、判断题1. V；2. x；3. V ；4. X ；5. V.、填空题1. 36 ； 2.2； 3.34(1 x)e2x；4.5A ；5. 1sinx ；67. COSx2,2xcosx2； 8.In2；9.2dxdyR10. 2 d f (r cos

12、2 )rdr .0 0三、计算题1.原式(1 sin x)sinx cosx limx 0sin x2x 2x 2 x 2 x2e (e 1) e 2e(e2x 1)2e2x 1 2e2x2e2x (e2x 1)212T1esin x cosx .3.原式= 2dx(sin x cosx)(sin x2d(sin x cosx)cosx)原式=024sin2t 2cost 2costdt1602sin2t costdt2 2sin 2tdt 2 02 (1cos4t)dt2(t1sin4t)l2z5.y2y2y(x2xy3y2)6.3 3 12 2 2 3 2 2 2y(x y )2 xy -

13、(x y )2 2x22 2 3(x y )2y/ 2 2、3 (x y )两边同时微分得:2dydx(dx dy) l n(x y) (x2dy dx ln(x y)dx ln(x y)dx3 ln (x y)(本题求出导数后，用dy8原方程可化为通解为1y) (dx dy)x yln(x y)dy (dx dy)dy 20 y2dx y10(s inyy sin y)dycosy：ycosy 0cos1cos1 sin、y11ocosydydy y dx解出结果也可）17.沁dxdyd y1 sinldxdyx yin y1而dy1 dy 亠 yln y eby C yIn In yIn

14、In y 1 dy yCIn y1 . ln y21ln ydy C yCln y1 1 22(M)C)上该函数处处可导，且20(km/h)时，每航7.2 (元)e代入通解得 C 1四、解：f (x) 3x 2ax b因为f(x)在x 1处有极值 2，所以x1必为驻点故f (1) 3 2a b 0又f(1) 1 a b 2解得:a 0, b 3于是f (x) x 3x f (x)23(x 1)f (x) 6x由f(x)0得x 1，从而f(1)6 0，在x 1处有极小值f(1)2f (1)6 0，在x 1处有极大值f(1) 2五、1.解:设船速为x(km/h)，依题意每航行1km的耗费为1 3y

15、 (kx3 96)x又x10时，k 103 6 故得 k 0.006，所以有1 3y (0.006x 96)，x (0,x)令y0 0122 (x3 8000) 0，得驻点 x20故所求特解为:(Iny)2 2x1 ny 1 0x由极值第一充分条件检验得x 20是极小值点.由于在(0 , 只有唯一的极值点，当它为极小值点时必为最小值点，所以求得船速为2. 解:(1)设切线与抛物线交点为(x0, y0)，则切线的斜率为y。，x 1又因为y2x 2上的切线斜率满足 2y y 1，在(X。，y)上即有2yy 1所以 2yo 1 即 2yo x。 1Xo 1则所围成图形的面积为:代入上式得 3 Xf

16、(X)2 f()X X由假设f (x) 0知f (x)为增函数，又x ，则f (x) f (),于是f (x) f ( ) 0,从而上凶0,故丄凶在(0,a)内单调增加X X高等数学试卷专业 学号 姓名 、填空题(每小题1分，共10 分)1 .函数 y arcsin x2 , 1 的定义域为 。2.函数y x ex上点(0,1 )处的切线方程是 。3设 f (x)在 xo 可导且 f (x0) A，贝V lim f(X02h3h) = 。h 0 h4设曲线过(0,1)，且其上任意点(x,y)的切线斜率为2x，则该曲线的方程是 6. lim xsin = x x设 f (x, y) sin xy

17、，贝V fx(x, y)=:dxR x f (x2 y2)dy化为极坐标下的累次积分为单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的()内,(110每小题1分，1117每小题2分，共24分)1.设函数f(x)1 ,g(x) 1 x,x则 f(g(x)=2 . x 0 时,xs in1 1 是x1无穷大量2无穷小量3有界变量4无界变量若f (x)在xX。连续，则f (x)在x xo可导若f (x)在 xX。不可导，则f (x)在 xxo不连续若f (x)在 xX。不可微，则f (x)在 xX。极限不存在若f (x)在 xX。不连续，则f (x)在 xX。不可导5 设

18、F (x)G (x)，则() F(x)G(x)为常数 F(x)G(x)为常数 F(x)G(x)。F (x) dx G(x)dx xdxdx16.1xdx=()上升的凸弧 下降的凸弧上升的凹弧 下降的凹弧0 1 2 37方程2x 3y 1在空间表示的图形是 ()平行于xOy面的平面 平行于Oz轴的平面过Oz轴的平面 直线11 下列函数中为偶函数的是() y ex y x3 1 3 y x cosx y In ;12.设 f (x)在(a,b)可导，a x1 x2b，则至少有一点(a,b)使() f (b) f (a) f ( )(b a) f(b) f(a) f()(X2 xj f(X2) f

19、(xj f ( )(b a) f(X2) f(xjf ( )(X2 X1)13 设 f (x)在 x cosx 2 cosx 1 sinx 1 sinx15 过点(1,2 )且切线斜率为 4x3的曲线方程为y= ()X4 x4+c x4+1 4x316.设幕级数 anxn在x0 ( x0 0 )收敛， 则n 0 n 0绝对收敛 条件收敛 发散 收敛性与an有关17 .设D：域由2y x, y x所围成，贝UsinXdD X11 sin x1y sin xdx0dy ;x Xdy0丿y Xdx;1xsin x1xsin xdx0dy ;x Xdy0 Jx Xdx .、计算题(13每小题5分，49

20、每小题6分，共51分)5 .求过点 A(2,1,1),E(1,1,2 )的直线方程计算x asi nr sin drd0 08求微分方程 dy (J)2dx的 通解.x 12.（7分）借助于函数的单调性证明：当 x1时，2 X 3高等数学参考答案、填空题（每小题1分，共10分）1.(1,1) 2.2x y+1 = 0 3.5A. 2 .4.y=x +15. 1 arcta nx2 c6.1 7.ycos(xy)28. 2d f(r2)rdr9 .三阶 10 .发散0 0二、单项选择题 （在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的（）内，110每小题1分，1117每小题2分，

21、共24分）1 . 2.3. 4. 5.6 . 7. 8. 9. 10.11 . 12. 13. 14.15.16 . 17.三、计算题（13每小题5分，49每小题6分，共51分）1. 解:In y丄1 n(x 1) In x In(x 3)21 1 1 1 1 yy 2(厂；门x(x 3)(x 12 .解:18xcos(9x2 16) limx 43 34 4 218(3)cos(9(才2316)=83 解：原式=(1 *即(1 ex)2= dx d(1 ex)x x、2(1 e ) (1 e )=(1 ex ex)dx 1x x1 e 1 eX 1=x ln(1 e ) c1 e4 .解：

22、因为 dx (cost)arctgtdt ,dy (sint)arctgtdt dy (sin t)arctgtdtdx (co st)arctgtdttgt5 .解：所求直线的方向数为1,0,-3所求直线方程为1 z 206 .解:x y sin z du e d(x,y sin z)21ydycoszdz)7.解:原积分=0sinasinrdr丄 a2 sin3 d2 08.解:两边积分得两边同除以(y1)2dy(1 y)2dx(1 x)2dy(1 y)2dx(1 x)29 .解:分解，得f(x)=1111x 21x2n 1x -n 0 2(n 0n1 2n(x1且x21 )1=1 ( 1

23、)*xn ( x 1 )nO 2四、应用和证明题(共1$分)解：设速度为u满足m竽mg ku解方程得u 1 (mg ce kt)由u =0定出c,得 u mg(1 e kt)k2 .证:令 f (x)13则f (x)在区间1,+连续x因此f (x)在1,+s单调增加从而当 x 1 时，f (x) f (1) = 0即当x 1时，2匸3 -x高等数学专业 学号 姓名 、判断正误(每题2分，共20分)1.两个无穷大量之和必定是无穷大量 2.初等函数在其定义域内必定为连续函数 3.y f x在点Xo连续，则y f x在点Xo必定可导.5.初等函数在其定义域区间内必定存在原函数6.方程x21表示一个圆

24、.7.x, y在点M0 x0, y0可微，则z f x, y在点M8.2xex是二阶微分方程.9.ddxxsi ntdt1sinx sinl.10.若 y f xx为连续函数，则 f t dt必定可导.a、填空题（每题4分，共20 分）1.dx1 sin x2.sin2x lim3.设 fx 1，且 f0 1，贝U f x dx24. z xy ,贝U dz d b . 2sin x dx a三、计算题与证明题（共计 60分）nn2“ J1.1 lim（5 分）；nn12 lim11,（5 分）。x 0xe 12.求函数ysin xcosx sinx ,cosx 的导数。（10分）f x3.若在 , 上f x 0, f 0 0 证明：F x 在区间 ，0和0, 上x单调增加（ 10分）4. 对物体长度进行了 n次测量，得到n个数X2， , x.。现在要确定一个量 x，使之与测得的数值之差的平方和最小 .X应该是多少？ （ 10分）5 计算 xs in x2dx.（ 5 分）6.由曲线y In x与两直线y e 1 x , y 0所围成的平面图形的面积是多少 （ 5分）7. 求微分方程xdy x y满足条件yx 7 0的特解。（5分）dx 8 .计算二重积分 x2dxdy, D是由圆x2 y2 1及 x2 y2 4围成的区域.（5分）