高维李查逊外推算法的研究和应用.docx

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高维李查逊外推算法的研究和应用

1

高维李查逊外推算法的研究和应用

林柏洪1张权2杨小远3

（1，2北京航空航天大学物理科学与核能工程学院，北京，100191）

（3北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室北京，100191）

摘要：

本文在李查逊外推法算法的基础上，提出了广义李查逊外推法算法，在此基础上构造

了高精度高阶导数的数值计算法，实验结果表明，本文提出的算法有效性。

关键字外推，Tayolor公式，导数的数值计算

中图分类号：

0177.2文献标示码:

A

1.李查逊外推法的简介

李查逊外推法是科学计算领域提高算法的精度重要方法，广泛应用于数值积分，有限元

和偏微分方程数值解等领域。

下面介绍理查逊外推法

定理1李查逊（Richardson）外推法

设步长为h的算法Ι1（h）去逼近量Ι，若Ι和1Ι（h）之间的截断误差有渐近展开式：

121

112

11

（）（）

0

pppkp

k

kk

hChChChOh

ppp−

Ι−Ι=++++=

>>>>

􀀢􀀢

其中􀀢

定义1

（）（）（）

1

m

m

p

mm

mp

hrhrh

r+

Ι−Ι

Ι=

−

，则1（）mh+Ι逼近Ι的截断误差阶为hpm+1。

从以上算法中，我们可以看到，此算法局限于单变量函数的计算。

那么对于多元函数而言，

理查逊外推法是否一样成立，下面我们将理查逊外推法推广为广义理查逊外推。

2.广义李查逊外推

这节我们给出广义广义李查逊外推算法以及理论分析。

首先我们给出多元函数的

多元函数的Taylor定理

定理1多元函数的Taylor公式

假设D⊂Rn是一凸域，f∈Cm+（1D）。

12（,,.....）nx=xxx

􀁇

和

1122（,,.....）nnxhxhxhxh

→

+=+++

􀁇

是D中两点，则必存在θ∈（0，1），使得：

0||

（）（）

!

m

m

kk

fxhDfxhR

α

α

αα

→

→→

==

+=ΣΣ+，其中

||1

（）

m!

m

RDfxhh

α

α

α

θ

=+α

+

=Σ

􀁇􀁇

，这里

12

12

12

.....

12

12

（）（）,...

....

n

n

nn

n

Dfxfxhhhh

xxx

ααα

ααααα

ααα

→∂++→

==

∂∂∂

其中

1212|.....,!

!

!

.......!

nn|α=α+α+αα=ααα

------------------------------------------------------------

基金项目：

北京市精品课程建设项目资助

作者简介：

林柏洪，男，1989年11月出生，现为北京航空航天大学物理科学与核能工程学院学生。

张权，

男，1991年1月出生，现为北京航空航天大学物理科学与核能工程学院学生。

杨小远，女，1964年2月出

生，博士，北京航空航天大学数学与系统科学学院教授、博导，主要研究方向应用调和分析和图像处理。

2

定理2（广义李查逊外推）

设步长为h=（h1,h2,.....hn）

􀁋

的算法

1G（h）去逼近量f，若f和

1G（h）之间的截断误差有渐

近展开式：

1

111

1||

（）（）（）,0

!

k

m

p

mm

kp

GhfDfxhohppp

α

α

αα

→

→

−

==

−=ΣΣ+􀀢=􀀦􀀦其中>>􀀢>>

（1）

则定义1

（）（）（）（01）

1

m

m

p

mm

mp

GhGqhqGhq

q+

−

=<<

−

􀁋􀁋􀁋

，1（）mGh+逼近f的截断误差阶为

hpm+1

􀁇

􀀦􀀦为了证明定理2，我们首先证明两引理。

引理1设k，n是两个正整数，那么

12

12

112

...12

（......）!

......,

!

!

......!

n

n

k

nn

kn

xxkxαxαxα

α+α++α=ααα

+=Σ

（2）

12......n这里α，α，α是非负整数。

证明：

对加项的个数n作归纳法，n=2时，它是二项式定理，当然成立。

现设关于k-1时成

立，那么由二项式定理以及归纳假设得：

121

121

12

11111

0

121

0...121

...12

（......）[（.....]!

（........）

!

（）!

!

（）!

....

!

（）!

!

!

......!

!

!

!

......!

nn

n

nn

nnn

n

k

kkk

nnnnn

nn

k

n

nn

nnkn

kn

xxxxxkxxx

k

kkxxxx

k

kx

αα

α

αααα

ααααα

ααα

αα

α

ααααα

ααα

−

−

−

−−

=

−

=+++=−−

+++=

+=++=+

−

−

=

−

=

Σ

ΣΣ

Σ

）

12

12......n,

nαxαxα

因此k时，

（2）也成立。

引理证毕。

引理2在多元函数的Taylor定理的条件下，我们有（m1）,0

mR=oh+h→

􀁇􀁇

􀀦􀀦􀀦􀀦

证明：

由于x

􀁇

是D的内点，所以可以x

􀁇

为中心作一个闭球K，使得KD⊂。

而当h

􀁇

􀀦􀀦充分

小时，可使x+θh∈K

􀁇􀁇

。

由于f的所有m+1阶偏微导都在K上连续，设M是所有偏导数的

绝对值在K上的一个上界，于是由Taylor定理及引理1得：

121

121

||112||112

1

111

1

...||.....||

!

!

.......!

（1）!

!

!

.......!

（||....||）（）

（1）!

（1）!

（1）!

nn

nn

mnnn

m

mmm

n

hhhMhh

m

MhhMnhMnh

mmm

ααααα

α=+αααα=+ααα

+

+++

=

+

=++<==

+++

ΣΣ

􀁇􀁇

􀀦􀀦􀀦􀀦

m

1（m+1）!

|R|<=M

证毕。

下面我们来证明广义理查逊外推。

证明：

用步长为h的算法f（x+h）

􀁇􀁇

去逼近量f（x）

􀁇

，若f（x+h）

􀁇􀁇

和f（x）

􀁇

之间的截断误差有

3

渐近展开式：

11

1||

（）（）（）.............（0）

!

k

m

mm

kp

fxhfxDfxhppp

α

α

αα

→

→→

−

==

+−==ΣΣ+>>>>􀁇

其中􀀢

令1G（h）f（xh）

→→→

=+，则

111

1||

1

1||1||

（）（）（）（）（0）

!

（）（）（）（）（）（）（）

!

!

m

k

mkm

kk

m

p

mm

kp

mm

ppp

kpkp

GhfxDfxhohppp

GqhfxDfxqhohqDfxhoh

α

α

α

αα

αα

αα

α

αα

→

→→

−

==

→→

→→→

====

−=+>>>>

−=+=+

ΣΣ

ΣΣΣΣ

􀁇

􀀦􀀦􀀢

􀁇

􀀦􀀦􀀦􀀦

其中

11

12

11

11

2||

（）（）（）（）（）（）

11!

k

m

k

pmpp

pp

pp

kp

GqhqGhfxqqDfxhohoh

qq

α

α

αα

+

→

→→

==

−−

=++=

−−ΣΣ

􀁇􀁇􀁇

􀀦􀀦􀀦􀀦

这个过程称用1（）Gqh􀁇

和1G（h）

􀁇

作了一次外推，得到的新公式记为2G（h）

→

则

1

2

1

11

2

（）（）（）（）（）

1

p

p

p

GhGqhqGhfxoh

q

→−→

==+

−

􀁇􀁇􀁇

􀀦􀀦类似的，若假设m=j时

12

11

12

1

1||

（）（）

（）

1

（）（）（）......（）（）（）（）

（1）

（1）......

（1）!

j

j

kkkj

mj

j

k

p

jj

jp

mpppppp

pp

ppp

kjp

GqhqGh

Gh

q

fxqqqqqqDfxhohoh

qqq

α

α

αα

++

+

→

→→

=+=

−

=

−

−−−

=++=

−−−ΣΣ

􀁇􀁇

􀁇

􀁇

􀀦􀀦􀀦􀀦

，1（）jGh+

􀁇

逼近f（x）

􀁇

的截断误差阶为pj1h+􀁇

􀀦􀀦成立

则当m=j+1时

12

1

12

12

12

1

1||

||

（）（）（）（）......（）（）（）（）

（1）

（1）......

（1）!

（）（）（）......（）（）

（1）

（1）......

（1）!

kkkj

m

j

k

kkkj

k

j

mpppppp

p

jppp

kjp

pppppp

p

ppp

GqhfxqqqqqqDfxqhoh

qqq

fxqqqqqqqDfxh

qqq

α

α

α

α

α

α

α

α

+

→

→

+

=+=

→

−−−

=++

−−−

−−−

=+

−−−

ΣΣ􀁇􀁇

􀀦􀀦

􀁇

1

1

（m）

k

m

p

kjp

oh+

→

=+=

ΣΣ+􀀦􀀦

1

121

11

12

11

1||

（）（）

（1）（）（）（）....（）（）（）（）

（1）

（1）.....

（1）!

j

kkkjkj

jm

j

k

p

jj

mpppppppp

pp

ppp

kjp

GqhqGh

qfxqqqqqqqqDfxhoh

qqq

α

α

αα

+

+

++

++

→

→

=+=

−

−−−−

=−++

−−−ΣΣ

􀁇􀁇

􀁇

􀀦􀀦

4

121

11

122||

（1）（）（（）1（）

（1）....（）......

（1）（））!

（）（）

kkkjkj

jm

j

k

mpppppppp

pp

ppp

kjp

qfxqqqqqqqqDfxhoh

qqq

α

α

α

α

+

++

→

→

=+=

−−−−

=−++

−−−ΣΣ􀁇

􀀦􀀦

故

1

1

121

1

121

2

11

2

2||

（）（）

（）

1

（）（）（）......（）（）（）（）

（1）

（1）......

（1）!

（）

j

j

kkkjkj

m

j

k

j

p

jj

jp

mpppppppp

p

ppp

kjp

p

GqhqGh

Gh

q

fxqqqqqqqqDfxhoh

qqq

oh

α

α

αα

+

+

+

+

+

+

++

+

→

→

=+=

→

−

=

−

−−−−

==++

−−−

=

ΣΣ

􀁇􀁇

􀁇

􀁇

􀀦􀀦

􀀦􀀦

命题也成立。

综上，命题得证。

3.高阶导数的外推计算

这节我们给出基于广义李查逊外推算法的导数算法。

对于函数f（x），对f（x+h）进行Taylor展开，得到：

（）（）（）（）（）（）（）（）23

'23

2!

3!

fx+h=fx+fxh+hfx+hfx+􀀢􀀢+ohn………（3）

对f（x−h）进行Taylor展开，得到：

（）（）（）（）（）（）（）（）23

'23

2!

3!

fx−h=fx−fxh+hfx−hfx+􀀢􀀢+ohn………（4）

（3）+（4）,得到：

（）（）（）（）（）（）22

2[2

（2）（）]2

2!

（2）!

n

fxhfxhfxhfxhfnxohn

n

++−=++􀀢􀀢++……….（5）

（3）-（4）,得到：

（）（）（）（）（）121

2[1（21）（）]21

1!

（21）!

n

fxhfxhhfxhfnxohn

n

−

+−−=++−+−

−

􀀢􀀢………….（6）

若求解的阶数为偶数，即求解2n阶导，则对（5）式中的ｈ取ｎ个不同的值，得到：

（）（）（）（）（）22

2

（2）22（）

（）

22!

（2）!

k=1,2,3,........n

n

kkkknn

k

fxhfxhfxhfxhfxoh

n

⎧++−−

=+++⎪⎨⎪⎩

􀀢􀀢

…...（7）

略去高阶无穷小，得到线性代数方程组：

（）（）（）（）

22

2

（2）2（）

（）,

22!

（2）!

k=1,2,3,........n.

n

kkkknfxhfxhfxhfxhfx

n

⎧++−−

=++⎪⎨⎪⎩

􀀢􀀢

…………..…（8）

把f

（2）（x）、f（4）（x）……f（2n）（x）当成未知数，通过（8）即可求解出f（2n）（x）。

5

下面给出（8）的计算公式，用行列式表示为：

2462

1111

2452

2222

2462

,.............

2!

4!

6!

（2）!

,.............

2!

4!

6!

（2）!

.......................................

.......................................

,.............

2!

4!

6!

（2）!

n

n

n

nnnn

hhhh

n

hhhh

n

A

hhhh

n

⎛⎜

=

⎝

2222

2222123

123

1,1,1.............................1

,.......................

..............................................

2!

4!

6!

...

（2）!

..............................

n

n

hhhh

hhhh

n

⎞⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟=

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎠

22222222

123

2468

12322

1

...........

,.........

.....（）

2!

4!

6!

...

（2）!

nnnn

n

n

n

ij

jin

hhhh

hhhhhh

n

−−−−

<=<<=

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

=Π−

阶Vandermonde行列式

2422

11111

2422

22222

,...............,（）（）2（）

2!

4!

（2）!

2

,...............,（）（）2（）

2!

4!

（2）!

2

............................................................................

n

n

hhhfxhfxhfx

n

hhhfxhfxhfx

n

B

−

−

++−−

++−−

=

2422

.........

.....................................................................................

,...............,（）（）2（）

2!

4!

（2）!

2

n

nnnnnhhhfxhfxhfx

n

−

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎜++−−⎟⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎝⎠

2222

11k+1

4444

11k+1

22222222

111

.....,,...........

1

（1）（）（）2（）.......,,..........

2!

4!

.........（22）!

2......................................

...,.....

kn

nkkkkn

nnnn

kkn

hhhh

fxhfxhfxhhhh

n

hhhh

−

+−

−−−−

−+

⎛⎜

++−−

=−

−

⎝

1

n

k=

⎞⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎠

Σ

2222

222211k+1

1234444

211k+1

1

1,1,1............................,1

.....,,...........

1

（1）.....（）（）2（）.......,,..........

2!

4!

.........（22）!

2

...................

nkn

nknkk

kn

kk

hhhh

hhhhfxhfxhfxhhhh

nh

−

+

−

=

++−−

=−

−Σ

24242424

111

...................

n,...n,n.....n

kknh−h−h−h−

−+

⎛⎞

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎟

⎜⎜⎟⎟

⎝⎠

22

2222

1231

22222222222

11211

（2）!

（1）.....[（）（）2（）]（）

2（）（）....（）（）.....（）

nnij

nknkkjin

kkkkkkkknk

nhhhhfxhfxhfxhh

hhhhhhhhhhh

+<=<<=

=−+

++−−Π−

=−

−−−−−Σ阶Vandermonde行列式

22

2222

1231

222

1

1

（2）!

.....[（）（）2（）]（）

2（）

nij

nkkjin

kkki

in

ik

nhhhhfxhfxhfxhh

hhh

<=<<=

=

<=<=

≠

++−−Π−

=

Π−Σ

6

则

（2）（）

222

1

1

（2）!

（）（）2（）

2（）

n

nkk

kkki

in

ik

fxBnfxhfxhfx

A=hhh

<=<=

≠

++−−

≈=

Π