高维李查逊外推算法的研究和应用.docx

1、高维李查逊外推算法的研究和应用1高维李查逊外推算法的研究和应用林柏洪1 张权2 杨小远3（1，2 北京航空航天大学物理科学与核能工程学院，北京，100191）（3 北京航空航天大学数学与系统科学学院，数学、信息、行为教育部重点实验室北京，100191）摘要：本文在李查逊外推法算法的基础上，提出了广义李查逊外推法算法，在此基础上构造了高精度高阶导数的数值计算法，实验结果表明，本文提出的算法有效性。关键字 外推，Tayolor 公式，导数的数值计算中图分类号：0177.2 文献标示码:A1. 李查逊外推法的简介李查逊外推法是科学计算领域提高算法的精度重要方法，广泛应用于数值积分，有限元和偏微分方程

2、数值解等领域。下面介绍理查逊外推法定理1 李查逊(Richardson)外推法设步长为h 的算法1(h)去逼近量 ，若 和1 (h)之间的截断误差有渐近展开式：1 2 11 1 21 1( ) ( )0p p pk pkk kh Ch Ch Ch Ohp p p = + + + + = 􀀢 􀀢其中􀀢定义1( ) ( ) ( )1mmpm mm ph rh r hr + =，则1( ) m h + 逼近 的截断误差阶为hpm+1 。从以上算法中，我们可以看到，此算法局限于单变量函数的计算。那么对于多元函数而言，理查逊外推法是否一样成立，下面我

3、们将理查逊外推法推广为广义理查逊外推。2. 广义李查逊外推这节我们给出广义广义李查逊外推算法以及理论分析。首先我们给出多元函数的多元函数的Taylor 定理定理1 多元函数的Taylor 公式假设DRn 是一凸域，fCm+（1 D）。1 2 ( , ,. ) n x = x x x􀁇和1 1 2 2 ( , ,. ) n n x h x h x h x h+ = + + +􀁇是D 中两点，则必存在 （0，1），使得：0 | |( ) ( )!mmk kf x h D f x h R = =+ = + ，其中| | 1( )m !mR D f x h h= +

4、 += 􀁇 􀁇，这里1 21 21 2.1 21 2( ) ( ), .nnn nnD f x f x h h h hx x x + + = = 其中1 2 1 2 | . , ! ! !. ! n n | = + + = -基金项目：北京市精品课程建设项目资助作者简介：林柏洪，男，1989 年11 月出生，现为北京航空航天大学物理科学与核能工程学院学生。张权，男，1991 年1 月出生，现为北京航空航天大学物理科学与核能工程学院学生。杨小远，女，1964 年2 月出生，博士，北京航空航天大学数学与系统科学学院教授、博导，主要研究方向应用调和分析和图像处理。

5、2定理2（广义李查逊外推）设步长为h= (h1,h2,.hn )􀁋的算法1G(h)去逼近量f ，若f 和1G(h)之间的截断误差有渐近展开式：11 1 11 | |( ) ( ) ( ), 0! kmpm mk pG h f D f x h o h p p p = = = +􀀢= 􀀦 􀀦 其中 􀀢 （1）则定义1( ) ( ) ( )(0 1)1mmpm mm pG h G qh q G h qq += 􀁋 􀁋 􀁋， 1( ) m G h + 逼近f

6、的截断误差阶为h pm+1􀁇􀀦 􀀦 为了证明定理2，我们首先证明两引理。引理1 设k，n 是两个正整数，那么1 21 21 12. 1 2( . ) ! . ,! !. !nnkn nk nx x k x x x + + + = + = （2）1 2. n 这里 ， ， 是非负整数。证明：对加项的个数n 作归纳法，n=2 时，它是二项式定理，当然成立。现设关于k-1 时成立，那么由二项式定理以及归纳假设得：1 2 11 2 11 21 1 1 1 101 2 10 . 1 2 1. 1 2( . ) ( . ! ( . )!( )! ( )

7、! .!( )! ! !. ! !. !n nnn nn n nnkk k kn n n n nn nknn nn n k nk nx x x x x k x x xkk k x x x xkk x = + + + = + + + =+ = + + = += ）1 21 2 . n ,n x x因此k 时，（2）也成立。引理证毕。引理2 在多元函数的Taylor 定理的条件下，我们有( m 1), 0m R =o h + h 􀁇 􀁇􀀦 􀀦 􀀦 􀀦证明：由于x􀁇是D 的内

8、点，所以可以x􀁇为中心作一个闭球K，使得K D 。而当h􀁇􀀦 􀀦 充分小时，可使x+hK􀁇 􀁇。由于f 的所有m+1 阶偏微导都在K 上连续，设M 是所有偏导数的绝对值在K 上的一个上界，于是由Taylor 定理及引理1 得：1 2 11 2 1| | 1 1 2 | | 1 1 211 1 11. | | . | |! !. ! ( 1)! ! !. !(| | . | |) ( )( 1)! ( 1)! ( 1)!n nn nm n n nmm m mnh h h M h hmM h

9、 h M nh Mn hm m m = + = + + + +=+= + + = =+ + + 􀁇 􀁇􀀦 􀀦 􀀦 􀀦m1 (m+1)!|R | 􀁇其中􀀢令1G(h) f(x h) = + ，则1 1 11 | |11 | | 1 | |( ) ( ) ( ) ( )( 0)!( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )! !mkm k mk kmpm mk pm mp p pk p k pG h f x D f x h o h p p pG q

10、h f x D f x qh o h q D f x h o h = = = = = = = + = + = + 􀁇􀀦 􀀦 􀀢􀁇􀀦 􀀦 􀀦 􀀦其中1 11 21 11 12 |( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 !kmkp m p pp pp pk pG qh q G h f x q q D f x h o h o hq q + = = = + + = 􀁇 􀁇 􀁇

11、􀀦 􀀦 􀀦 􀀦这个过程称用1( ) G qh 􀁇和1G(h)􀁇作了一次外推，得到的新公式记为2G (h)则1211 12( ) ( ) ( ) ( ) ( )1pppG h G qh q G h f x o hq = = +􀁇 􀁇 􀁇􀀦 􀀦 类似的，若假设m=j 时1 21 11 211 |( ) ( )( )1( ) ( )( ).( ) ( ) ( ) ( )(1 )(1 ).(1 ) !jjk

12、 k k jm jjkpj jj pm p p p p p pp pp p pk j pG qh q G hG hqf x q q q q q q D f x h o h o hq q q + + = + = = + + = 􀁇 􀁇􀁇􀁇􀀦 􀀦 􀀦 􀀦， 1( ) j G h +􀁇逼近f (x)􀁇的截断误差阶为p j 1 h + 􀁇􀀦 􀀦 成立则当m=j+1 时1

13、211 21 21 211 | |( ) ( ) ( )( ).( ) ( )( ) ( )(1 )(1 ).(1 ) !( ) ( )( ).( ) ( )(1 )(1 ).(1 ) !k k k jmjkk k k jkjm p p p p p ppj p p pk j pp p p p p ppp p pG qh f x q q q q q q D f x qh o hq q qf x q q q q q q q D f x hq q q+= + = = + + = + 􀁇 􀁇􀀦 􀀦􀁇11( m)k

14、mpk j po h += + = + 􀀦 􀀦11 2 11 11 21 11 |( ) ( )(1 ) ( ) ( )( ).( )( ) ( ) ( )(1 )(1 ).(1 ) !jk k k j k jj mjkpj jm p p p p p p p pp pp p pk j pG qh q G hq f x q q q q q q q q D f x h o hq q q + + += + = = + + 􀁇 􀁇􀁇􀀦 􀀦41 2 11 11 2 2 |(1 )

15、 ( ) ( ()1( )(1 ).().(1 )( ) ) !( ) ( )k k k j k jj mjkm p p p p p p p pp pp p pk j pq f x q q q q q q q q D f x h o hq q q+ += + = = + + 􀁇􀀦 􀀦故111 2 111 2 121 122 | |( ) ( )( )1( ) ( )( ).( )( ) ( ) ( )(1 )(1 ).(1 ) !( )jjk k k j k jmjkjpj jj pm p p p p p p p ppp p pk j pp

16、G qh q G hG hqf x q q q q q q q q D f x h o hq q qo h + += + = = + + = 􀁇 􀁇􀁇􀁇􀀦 􀀦􀀦 􀀦命题也成立。综上，命题得证。3. 高阶导数的外推计算这节我们给出基于广义李查逊外推算法的导数算法。对于函数f ( x) ，对f (x+h)进行Taylor 展开，得到：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 32! 3!f x+h = f x + f x

17、h+h f x +h f x +􀀢􀀢+o hn (3)对f (xh)进行Taylor 展开，得到：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 32! 3!f xh = f x f x h+h f x h f x +􀀢􀀢+o hn (4)(3)+(4),得到：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 (2 ) ( ) 22! (2 )!nf x h f x h f x hf x h f n x o hnn+ + = + +􀀢􀀢+ + .(

18、5)(3)-(4),得到：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 212 1 (2 1) ( ) 2 11! (2 1)!nf x h f x h hf x h f n x o hnn+ = + + + 􀀢􀀢 .(6)若求解的阶数为偶数，即求解2n 阶导，则对（5）式中的取个不同的值，得到：( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 (2 ) 2 2 ( )( )2 2! (2 )!k=1,2,3,.nnk k k k n nkf x h f x h f x hf x h f x o hn + + = + + + 􀀢⣶

19、10;.(7)略去高阶无穷小，得到线性代数方程组：( ) ( ) ( ) ( )2 22 (2 ) 2 ( )( ),2 2! (2 )!k=1,2,3,.n.nk k k k n f x h f x h f x hf x h f xn + + = + + 􀀢􀀢.(8)把f (2) ( x)、f (4) ( x) f (2n) (x)当成未知数，通过（8）即可求解出f (2n) (x)。5下面给出（8）的计算公式，用行列式表示为：2 4 6 21 1 1 12 4 5 22 2 2 22 4 6 2, , .2! 4! 6! (2 )!, , .2! 4!

20、6! (2 )!., , .2! 4! 6! (2 )!nnnn n n nh h h hnh h h hnAh h h hn=2 2 2 22 2 2 2 1 2 31 2 31,1,1.1, , . .2!4!6!.(2 )!.nnh h h hh h h hn = 2 2 2 2 2 2 2 21 2 32 4 6 81 2 3 2 21., , . ( )2!4!6!.(2 )!n n n nnnni jj i nh h h hh h h h h hn = = = 阶Vandermonde行列式2 4 2 21 1 1 1 12 4 2 22 2 2 2 2, ,. , ( ) ( )

21、 2 ()2! 4! (2 )! 2, ,. , ( ) ( ) 2 ()2! 4! (2 )! 2.nnh h h f x h f x h f xnh h h f x h f x h f xnB+ + + + =2 4 2 2., ,. , ( ) ( ) 2 ()2! 4! (2 )! 2nn n n n n h h h fx h fx h fxn + + 2 2 2 21 1 k+14 4 4 41 1 k+12 2 2 2 2 2 2 21 1 1,. , ,.1 ( 1) ( ) ( ) 2 () . , ,.2!4!.(2 2)! 2 .,. , .k nn k k k k nn

22、n n nk k nh h h hf x h f x h f x h h h hnh h h h+ + + = 1nk = 2 2 2 22 2 2 2 1 1 k+11 2 3 4 4 4 42 1 1 k+111,1,1.,1,. , ,.1 ( 1) . ( ) ( ) 2 ( ) . , ,.2!4!.(2 2)! 2.n k nn k n k kk nk kh h h hh h h h f x h f x h f x h h h hn h+=+ + = 2 4 2 4 2 4 2 41 1 1.n ,. n , n . nk k n h h h h + 2 22 2 2 21 2 3

23、 12 22 2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 1 1(2 )! ( 1) . ( ) ( ) 2 ( ) ( )2 ( )( ).( )( ).( )n n i jn k n k k j i nk k k k k k k k n kn h h h h f x h f x h f x h hh hh h h h h h h h h+ = = + + = 阶Vandermonde行列式2 22 2 2 21 2 3 12 2211(2 )! . ( ) ( ) 2 ( ) ( )2 ( )n i jn k k j i nk k kii ni kn h h h h f x h f x h f x h hh hh= = =+ + = 6则(2 ) ( )2 2 211(2 )! ( ) ( ) 2 ()2 ( )nn k kk k k ii ni kf x B n f x h f x h f xA = h h h= =+ + =