章末复习课秋数学 必修 第四册 人教B版新教材改题型.docx

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章末复习课秋数学必修第四册人教B版新教材改题型

章末复习课

[网络构建]

[核心归纳]

1.空间几何体的结构特征

（1）棱柱：

有两个面互相平行，且该多面体的顶点都在这两个面上，其余各面都是平行四边形.

棱锥：

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形.

棱台是棱锥被平行于底面的平面所截而成的.

这三种几何体都是多面体.

（2）圆柱、圆锥、圆台、球分别是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体.在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面.

（3）由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体.

2.斜二测画法

主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法.它的主要步骤：

①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段：

平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半.

3.几何体的表面积和体积的有关计算

面积

体积

圆柱

S侧＝2πrh

V＝Sh＝πr2h

圆锥

S侧＝πrl

V＝

Sh＝

πr2h＝

πr2

圆台

S侧＝π（r1＋r2）l

V＝

（S上＋S下＋

）h＝

π（r

＋r

＋r1r2）h

直棱柱

S侧＝Ch

V＝Sh

正棱锥

S侧＝

Ch′

V＝

Sh

正棱台

S侧＝

（C＋C′）h′

V＝

（S上＋S下＋

）h

球

S球面＝4πR2

V＝

πR3

4.线线关系

空间两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种.两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况.

（1）证明线线平行的方法

①线线平行的定义；

②基本性质：

平行于同一条直线的两条直线互相平行；

③线面平行的性质定理：

a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b；

④线面垂直的性质定理：

a⊥α，b⊥α⇒a∥b；

⑤面面平行的性质定理：

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.

（2）证明线线垂直的方法

①线线垂直的定义：

两条直线所成的角是直角.在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线；

②线面垂直的性质：

a⊥α，b⊂α⇒a⊥b；

③线面垂直的性质：

a⊥α，b∥α⇒a⊥b.

5.线面关系

直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种.

（1）证明直线与平面平行的方法

①线面平行的定义；

②判定定理：

a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α；

③平面与平面平行的性质：

α∥β，a⊂α⇒a∥β.

（2）证明直线与平面垂直的方法

①线面垂直的定义；

②判定定理1：

⇒l⊥α；

③判定定理2：

a∥b，a⊥α⇒b⊥α；

④面面平行的性质定理：

α∥β，a⊥α⇒a⊥β；

⑤面面垂直的性质定理：

α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.

6.面面关系

两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种.

（1）证明面面平行的方法

①面面平行的定义；

②面面平行的判定定理：

a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，a∩b＝A⇒α∥β；

③线面垂直的性质定理：

垂直于同一条直线的两个平面平行，即a⊥α，a⊥β⇒α∥β；

④基本性质的推广：

平行于同一平面的两个平面平行，即α∥γ，β∥γ⇒α∥β.

（2）证明面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理：

a⊥β，a⊂α⇒α⊥β.

7.空间角

（1）异面直线所成的角

①定义：

设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）.

②范围：

设两异面直线所成角为θ，则0°＜θ≤90°.

（2）直线和平面所成的角

①平面的一条斜线与它在平面内的射影所成的锐角叫做这条直线与这个平面所成的角.

②当直线与平面垂直和平行（或直线在平面内）时，规定直线和平面所成的角分别为90°和0°.

（3）二面角的有关概念

①二面角：

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.

②二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

要点一　几何体的表面积与体积

（1）特殊的柱、锥、台，在计算中要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平面图形的作用，对于圆柱、圆锥、圆台，要重视旋转轴所在轴截面、底面圆的作用.割补法、构造法是常用的技巧.

（2）在处理有关体积问题时可以利用等体积变换法.

当所给三棱锥的体积套用公式某一量（面积或高）不易求出时，利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面，可以转换为底面面积和高都易求的方式来计算.

（3）补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法.由台体的定义知，在某种情况下，我们可以将台体补全成锥体来研究其体积.

（4）球与其他几何体组成的组合体通常在试题中以相切或相接的形式出现，关键在于仔细观察、分析、弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面（要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系），从而将空间问题转化成平面问题.

【例1】　求证：

过三棱锥P－ABC的棱PA，PB，BC，AC的中点M，N，T，R的截面把该三棱锥的体积二等分.

证明　法一　如图，

设PC的中点为Q，连接MQ，QN，

易知MNQ－RTC为三棱柱，且S△MNQ＝

S△ABC.

设三棱锥P－ABC的高为h，则

V多面体PCMNTR＝VP－MNQ＋VMNQ－RTC

＝

×

S△ABC·

h＋

·S△ABC·

h

＝

S△ABC·h＝

×

S△ABC·h＝

VP－ABC，

所以V多面体PCMNTR＝V多面体ABMNTR，

即过三棱锥P－ABC的棱PA，PB，BC，AC的中点M，N，T，R的截面把该三棱锥的体积二等分.

法二　如图，

以三棱锥P－ABC中的△ABC为底，PC为侧棱，

将三棱锥P－ABC补成三棱柱EFP－ABC.

延长RM，TN，分别交PE，PF于点G，Q，连接GQ，

则V多面体PCMNTR＝VPGQ－CRT－VP－MNQG，

又VPGQ－CRT＝

VEFP－ABC＝

VP－ABC，

VP－MNQG＝

VP－ABFE＝

VP－ABC，

所以V多面体PCMNTR＝

VP－ABC－

VP－ABC＝

VP－ABC，

从而得到V多面体PCMNTR＝V多面体ABMNTR，

即过三棱锥P－ABC的棱PA，PB，BC，AC的中点M，N，T，R的截面把该三棱锥的体积二等分.

【训练1】　已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S－ABC的体积为9，则球O的表面积为________.

解析　取SC的中点O，连接OA，OB，

因为SA＝AC，SB＝BC，所以OA⊥SC，OB⊥SC.

因为平面SAC⊥平面SBC，平面SAC∩平面SBC＝SC，

且OA⊂平面SAC，所以OA⊥平面SBC.

设球的半径为r，则OA＝OB＝r，SC＝2r，

所以VA－SBC＝

×S△SBC×OA

＝

×

×2r×r×r＝

r3，

所以

r3＝9，所以r＝3，

所以球的表面积为4πr2＝36π.

答案　36π

要点二　空间中的平行关系

空间中的平行关系主要是指空间中线与线、线与面及面与面的平行，其中三种关系相互渗透.在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，要遵循规律而不局限于规律.如下图所示是平行关系相互转化的示意图.

【例2】　如图

所示，四边形ABCD是平行四边形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC∥平面PMD？

若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由.

解　当点F是PB的中点时，

平面AFC∥平面PMD，理由如下：

如图连接AC和BD交于点O，连接FO，则PF＝

PB.

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴O是BD的中点.∴OF∥PD.

又OF⊄平面PMD，PD⊂平面PMD，

∴OF∥平面PMD.又MA綉

PB，

∴PF綉MA.∴四边形AFPM是平行四边形.

∴AF∥PM.又AF⊄平面PMD，PM⊂平面PMD.

∴AF∥平面PMD.

又AF∩OF＝F，AF⊂平面AFC，OF⊂平面AFC.

∴平面AFC∥平面PMD.

故当点F是PB的中点时，平面AFC∥平面PMD.

【训练2】　如图，

△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：

平面DMN∥平面ABC.

证明　∵M，N分别是EA与EC的中点，∴MN∥AC，

又∵AC⊂平面ABC，MN⊄平面ABC，∴MN∥平面ABC，

∵DB⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，∴BD∥EC.

∵N为EC中点，EC＝2BD，∴NC綉BD，

∴四边形BCND为矩形，∴DN∥BC，

又∵DN⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，

∴DN∥平面ABC，又∵MN∩DN＝N，MN，DN⊂平面DMN，

∴平面DMN∥平面ABC.

要点三　空间中的垂直关系

其转化关系如下：

空间垂直关系的判定方法：

（1）判定线线垂直的方法：

①计算所成的角为90°；

②由线面垂直的性质（若a⊥α，b⊂α，则a⊥b）.

（2）判定线面垂直的方法：

①线面垂直定义（一般不易验证任意性）；

②线面垂直的判定定理（a⊥b，a⊥c，b⊂α，c⊂α，b∩c＝M⇒a⊥α）；

③平行线垂直平面的传递性质（a∥b，b⊥α⇒a⊥α）；

④面面垂直的性质（α⊥β，α∩β＝l，a⊂β，a⊥l⇒a⊥α）；

⑤面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；

⑥面面垂直的性质（α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ⇒l⊥γ）.

（3）面面垂直的判定方法：

①根据定义；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）.

【例3】　如图，

在△ABC中，AC＝BC＝

AB，四边形ABED是边长为a的正方形，平面ABED⊥平面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点.

（1）求证：

GF∥平面ABC；

（2）求证：

平面EBC⊥平面ACD；

（3）求几何体ADEBC的体积V.

（1）证明　如图，

取BE的中点H，连接HF，GH.

因为G，F分别是EC和BD的中点，

所以HG∥BC，HF∥DE.

又因为四边形ADEB为正方形，

所以DE∥AB，从而HF∥AB.

又因为HF⊄平面ABC，HG⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，

所以HF∥平面ABC，HG∥平面ABC.

又因为GH∩HF＝H，GH，HF⊂平面HGF，

所以平面HGF∥平面ABC.

又GF⊂平面HGF，所以GF∥平面ABC.

（2）证明　因为四边形ADEB为正方形，所以EB⊥AB.

又因为平面ABED⊥平面ABC，

平面ABED∩平面ABC＝AB，EB⊂平面ABED，

所以BE⊥平面ABC.又AC⊂平面ABC，所以BE⊥AC.

又因为CA2＋CB2＝AB2，所以AC⊥BC.

又因为BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCE，

所以AC⊥平面BCE.

又因为AC⊂平面ACD，

从而平面EBC⊥平面ACD.

（3）解　取AB的中点N，连接CN，因为AC＝BC，

所以CN⊥AB，且CN＝

AB＝

a.

又平面ABED⊥平面ABC，

平面ABED∩平面ABC＝AB，CN⊂平面ABC，

所以CN⊥平面ABED.

因为C－ABED是四棱锥，

所以VC－ABED＝

SABED·CN＝

a2·

a＝

a3.

即几何体ADEBC的体积V＝

a3.

【训练3】　如图所示，

在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.

证明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

证明　

（1）在四棱锥P－ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.

而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由

（1），知AE⊥CD，又PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD.

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.

又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.

又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.

要点四　空间角

1.求异面直线所成的角常用平移转化法（转化为相交直线的夹角）.

2.求直线与平面所成的角常用射影转化法（即作垂线、找射影）.

3.二面角的平面角的作法常有三种：

（1）定义法；

（2）垂线法；（3）垂面法.

【例4】　如图，

在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点.

（1）求PB和平面PAD所成的角的大小；

（2）证明：

AE⊥平面PCD；

（3）求二面角A－PD－C的正弦值；

（1）解　在四棱锥P－ABCD中，

因为PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，

故PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，

从而AB⊥平面PAD，

故PB在平面PAD内的射影为PA，

从而∠APB为PB和平面PAD所成的角.

在Rt△PAB中，AB＝PA，故∠APB＝45°.

所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.

（2）证明　在四棱锥P－ABCD中，

因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

故CD⊥PA.由条件CD⊥AC，又PA∩AC＝A，

所以CD⊥平面PAC.

又AE⊂平面PAC，所以AE⊥CD.

由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.

又PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.

（3）解　过点E作EM⊥PD，垂足为M，连接AM，如图所示.

由

（2）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，

则可证得AM⊥PD.

因此∠AME是二面角A－PD－C的平面角.

由已知，可得∠CAD＝30°.

设AC＝a，可得PA＝a，AD＝

a，

PD＝

a，AE＝

a.

在Rt△ADP中，∵AM⊥PD，

∴AM·PD＝PA·AD，

则AM＝

＝

＝

a.

在Rt△AEM中，sin∠AME＝

＝

.

所以二面角A－PD－C的正弦值为

.

【训练4】　如图，正方体的棱长为1，B′C∩BC′＝O，求：

（1）AO与A′C′所成角的度数；

（2）AO与平面ABCD所成角的正切值；

（3）平面AOB与平面AOC所成角的度数.

解　

（1）∵A′C′∥AC，

∴AO与A′C′所成的角就是∠OAC.

连接AB′，则AB′＝AC.

∵O为B′C的中点，∴OC⊥OA.

在Rt△AOC中，OC＝

，AC＝

，

sin∠OAC＝

＝

，∴∠OAC＝30°，

即AO与A′C′所成角的度数为30°.

（2）如图，

作OE⊥BC于E，连接AE.

∵平面BC′⊥平面ABCD，

平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE⊂平面BC′，

∴OE⊥平面ABCD，

∴∠OAE为OA与平面ABCD所成的角.

在Rt△OAE中，OE＝

，AE＝

＝

，

∴tan∠OAE＝

＝

，

即AO与平面ABCD所成角的正切值为

.

（3）由

（1）知OC⊥OA，OC⊥OB，又OA∩OB＝O，

∴OC⊥平面AOB.

又∵OC⊂平面AOC，∴平面AOB⊥平面AOC.

即平面AOB与平面AOC所成角的度数为90°.