湖北省武汉市江岸区学年高二下学期期末理科数学试题.docx

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湖北省武汉市江岸区学年高二下学期期末理科数学试题

湖北省武汉市江岸区2020-2021学年高二下学期期末理科数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．若复数z满足3+3i，则|z|=（）

A．3B．3C．2D．

2．“”是“一元二次方程”有实数解的

A．充分非必要条件B．充分必要条件

C．必要非充分条件D．非充分必要条件

3．已知命题：

，；命题：

，.下列命题为真命题的是（）

A．B．

C．D．

4．平面几何中，有边长为的正三角形内任一点到三边距离之和为定值，类比上述命题，棱长为的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（）

A．B．C．D．

5．已知函数有极值，则实数的取值范围是（）

A．B．

C．D．

6．过椭圆的左焦点的直线过的上端点，且与椭圆相交于点，若，则的离心率为（）

A．B．C．D．

7．如果点M（x，y）在运动过程中，总满足关系式4，点M的轨迹是（）

A．双曲线的右支B．椭圆

C．双曲线的上支D．射线

8．已知双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2，左焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为（）

A．1B．1

C．1D．1

9．已知点P在曲线y上，a为曲线在点P处切线的倾斜角，则a的取值范围（）

A．（0，]B．[，）C．（，]D．[，π）

10．已知，，，则下列选项正确的是（）

A．B．C．D．

11．已知抛物线x2=﹣8y的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点K（0，2），则的最小值是（）

A．2B．C．D．

12．设a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣1）﹣ax2，给出以下结论：

（1）f（x）存在唯一零点与a的取值无关；

（2）若a=e﹣2，则f（x）存在唯一零点；（3）若a＜e﹣2，则f（x）存在两个零点.其中正确的个数是（）

A．3B．2C．1D．0

二、填空题

13．已知方程1表示双曲线，则m的取值范围为_____.

14．已知，则_____.

15．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若x，则x+y+z=_____.

16．设函数f（x）在R上存在导数f'（x），当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜x.且对任意x∈R，有f（x）=x2﹣f（﹣x），若f（1﹣t）﹣f（t）t，则实数t的取值范围是_____.

三、解答题

17．已知,设命题函数在R上单调递减，不等式的解集为R,若和中有且只有一个命题为真命题，求的取值范围.

18．已知函数f（x）=lnx，其中a＞0.曲线y=f（x）在点（1，f

（1））处的切线与直线y=x+1垂直.

（1）求函数f（x）的单调区间；

（2）求函数f（x）在区间[1，e]上的极值和最值.

19．已知抛物线C：

x2=2py（p＞0）的焦点为F.过F的直线与抛物线C交于A、B，与抛物线C的准线交于M.

（1）若|AF|=|FM|=4，求常数p的值；

（2）设抛物线C在点A、B处的切线相交于N，求动点N的轨迹方程.

20．已知边长为4的正三角形ABC的边AB、AC上分别有两点D、E，DE//BC且DE=3，现将△ABC沿DE折成直二面角A﹣DE﹣B，在空间中取一点F使得ADBF为平行四边形，连接AC、FC得六面体ABCEDF，G是BC边上动点.

（1）若EG//平面ACF，求CG的长；

（2）若G为BC中点，求二面角G﹣AE﹣D的平面角的余弦值.

21．已知抛物线C：

y2=4x与椭圆E：

1（a＞b＞0）有一个公共焦点F.设抛物线C与椭圆E在第一象限的交点为M.满足|MF|.

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过点P（1，）的直线交抛物线C于A、B两点，直线PO交椭圆E于另一点Q.若P为AB的中点，求△QAB的面积.

22．已知函数在内有两个极值点x1，x2（x1＜x2），其中a为常数.

（1）求实数a的取值范围；

（2）求证：

x1+x2＞2.

参考答案

1．A

【分析】

若,则,代入求解即可.

【详解】

∵3+3i,所以

∴|z|,

故选:

A

【点睛】

本题考查复数的模,属于基础题.

2．A

【解析】

试题分析：

方程有解，则．是的充分不必要条件．故A正确．

考点：

充分必要条件

3．A

【分析】

先判定命题p、q的真假，再结合复合命题的判断方法进行判断．

【详解】

命题p：

设，，

当时，，所以为单调递减函数；

当时，，所以为单调递增函数；

所以，即，，故命题p正确．

命题q：

设，

当时，，所以为单调递增函数；

当时，，所以为单调递减函数，

所以，即当x=1时，

故命题：

，，正确，故选A

【点睛】

本题考查命题真假的判断，难点在于构造新函数，结合导数进行判断，考查分析推理，计算化简的能力，属中档题．

4．B

【详解】

根据题意，画出图象，如图，

由棱长为可以得到，，

在直角三角形中，根据勾股定理可以得到，

把数据代入得到，

所以棱长为的三棱锥内任一点到各个面的距离之和为；

5．C

【解析】

【分析】

求出函数的导数，由题意得导数在R上有两个不相等的零点，即可求出实数a的取值范围．

【详解】

∵f（x）＝x3-ax2+（a+6）x，

∴f′（x）＝3x2-2ax+a+6，

∵函数在R上存在极值，

∴函数在R上不是单调函数

∴f′（x）＝3x2-2ax+a+6，有两个不等的根，

即△＝4a2﹣12a﹣72＞0，

解得a＜﹣3，或a＞6，

故选：

C．

【点睛】

本题考查了利用导数研究三次多项式函数的单调性，从而求参数a的取值范围，属于中档题，解题时应该注意导函数等于0的等根的情形，以免出现只一个零点的误解．

6．D

【分析】

首先设出点的坐标，然后利用点在椭圆上即可求得椭圆的离心率.

【详解】

由题意可得，由

得，

点A在椭圆上，则：

，

整理可得：

.

故选D.

【点睛】

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法：

①求出a，c，代入公式；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）．

7．C

【分析】

对关系式进行配方处理,即为,由两点间距离公式可知其表示点M（x,y）与定点（0,﹣3）,（0,3）的距离的差为4,进而根据双曲线的定义即可判断.

【详解】

4,

即4,表示点M（x,y）与定点（0,﹣3）,（0,3）的距离的差为4,

∵4＜6,

∴点M（x,y）的轨迹是以（0,±3）为焦点,实轴长为4的双曲线的上支,

故选:

C

【点睛】

本题考查动点的轨迹,考查双曲线的定义的应用,解题时需注意轨迹为双曲线的一支还是全部.

8．A

【分析】

由焦点到渐近线的距离可得,再由离心率可得,进而根据可求得,即可求解.

【详解】

双曲线1（a＞0,b＞0）的渐近线方程为ay=±bx,由C的焦点（c,0）到其渐近线bx+ay=0的距离是2,

可得b=2,

由双曲线1（a＞0，b＞0）的离心率为2,

所以e2,又c2=a2+b2,

解得a=2,c=4,

则双曲线的方程为1,

故选:

A

【点睛】

本题考查求双曲线的标准方程,属于基础题.

9．A

【分析】

由切线斜率为切点处的导函数,先求导可得,设t=ex＞0,则,设f（t）,即可求得的范围,则可得的范围,由,进而求得的范围.

【详解】

由题意得,

令t=ex＞0,所以导函数为:

①,

令f（t）,t＞0,已知该函数在（0,1）上递减,在（1,+∞）上递增,

∴f（x）min=f

（1）=4,且x→0或x→+∞时,f（x）→+∞,

所以①式中∈（0,1],设直线的倾斜角为a,

故0＜tana≤1=tan,结合a∈[0,π）,且y=tanx在[0,）递增,

所以,

故选:

A

【点睛】

本题考查利用导函数求切线的倾斜角的范围,考查运算能力.

10．D

【分析】

由，，，则a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．设f（x），则f′（x），根据对数的运算性质，导数和函数的单调性，即可比较．

【详解】

，，，

∵6π＞0，

∴a，b，c的大小比较可以转化为的大小比较．

设f（x），

则f′（x），

当x＝e时，f′（x）＝0，当x＞e时，f′（x）＞0，当0＜x＜e时，f′（x）＜0

∴f（x）在（e，+∞）上，f（x）单调递减，

∵e＜3＜π＜4

∴，

∴b＞c＞a，

故选D．

【点睛】

本题考查了不等式的大小比较，导数和函数的单调性，属于难题．

11．C

【分析】

利用抛物线的定义,过抛物线上点P作直线的垂线PN,垂足为N,则|PF|=|PN|,设过点的直线的倾斜角为,则,当该直线与抛物线相切时可得最小值,联立,令,进而求解.

【详解】

如图,

抛物线x2=﹣8y的焦点为F（0,﹣2）,准线方程为y=2,

过抛物线上点P作直线的垂线PN,垂足为N,则|PF|=|PN|,

∴,

设过K与抛物线相切的直线方程为y=kx+2,

联立,得x2+8kx+16=0,

由＝64k2﹣64=0,解得k=±1,

∴直线的倾斜角为45°或135°,则sin45°,

故选:

C

【点睛】

本题考查抛物线的定义的应用,考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查转化思想.

12．C

【分析】

令,则,转化的零点个数为与的交点个数,利用导函数判断的单调性,进而求解即可.

【详解】

由题,令f（x）=0,即,令（x＞0）,

则,当x∈（0,e2）时,,当x∈（e2,+∞）时,,

∴g（x）在（0,e2）单调递增,在（e2,+∞）单调递减,

∴,

当时,；当时,,

∴当时,有一个零点；当时,没有零点；当时,有两个零点；当时,有一个零点.

所以只有

（2）正确,

故选:

C

【点睛】

本题考查利用导函数判断函数的零点个数,考查分类讨论思想和转化思想.

13．（﹣∞，﹣3）∪（5，+∞）

【分析】

由双曲线的标准方程可得（5﹣m）（m+3）＜0,进而求解即可.

【详解】

方程1表示双曲线,则（5﹣m）（m+3）＜0,解得m＜﹣3或m＞5,

故答案为:

（﹣∞,﹣3）（5,+∞）.

【点睛】

本题考查由双曲线的标准方程求参数范围,属于基础题.

14．2020

【分析】

先求导可得,代入求得,再将代入导函数解析式求解即可.

【详解】

因为,

所以,

所以,解得,

所以,

故答案为:

2020

【点睛】

本题考查利用求导公式求值,属于基础题.

15．

【分析】

由D是SC的中点可得,整理可得,由空间向量基本定理可得,即可求解.

【详解】

如图,根据条件:

又,

∴由空间向量基本定理得,

故答案为:

【点睛】

本题考查空间向量基本定理的应用,考查平面向量基本定理的应用.

16．[，+∞）

【分析】

构造函数,可得,即是奇函数,由时,可得,进而根据奇函数及可知在R上是减函数,再根据可得,则,即可求解.

【详解】

令,

因为,则,

所以,

所以是奇函数,易知,所以,

因为当时,,所以,

所以在上单调递减,所以在R上是减函数,

所以,

因为,所以,即,

所以,即,

所以,

故答案为:

【点睛】

本题考查构造函数法利用导函数判断函数单调性,考查利用函数单调性比较大小,考查函数的奇偶性的应用.

17．或.

【分析】

先通过指数函数的单调性求出为真命题的的范围,再通过构造函数求绝对值函数的