类比化归思想.docx
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类比化归思想
化归与类比的数学思想解题举例
（一）
把一个陌生的问题、复杂的数学问题化成熟知的、简单的数学问题，从而使问题得到解决，这就是化归与类比的数学思想，化归与转化思想有着广泛的应用。
实现转化的关键是要构造转化的方法。
下面介绍一些常用的转化方法，及化归与类比思想解题的应用。
一、新授
（一）正与反的转化：
有些数学问题，如果直接从正面入手求解难度较大，致使思想受阻，我们可以从反面着手去解决。
如函数与反函数的有关问题，对立事件的概率、间接法求解排列组合问题、举不胜举。
例1：
某射手射击1次击中目标的概率是0.9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的，则他至少击中目标1次的概率为——
分析：
至少击中目标一次的情况包括1次、2次、3次、4次击中目标共四种情况，可转化为其对立事件：
一次都未中，来求解
4
（略解：
）他四次射击未中1次的概率P1=C40.14=0.14
•••他至少射击击中目标1次的概率为1—Pi=1-0.14=0.9999
例3:
求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=n（x—3）垂直
平分.
（分析）：
直接求解较为困难，事实上，问题可以转化为：
在曲线y=x存在
关于直线y=m（x—3）对称的两点，求m的范围
22
（略解）：
抛物线y=x2上存在两点（Xi,x1）和（乂2,x2）关于直线
y=m（x—3）对称，则广乞上m（x^^23）
22
22A
X!
x21
「X!
x2m
x；x；x26）
即Q1消去X2得
%x2—
Lm
221
2xix16m10
mm
•••存在（X1，X12）,（X2,xj）•••上述方程有解
12m2m21
2>0
m
•（2m1）（6m22m1）V0
1
从而m<-
2
例1设等比数列｛an｝的公比为q,前n项和为S,若S+i、S、S+2成等差
数列，贝Uq=.
【分析】由于该题为填空题，我们不防用特殊情况来求q的值•如：
S、S、
S3成等差，求q的值.这样就避免了一般性的复杂运算
略解：
2
S?
a〔a〔q，S3a〔qq
VS2S32S1
2a12a1qa1q2a1（a1^0）
--q=—2或q=0（舍去）
/43、
例2:
已知平面上的直线I的方向向量e（—厂），点（0，0）和A（1,
5'5
—2）在I上的射影分别为0和A，若OAe则入为（）
11
A.11B
5
11
11C.2D2
5
略解：
设
值。
A（x.y）则
可得A（8,6）
55
~^（
3
yx
4
oa~e即（8,-）（-J3）
5533
例3:
设三棱柱ABC-ABC的体积为V,P、Q分别是侧棱AA、CG上的点,
且PA=QC则四棱锥B-PAQG勺体积为：
1111
A.、B.-VC.1VD.3
6432
【分析】P、Q运动四棱锥B-PAQC是变化的，但从选项来看其体积是不变的，所以可以转化为特殊情况来解决
【略解】取P与A重合，Q与C重合的特殊情况
（3）
主与次的转化
常可以简化问题的解决，先看下面两题。
例1:
x2ax2<0对x[1,1]上恒成立，求实数a的取值范围•
例2:
对任何a[1,1]函数f（x）x2（a4）x42a的值总大于0,则实
数x的取值范围是：
对于例1：
令f（x）x2ax2则从图像知
f
（1）<0
—Ka<1
f
（1）<0
对于例2:
我们也可以转化为例1的形式
只需视f（x）为关于a的函数，问题就可以转化为例1的情况：
令g（x）（x2）a（x2）2（x2）为关于a的一次函数，
由图像知g
（1）>0或xv1或x>3
Y
勺⑴>0
例3:
设y的实数，4y24xyx50则x的取值范围是：
【分析】把4y24xyx50看作是关于y的二次方程，则利用0求解x的范围。
【略解】：
把4y24xyx50看作是关于y的二次方程，因为y的实数，所以方程有解。
•••△=（4x）242（x6）>0
/•{x|x<-2或x>3}
例4:
关于x的二次方程x22x3m0在（0,）上有两个不等的实根，求m的范围。
【分析】：
将方程写成mx22x3，并且用函数的观点认识，则m就成
了x的二次函数，m的取值范围就是在定义域（0,）上，函数值的范围。
【略解】将方程转化为mx22x3作出图像如图m[3,4）上和每一个m都有不同的两个不同的X1，X2与之对应。
/.m[3,4）
（四）数学各分支之间的转化
数学各分支间的转化是一种重要策略，应用十分广泛，比如用向量解立体几何，用解析几何处理平面几何、代数、三角及立体几何中的位置问题，求角与距离转化为平面几何中求角与距离等。
例1在四面体ABCD内部有一点0,使得直线AQBQCQDC与四面体的
面BCD,CDADAB,ABC分别交于A、Bi、C、D四点，且满足
AQBQ
AQB1Q
CQDQK,求K可能的取值。
C1QD1Q
【分析】
立体几何中的四面体，可以与平面几何中的三角形类比，四面体的
面可以与三角形的边类比，于是命题可以从“△ABC内部有一点Q,使得直线A0
BQC0与三角形的三边BCCAAB交于点A、Bi、Ci,且满足竺-B°-C°K
A1QB1QC1Q
求K的可能取值”的推理过程探求思考途径，在平面几何中
据上述思路的启发，在空间四面体中，可转化为体积关系来推理
CCiVCABDK1DD1VDABCK
VOBCDVOCDAVOABDVOABC4“
VABCDK1
（五）陌生与熟悉的转化
7个名额分配给5个班，每班至少
例1：
学校将召开学生代表大会，高三有
有一个名额，问名额分配方法有多少种？
4
解：
（插板法）：
C6=15
例2:
方程的正整数解的组数为多少
4
解：
7个“1”之间插四个板C6=15
二、练习：
1•已知下列三个方程：
x24ax4a30,x2（a1）xa20,x22ax2a0至少有一个方程
有实根，求实数a的取值范围。
3
{a|a>-1或a<}
2
o1*■
2.过抛物线y=4x的焦点的直线交抛物线A、B两点，0为坐标原点，则OAOB的值为：
A.12B.-12C.3D.-3
3.对于满足|P|<2的所有实数P,求使不等式
x2px1>2x+p恒成立的x的取值范围
{x|xv—1或x<—3}
4•在平面中，三角形具有性质：
三角形的中线平分三角形的面积，试将该
性质推广到空间，写出相应的一个真命题（过三棱锥的顶点及底面
的中线的截面平分三棱锥的体积）
三、小结：
我们学习了化归与转化思想，正与反的转化从集合的角度来看就是“补集”的思想一般与特殊的转化只限选择题，填空题中使用，在大题中可有管种方法来探究解题的突破口，寻求解题的方法。
数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现。
将陌生变为熟悉，是解每一道题的一般过程。
主与次的转化的方法，是如何看待一个等式（或不等式）中的两个元素的地
位，只要需要，就可以把其中任何一个元素看作“主”要元素来解题。
解决，类比与转化的类型很多,
归纳如下:
类比与转化思想在教学中应用非常普遍，我们在解每一道题时，实际上都在
高次问题低次问题
多元问题一元问题
超越运算代数运算
无限问题
■＞有限问题
空间问题平面问题问题问题
几何问题代数问题
四、作业：
1•在由数字0,1,2,3,4，5组成的没有重复数字的四位数中，不能被5整除的数共有o
2.3•设不等式2x-1＞m（x2-1）对满足冋＜2的一切实数m都成立，求实数x的取值范围。
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