高中数学人教A版必修四模块综合测评含答案解析.docx

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高中数学人教A版必修四模块综合测评含答案解析

人教A版必修四模块综合测评

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设向量a＝（2，4）与向量b＝（x，6）共线，则实数x＝（　　）

A．2　　　　　　　B．3

C．4D．6

2．如果一扇形的弧长为2πcm，半径等于2cm，则扇形所对圆心角为（　　）

A．2πB．π

C．D．

3．设α是第二象限的角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα＝，则tanα＝（　　）

A．B．

C．－D．－

4．已知＝2＋，则tan等于（　　）

A．2＋B．1

C．2－D．

5．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，－2），＝（2，1），则·＝（　　）

A．5B．4

C．3D．2

6已知cos＝m，则cosx＋cos＝（　　）

A．2mB．±2m

C．mD．±m

7．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且（a－b）⊥（3a＋2b），则a与b的夹角为（　　）

A．B．

C．D．π

8．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）

A．y＝f（x）是奇函数

B．y＝f（x）的周期为π

C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称

D．y＝f（x）的图象关于点对称

9．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于（　　）

A．B．

C．D．

10．已知A、B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，则A＋B＝（　　）

A．πB．

C．D．－

11．曲线y＝Asinωx＋a（A>0，ω>0）在区间上截直线y＝2及y＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A，a的描述正确的是（　　）

A．a＝，A>B．a＝，A≤

C．a＝1，A≥1D．a＝1，A≤1

12．已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于（　　）

A．13B．15

C．19D．21

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13．已知ω>0，0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.

14．已知向量a＝（1，2），b＝（x，－1），若向量a与b夹角为钝角，则x的取值范围为________．

15．函数y＝sin＋sin2x的最小正周期是________．

16．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中，i，j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试分别确定实数m的值使，

（1）A、B、C三点共线；

（2）⊥.

【解】　

（1）利用＝λ可得i－2j＝λ（i＋mj），

于是

得m＝－2.

（2）由⊥得·＝0，

∴（i－2j）·（i＋mj）＝i2＋mi·j－2i·j－2mj2＝0，

∴1－2m＝0，解得m＝.

18．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝.

（1）求f（x）的定义域；

（2）设α是第四象限的角，且tanα＝－，求f（α）的值．

【解】　

（1）由cosx≠0，得x≠kπ＋，k∈Z.

故f（x）的定义域为.

（2）tanα＝－，且α是第四象限的角，

所以sinα＝－，cosα＝.

故f（α）＝

＝

＝

＝

＝2（cosα－sinα）＝.

19．（本小题满分12分）（2015·北京高考）已知函数f（x）＝sincos－sin2.

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间[－π，0]上的最小值．

【解】　

（1）由题意得f（x）＝sinx－（1－cosx）＝sin－，所以f（x）的最小正周期为2π.

（2）因为－π≤x≤0，所以－≤x＋≤.

当x＋＝－，即x＝－时，f（x）取得最小值．

所以f（x）在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.

20．（本小题满分12分）（2015·广东高考）在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝（sinx，cosx），x∈.

（1）若m⊥n，求tanx的值；

（2）若m与n的夹角为，求x的值．

【解】　

（1）若m⊥n，则m·n＝0.

由向量数量积的坐标公式得sinx－cosx＝0，

∴tanx＝1.

（2）∵m与n的夹角为，

∴m·n＝|m|·|n|cos，

即sinx－cosx＝，∴sin＝.

又∵x∈，∴x－∈，

∴x－＝，即x＝.

21．（本小题满分12分）已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.

（1）求ω和φ的值；

（2）若f＝，求cos的值．　

【解】　

（1）因f（x）的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f（x）的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.

又因f（x）的图象关于直线x＝对称，

所以2·＋φ＝kπ＋，k＝0，±1，±2，….

因－≤φ<得k＝0，

所以φ＝－＝－.

（2）由

（1）得f

＝sin＝，

所以sin＝.

由<α<得0<α－<，

所以cos

＝

＝

＝.

因此cos＝sinα

＝sin

＝sincos＋cossin

＝×＋×

＝.

22．（本小题满分12分）已知向量a＝（m，cos2x），b＝（sin2x，n），函数f（x）＝a·b，且y＝f（x）的图象过点和点.

（1）求m，n的值；

（2）将y＝f（x）的图象向左平移φ（0<φ<π）个单位后得到函数y＝g（x）的图象．若y＝g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y＝g（x）的单调增区间．

【解】　

（1）已知f（x）＝a·b＝msin2x＋ncos2x，

因为f（x）过点，，

所以f＝msin＋ncos＝，

f＝msin＋ncos＝－2，

所以

解得

（2）f（x）＝sin2x＋cos2x

＝2sin，

f（x）左移φ个单位后得到

g（x）＝2sin，

设g（x）的图象上到点（0，3）的距离为1的最高点为（x0，2），

因为d＝＝1，解得x0＝0，

所以g（0）＝2，解得φ＝，

所以g（x）＝2sin

＝2sin＝2cos2x，

令－π＋2kπ≤2x≤2kπ，k∈Z，

－＋kπ≤x≤kπ，k∈Z，

所以g（x）的单调增区间为，k∈Z.

人教A版必修四模块综合测评

（时间120分钟，满分150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设向量a＝（2，4）与向量b＝（x，6）共线，则实数x＝（　　）

A．2　　　　　　　B．3

C．4D．6

【解析】　∵a∥b，∴2×6－4x＝0，解得x＝3.

【答案】　B

2．如果一扇形的弧长为2πcm，半径等于2cm，则扇形所对圆心角为（　　）

A．2πB．π

C．D．

【解析】　θ＝＝＝π.

【答案】　B

3．设α是第二象限的角，P（x，4）为其终边上的一点，且cosα＝，则tanα＝（　　）

A．B．

C．－D．－

【解析】　∵点P（x，4）在角α终边上，则有

cosα＝＝.

又x≠0，∴＝5，

∴x＝3或－3.

又α是第二象限角，∴x＝－3，

∴tanα＝＝＝－.

【答案】　D

4．已知＝2＋，则tan等于（　　）

A．2＋B．1

C．2－D．

【解析】　∵＝2＋，

∴tan＝＝

＝2－.

【答案】　C

5．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，＝（1，－2），＝（2，1），则·＝（　　）

A．5B．4

C．3D．2

【解析】　由四边形ABCD为平行四边形，

知＝＋＝（3，－1），

故·＝（2，1）·（3，－1）＝5.

【答案】　A

6已知cos＝m，则cosx＋cos＝（　　）

A．2mB．±2m

C．mD．±m

【解析】　∵cos＝m，

∴cosx＋cos

＝cosx＋cosx＋sinx

＝sin

＝cos

＝cos＝m.

【答案】　C

8．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且（a－b）⊥（3a＋2b），则a与b的夹角为（　　）

A．B．

C．D．π

【解析】　由（a－b）⊥（3a＋2b）得（a－b）·（3a＋2b）＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又∵|a|＝|b|，设〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cosθ－2|b|2＝0，∴|b|2－|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝.又∵0≤θ≤π，∴θ＝.

【答案】　A

8．将函数y＝sinx的图象向左平移个单位，得到函数y＝f（x）的图象，则下列说法正确的是（　　）

A．y＝f（x）是奇函数

B．y＝f（x）的周期为π

C．y＝f（x）的图象关于直线x＝对称

D．y＝f（x）的图象关于点对称

【解析】　由题意得y＝f（x）＝sin＝cosx，

显然A，B，C均错误，只有D正确．

【答案】　D

9．若α∈，且sin2α＋cos2α＝，则tanα的值等于（　　）

A．B．

C．D．

【解析】　因为sin2α＋cos2α＝，

所以sin2α＋cos2α－sin2α＝cos2α＝，

又0<α<，

所以cosα＝，则有α＝，

所以tanα＝tan＝.

【答案】　D

10．已知A、B均为钝角，且sinA＝，sinB＝，则A＋B＝（　　）

A．πB．

C．D．－

【解析】　∵A、B均为钝角，且sinA＝，sinB＝.

∴cosA＝－，cosB＝－，

tanA＝－，tanB＝－.

∵

∴tan（A＋B）＝

＝＝－1.

∴A＋B＝π.

【答案】　A

11．曲线y＝Asinωx＋a（A>0，ω>0）在区间上截直线y＝2及y＝－1所得的弦长相等且不为0，则下列对A，a的描述正确的是（　　）

A．a＝，A>B．a＝，A≤

C．a＝1，A≥1D．a＝1，A≤1

【解析】　由题意可知：

a＝＝，

A＝>＝，故选A．

【答案】　A

12．已知⊥，||＝，||＝t.若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于（　　）

A．13B．15

C．19D．21

【解析】　∵⊥，故可以A为原点，AB，AC所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，不妨设B，C（t，0），

则＝＋＝（4，1），故点P的坐标为（4，1）.·＝·（t－4，－1）＝－4t－＋17＝－＋17≤－2＋17＝13.

当且仅当4t＝，即t＝时（负值舍去）取得最大值13.

【答案】　A

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上）

13．已知ω>0，0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象的两条相邻的对称轴，则φ＝________.

【解析】　由题意知T＝2×＝2π，

∴ω＝＝1，

∴f（x）＝sin（x＋φ）．

∵0<φ<π，∴<＋φ<π.

又x＝是f（x）＝sin（x＋φ）图象的对称轴，

∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，

∴φ＝＋kπ，∵0<φ<π，

∴φ＝.

【答案】　

14．已知向量a＝（1，2），b＝（x，－1），若向量a与b夹角为钝角，则x的取值范围为________．

【解析】　当a∥b时有1×（－1）－2x＝0，即x＝－，此时b＝－a即a与b反向，

若向量a与b夹角为钝角，则有：

⇒

∴x<2且x≠－.

【答案】　∪

15．函数y＝sin＋sin2x的最小正周期是________．

【解析】　法一：

y＝sin＋sin2x

＝2sincos

＝cos，

∴T＝＝π.

法二：

y＝sincos2x－cossin2x＋sin2x

＝cos2x＋sin2x＝cos.

所以其最小正周期为T＝＝π.

【答案】　π

16．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________．

【解析】　取，为一组基底，则＝－＝－，

＝＋＋＝－＋＋＝－＋，

∴·＝·

＝||2－·＋||2

＝×4－×2×1×＋

＝.

【答案】