《图形的相似》单元同步测试.docx
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《图形的相似》单元同步测试
《第24章图形的相似》2010年单元同步测试
《第24章图形的相似》2010年单元同步测试
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．
对应边都成比例的多边形相似
B．
对应角都相等的多边形相似
C．
边数相同的正多边形相似
D．
矩形都相似
2．（3分）如图所示，△ABC∽△ACD的条件是（ ）
A．
B．
C．
CD2=AD•DB
D．
AC2=AD•AB
3．（3分）如果
，那么
等于（ ）
A．
3：
2
B．
2：
3
C．
3：
5
D．
5：
3
4．（3分）过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（ ）
A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
4条
5．（3分）在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8，另一个三角形的一边长是2，则另一个三角形的周长是（ ）
A．
4.5
B．
6
C．
9
D．
以上答案都有可能
6．（3分）如图所示，CD为Rt△ABC斜边上的高，AC：
BC=3：
2，如果S△ADC=9，那么S△BDC等于（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
7．（3分）下列四组条件中，能识别△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．
∠A=45°，∠B=55°；∠D=45°，∠F=75°
B．
AB=5，BC=4，∠A=45°；DE=5，EF=4，∠D=45°
C．
AB=6，BC=5，∠B=40°；DE=5，EF=6，∠E=40°
D．
AB=BC，∠A=50°；DE=EF，∠E=50°
8．（3分）如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．
28cm2
B．
27cm2
C．
21cm2
D．
20cm
9．（3分）如图所示，若DE∥FG∥BC，AD=DF=FB，则S△ADE：
S四边形DFGE：
S四边形FBCG=（ ）
A．
2：
6：
9
B．
1：
3：
5
C．
1：
3：
6
D．
2：
5：
8
10．（3分）如果把三角形各顶点的纵、横坐标都乘以﹣1，得到△A1B1C1，则这两个三角形在坐标中的位置关系是（ ）
A．
关于x轴对称
B．
关于y轴对称
C．
关于原点对称
D．
无对称关系
二、填空题（共5小题，每小题2分，满分10分）
11．（2分）在比例尺为1：
10000的地图上，量得两点之间的直线距离是2cm，则这两地的实际距离是 _________ 米．
12．（2分）如果两个相似三角形的相似比是3：
5，周长的差为4cm，那么较大三角形的周长为 _________ cm．
13．（2分）如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为100cm，木棒上沾油部分的长为60cm，桶高为80cm，那么桶内油面的高度是 _________ cm．
14．（2分）如图所示，线段m的两个端点分别是梯形两个腰从上至下的2、3、4…n等分点，梯形的两底长为a、b，
根据图中规律，猜想m与n的关系是 _________ ．
16．（2分）如图所示，已知第一个三角形周长为1，依次取三角形三边中点画三角形，在第n个图形中，最小三角形的周长是 _________ ．
三、解答题（共8小题，满分60分）
17．（6分）如图，所示的两个矩形是否相似？
并简单说明理由．
18．（6分）徐浩同学准备把如图所示的一张“探宝路线图”通过电话告诉李林同学，请你帮助设计一种把“探宝路线图”清楚告诉对方的方法．
19．（6分）如图所示，在右边的方格中，画出边长是左边四边形2倍的相似形．
20．（6分）如图所示，在△ABC中画出长宽之比为2：
1的矩形，使长边在BC上，（注：
保留画图痕迹）
21．（9分）如图所示，已知DE∥BC且S△ADE=S四边形BCED，试探求AD，DB之间的数量关系，并简单说明理由．
22．（9分）如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．
（1）图中有相似三角形 _________ 对；
（2）探究DB、BC、CE之间的关系，并说明理由．
23．（8分）如图所示，已知透镜焦距f=10cm，一根点燃的蜡烛放在距透镜15cm的主光轴上，现在测得烛焰AB长为2cm，通过调节光屏位置，得到烛焰在光屏上清晰的像．
（1）请根据透镜成像原理（与主光轴平行的光线经过透镜折射后，通过透镜的焦点，经过透镜光心的光线不改变方向），画出烛焰的像的位置；
（2）求出烛焰像的长度．
24．（10分）如图所示，已知AB∥CD∥EF，AC=CE，某同学在探索DB与DF的关系时，进行了下列探究：
由于AB∥CD，得出S△ACD=S△CBD；同理S△CED=S△CFD；
所以
=
=
=
；
因为AC=CE，所以BD=DF．
（1）如果AD∥CF，你发现AC、CE、BD、DF之间存在怎样的关系并说明你的猜想的正确性；
（2）利用你发现的结论，请你通过画图把已知线段MN分成2：
3两部分．
《第24章图形的相似》2010年单元同步测试
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．
对应边都成比例的多边形相似
B．
对应角都相等的多边形相似
C．
边数相同的正多边形相似
D．
矩形都相似
考点：
相似图形。
720663
专题：
几何图形问题。
分析：
根据相似图形的定义，对选项一一分析，排除错误答案．
解答：
解：
A、对应边都成比例的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
B、对应角都相等的多边形，属于形状不唯一确定的图形，故错误；
C、边数相同的正多边形，形状相同，但大小不一定相同，故正确；
D、矩形属于形状不唯一确定的图形，故错误．
故选C．
点评：
本题考查相似变换的定义，即图形的形状相同，但大小不一定相同的是相似形．
2．（3分）如图所示，△ABC∽△ACD的条件是（ ）
A．
B．
C．
CD2=AD•DB
D．
AC2=AD•AB
考点：
相似三角形的判定。
720663
分析：
根据相似三角形判定定理的逆定理对已知相似三角形进行分析，得出各个条件，分别对比各选项即可．
解答：
解：
∵∠A=∠A
∴当∠ADC=∠ACB或∠ACD=∠B或AD：
AC=AC：
AD（即AC2=AD•AB）时，△ABC∽△ACD．
故选D．
点评：
此题考查了相似三角形的判定；
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
3．（3分）如果
，那么
等于（ ）
A．
3：
2
B．
2：
3
C．
3：
5
D．
5：
3
考点：
比例的性质。
720663
分析：
根据题意比例的合比性质，即可得出结果．
解答：
解：
由题意，
，
∴
=
=
．
故选C．
点评：
熟练应用比例的基本性质，本题注意掌握比例的合比性质即可得出结果．
4．（3分）过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（ ）
A．
1条
B．
2条
C．
3条
D．
4条
考点：
相似三角形的判定。
720663
专题：
常规题型。
分析：
根据相似三角形的判定方法进行求解．
解答：
解：
作DE∥BC，DF∥AB，
∠AMD=∠C，∠CND=∠A；
这四条直线都符合要求．
故选D．
点评：
此题考查了相似三角形的判定．
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
5．（3分）在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8，另一个三角形的一边长是2，则另一个三角形的周长是（ ）
A．
4.5
B．
6
C．
9
D．
以上答案都有可能
考点：
相似三角形的性质。
720663
专题：
分类讨论。
分析：
在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是4，6，8，则周长是18，另一个三角形的一边长是2，边长是2的边与三边都有可能是对应边，因而应分三种情况进行讨论．
解答：
解：
设另一个三角形的周长是x，
①当边长是2的边与边长是4的边是对应边时：
得到18：
x=4：
2解得：
x=9；
②当边长是2的边与边长是6的边是对应边时：
18：
x=6：
x解得x=6；
③当边长是2的边与边长是8的边是对应边时：
18：
x=8：
2解得：
x=4.5．
故选D．
点评：
本题考查对相似三角形性质的理解，相似三角形周长的比等于相似比．注意要分情况讨论．
6．（3分）如图所示，CD为Rt△ABC斜边上的高，AC：
BC=3：
2，如果S△ADC=9，那么S△BDC等于（ ）
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5
考点：
相似三角形的判定与性质。
720663
分析：
由题可知：
△ACD∽△CBD，则可知相似比，然后根据相似比求解．
解答：
解：
∵CD为Rt△ABC斜边上的高，
∴△ACD∽△CBD，
∵AC：
BC=3：
2，
∴面积的比是9：
4，
即S△ADC：
S△CBD=9：
4，
∴S△BDC=4．
故选C．
点评：
本题主要考查了相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
7．（3分）下列四组条件中，能识别△ABC与△DEF相似的是（ ）
A．
∠A=45°，∠B=55°；∠D=45°，∠F=75°
B．
AB=5，BC=4，∠A=45°；DE=5，EF=4，∠D=45°
C．
AB=6，BC=5，∠B=40°；DE=5，EF=6，∠E=40°
D．
AB=BC，∠A=50°；DE=EF，∠E=50°
考点：
相似三角形的判定。
720663
专题：
几何综合题。
分析：
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析从而确定最后答案．
解答：
解：
A不正确：
∵∠A=45°，∠B=55°，∠D=45°，∠F=75°，
∴∠C=80°，∠E=60°，
∴不相似；
B不正确：
∵∠A与∠E不是边AB，BC与DE，EF的夹角，
∴不相似；
C相似：
∵AB=6，BC=5，∠B=40°，DE=5，EF=6，∠E=40°，
∴AB：
EF=BC：
DE，∠B=∠E，
∴相似；
D不相似：
∵∠A不是AB，BC的夹角，∠E是边DE与EF的夹角，
∴不相似．
故选C．
点评：
此题考查了相似三角形的判定：
①若对应三边的比相等，则三角形相似；
②若对应两边的比相等，及其夹角相等，则三角形相似；
③若有两个角对应相等，则三角形相似．
8．（3分）如图所示，长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．
28cm2
B．
27cm2
C．
21cm2
D．
20cm
考点：
相似多边形的性质。
720663
分析：
根据题意，剩下矩形与原矩形相似，利用相似形的对应边的比相等可得．
解答：
解：
依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则
设DF=xcm，得到：
解得：
x=4.5，
则剩下的矩形面积是：
4.5×6=27cm2．
点评：
本题就是考查相似形的对应边的比相等，分清矩形的对应边是解决本题的关键．
9．（3分）如图所示，若DE∥FG∥BC，AD=DF=FB，则S△ADE：
S四边形DFGE：
S四边形FBCG=（ ）
A．
2：
6：
9
B．
1：
3：
5
C．
1：
3：
6
D．
2：
5：
8
考点：
相似三角形的判定与性质。
720663
分析：
根据DE∥FG∥BC，可得△ADE∽△AFG∽△ABC，根据相似比求面积比．
解答：
解：
∵DE∥FG∥BC，AD=DF=FB，
∴AD：
AF：
AB=1：
2：
3，
∴S△ADE：
S△AFG：
S△ABC=AD2：
AF2：
AB2=1：
4：
9，
∴S△ADE：
S四边形DFGE：
S四边形FBCG=1：
（4﹣1）：
（9﹣4）=1：
3：
5．故选B．
点评：
本题利用了平行线分线段成比例，相似三角形的性质求解．
10．（3分）如果把三角形各顶点的纵、横坐标都乘以﹣1，得到△A1B1C1，则这两个三角形在坐标中的位置关系是（ ）
A．
关于x轴对称
B．
关于y轴对称
C．
关于原点对称
D．
无对称关系
考点：
坐标与图形变化-旋转；关于原点对称的点的坐标。
720663
分析：
根据“关于原点对称的点的横坐标和纵坐标互为相反数解答”．
解答：
解：
纵、横坐标都乘以﹣1后，相对应的各点的横纵坐标均互为相反数，那么对应点关于原点对称，则这两个三角形在坐标中的位置关系是关于原点对称．
故选C．
点评：
横纵坐标均互为相反数的点关于原点对称，那么对应点所在的图形也关于原点对称．
二、填空题（共5小题，每小题2分，满分10分）
11．（2分）在比例尺为1：
10000的地图上，量得两点之间的直线距离是2cm，则这两地的实际距离是 200 米．
考点：
比例线段。
720663
专题：
应用题。
分析：
根据比例尺=图上距离：
实际距离，列比例式求得这两地的实际距离．
解答：
解：
设这两地的实际距离是x米，则：
=
，
解得x=20000cm=200m．
∴这两地的实际距离是200m．
点评：
理解比例尺的概念，注意单位的转换．
12．（2分）如果两个相似三角形的相似比是3：
5，周长的差为4cm，那么较大三角形的周长为 10 cm．
考点：
相似三角形的性质。
720663
分析：
由于相似三角形的周长比等于相似比，可设未知数，表示出两三角形的周长；然后根据它们的周长差为4cm，求出未知数的值．进而可求出较大三角形的周长．
解答：
解：
由题意，可设较小三角形的周长为3xcm，则较大三角形的周长为5cm，
则有：
5x﹣3x=4，解得x=2（cm），
∴5x=10cm，
因此较大三角形的周长为10cm．
点评：
本题考查对相似三角形性质的理解．
（1）相似三角形周长的比等于相似比．
（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
13．（2分）如图，为了测量油桶内油面的高度，将一根细木棒自油桶小孔插入桶内，测得木棒插入部分的长为100cm，木棒上沾油部分的长为60cm，桶高为80cm，那么桶内油面的高度是 48 cm．
考点：
相似三角形的应用。
720663
分析：
将实际图形抽象为直角三角形，并根据相似三角形的性质来解答．
解答：
解：
如图：
AB为油桶高，DE为桶内油面的高度，AC为木棒插入部分的长，CD为木棒上沾油部分的长．
∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD：
CA=DE：
AB，
∴60：
100=DE：
80，
∴DE=48cm，
∴桶内油面的高度是48cm．
点评：
本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出桶内油面的高度即可．
14．（2分）如图所示，线段m的两个端点分别是梯形两个腰从上至下的2、3、4…n等分点，梯形的两底长为a、b，
根据图中规律，猜想m与n的关系是
．
考点：
梯形。
720663
专题：
探究型。
分析：
观察规律时，首先观察a的系数，则分母是n，分子是n﹣1．观察b的系数，则分母是n，分子是1．所以m与n的关系是m=
．
解答：
解：
可以观察得m=
．
点评：
此题注意通过所给的具体数值，观察a，b的系数的规律，进一步推广．
16．（2分）如图所示，已知第一个三角形周长为1，依次取三角形三边中点画三角形，在第n个图形中，最小三角形的周长是
．
考点：
三角形中位线定理；相似三角形的判定与性质。
720663
专题：
规律型。
分析：
每个三角形的边都是前一个三角形的边的中点的两线，因而两个三角形相似，前一个图形中的最小的三角形与后一个图象中的最小三角形的相似比是1：
2，则周长的比是
，第一个三角形的周长是1，则第二个是
，第三个是
，同理第四个是
，以此类推，在第n个图形中，最小的三角形的周长是
．
解答：
解：
每个三角形的边都是前一个三角形的边的中点的两线，因而两个三角形相似，
前一个图形中的最小的三角形与后一个图象中的最小三角形的相似比是1：
2，
则周长的比是
，
第一个三角形的周长是1，则第二个是
，第三个是
，同理第四个是
，
以此类推，在第n个图形中，最小的三角形的周长是
．
故答案为：
．
点评：
本题主要考查了相似三角形的性质，周长的比等于相似比．找到规律是关键．
三、解答题（共8小题，满分60分）
17．（6分）如图，所示的两个矩形是否相似？
并简单说明理由．
考点：
相似多边形的性质。
720663
专题：
几何图形问题。
分析：
要说明两个矩形是否相似，只要说明对应角是否相等，对应边的比是否相等．
解答：
解：
这两个的角是直角，因而对应角相等一定是正确的，
小矩形的长是20﹣5﹣5=10，宽是12﹣3﹣3=6，
因为
，即两个矩形的对应边的比相等，
因而这两个矩形相似．
点评：
本题考查相似多边形的识别．判定两个图形相似的依据是：
对应边的比相等，对应角相等．两个条件必须同时具备．
18．（6分）徐浩同学准备把如图所示的一张“探宝路线图”通过电话告诉李林同学，请你帮助设计一种把“探宝路线图”清楚告诉对方的方法．
考点：
坐标确定位置。
720663
分析：
如图，建立直角坐标系，东西方向为x轴，南北方向为y轴，这样就可以确定图中各点坐标，电话告诉坐标就可以了．
解答：
解：
建立如下图坐标系，各点的坐标依次为（0，﹣2）（1，0）（3，﹣3）（3，﹣1）（4，﹣1）（5，﹣2）（6，0）．
点评：
此题比较新颖，解题不能按常规思路去解题．
19．（6分）如图所示，在右边的方格中，画出边长是左边四边形2倍的相似形．
考点：
作图—相似变换。
720663
专题：
网格型。
分析：
根据相似图形的相似比相等，可先画最长边的2倍，再依此画出其它的各边，使相似比都为2．
解答：
解：
点评：
本题主要考查了相似图形的性质，对应边的相似比相等，对应角相等．
20．（6分）如图所示，在△ABC中画出长宽之比为2：
1的矩形，使长边在BC上，（注：
保留画图痕迹）
考点：
作图—相似变换。
720663
分析：
先按照要求画出长宽之比为2：
1的矩形，再利用位似的方法放大．
解答：
解：
①在△ABC内作矩形MNPQ，使MN在BC边上，Q点在AB边上，MN=2NP，连BP并延长交AC于P1点，
②过P1作P1Q1∥PQ交AB于Q1，P1N1∥PN交BC于N1，作Q1M1∥QM交BC于M1，
四边形M1N1P1Q1即为所求．
点评：
本题的画图方法是位似的实际运用，关键是确定位似中心，画出符合要求的原矩形．
21．（9分）如图所示，已知DE∥BC且S△ADE=S四边形BCED，试探求AD，DB之间的数量关系，并简单说明理由．
考点：
相似三角形的判定与性质。
720663
专题：
探究型。
分析：
根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解则可．
解答：
解：
AD：
DB=
+1
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵S△ADE=S四边形BCED
∴S△ADE：
S△ABC=1：
2
∴AD：
AB=1：
∴AD：
DB=AD：
（AB﹣AD）=1：
（
﹣1）
∴AD：
DB=
+1．
点评：
本题考查了相似三角形的判定及性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方．
22．（9分）如图所示，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE=120°．
（1）图中有相似三角形 3 对；
（2）探究DB、BC、CE之间的关系，并说明理由．
考点：
相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质。
720663
专题：
探究型。
分析：
（1）根据相似三角形的判定及已知可得到题中存在的相似三角形；
（2）根据相似三角形的对应边成比例及已知，即可求得DB、BC、CE之间的关系．
解答：
解：
（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°．
∴∠D+∠DAB=60°，∠E+∠CAE=60°．
∵∠DAE=120°，
∴∠DAB+∠EAC=60°．
∴∠D=∠CAE，∠E=∠DAB．
∵∠D=∠D，∠E=∠E，
∴△DAE∽△DBA∽△ACE．
∴相似三角形共有3对．
（2）∵△DBA∽△ACE，
∴DB：
AC=AB：
CE．
∵AB=AC=BC，
∴BC2=DB•CE．
点评：
此题考查了相似三角形的判定和性质：
①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似
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