《角的平分线的性质2》教案.docx

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《角的平分线的性质2》教案

12.3角的平分线的性质

第二课时

一、教学目标

（一）学习目标

1.了解角的平分线的判定定理；

2.理解角平分线性质和判定的区别与联系；

3.会利用角的平分线的判定进行证明与计算.

（二）学习重点

角平分线的判定及其应用.

（三）学习难点

灵活应用角平分线的性质和判定解决问题.

二、教学设计

（一）课前设计

1.预习任务

（1）角平分线的判定定理：

角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上

（2）角平分线判定定理的符号语言：

∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB

∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

2.预习自测

（1）到角的两边距离相等的点在上.

（2）到三角形三边的距离相等的点是三角形（）

A.三条边上的高线的交点B.三个内角平分线的交点

C.三条边上的中线的交点D.以上结论都不对

（3）在△ABC中，∠C=90°,AD平分∠BAC，BC=5cm,BD=3cm,则D到AB的距离是

________，∠B=40°，则∠CDA=.

预习自测答案：

（1）角平分线

（2）B（3）2cm，65°

（二）课堂设计

1.知识回顾

（1）角的平分线性质定理的内容是什么？

其中题设、结论是什么？

[生]角的平分线上的点到角的两边的距离相等；题设是一个点在角平分线上，结论是这个点到角两边的距离相等.

（2）角平分线性质定理的作用是证明什么？

[生]证明垂线段相等

（3）填空如图：

∵OC平分∠AOB，OA⊥AC,OB⊥BC.

∴AC=BC（角平分线性质定理）

2.问题探究

探究一角平分线的判定

●活动①（回顾旧知，回忆类活动）

把角平分线性质定理的题设、结论交换后，得出什么命题？

猜想：

它正确吗？

由学生抢答，然后师生归纳：

到角两边距离相等的点在角平分线上；它是正确的.

【设计意图】由性质到判定强化二者的关系

●活动②证明上面的猜想

学生依据猜测写出已知、求证，并画图，而后独立写出证明过程.

展示学生的学习成果：

已知：

OM⊥PA于A，ON⊥PB于B，AP=BP

求证：

OC平分∠MON

证明：

∵PA⊥OM，BP⊥ON

∴∠OAP=∠OBP=90°

在Rt△AOP和Rt△BOP中

∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL）

∴∠1=∠2

∴OC平分∠MON

【设计意图】进一步巩固全等三角形的判定.

●活动③

归纳角平分线的判定定理：

到一角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上.

∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB

∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）

【设计意图】培养学生的归纳概括能力.

探究二角平分线性质和判定的区别与联系

●活动①

现有一条题目，两位同学分别用两种方法证明，他们的做法正确吗？

哪一种方法好？

已知：

CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC

求证：

OC平分∠AOB

证法1：

∵CA⊥OA，BC⊥OB

∴∠A=∠B

在△AOC和△BOC中

∴△AOC≌△BOC（HL）

∴∠AOC=∠BOC∴OC平分∠AOB

证法2：

∵CA⊥OA于A，BC⊥OB于B，AC=BC

∴OC平分∠AOB（角平分线判定定理）

先让学生回答，最后老师归纳：

两种方法都正确，“方法2”好，证角平分线不再用证三角形全等后再证角相等得出，可直接运用角平分线判定定理.

【设计意图】让学生体会角平分线判定定理的作用.

●活动②

学生结合图形完善表中内容，教师对个别学生教学指导.

题设

结论

作用

角平分线性质

角平分线判定

展示学生学习成果：

题设

结论

作用

角平分线性质

∠1＝∠2（OP平分∠MON），PA⊥OM，

PB⊥ON

PA＝PB

证明垂线段相等

角平分线判定

PA⊥OM，PB⊥ON，

PA＝PB

∠1＝∠2（OP平分∠MON）

证明角相等（平分角）

【设计意图】为归纳角平分线的性质和判定的关系作铺垫.

●活动③

提问：

角平分线的性质和判定之间有什么关系？

先让学生回答，最后由师生归纳：

角平分线性质的题设是角平分线判定的结论，角平分线性质的结论是角平分线判定的题设；角平分线性质的作用是证明线段相等，角平分线判定的作用是证明平分角；角平分线性质定理和角平分线判定定理是互为逆定理.

【设计意图】培养学生的归纳概括能力.

探究三利用角平分线的判定进行证明与计算

●活动①（基础性例题）

今天我们学习了关于角平分线的两个性质：

①角平分线上的点到角的两边的距离相等；②到角的两边距离相等的点在角的平分线上．它们具有互逆性，随着学习的深入，解决问题越来越简便了．像与角平分线有关的求证线段相等、角相等问题，我们可以直接利用角平分线的性质，而不必再去证明三角形全等而得出线段相等．

例1.已知：

如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′．

求证：

（1）∠ABC＝∠ABC′；

（2）BC＝BC′（要求：

不用三角形全等判定）．

【知识点】角平分线的性质和判定.

【思路点拨】由条件∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′，可以把点A看作是

∠CBC′平分线上的点，由此可打开思路．

【解题过程】

 证明：

（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知），

∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）．

又∵AC＝AC′（已知），

∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

∴∠ABC＝∠ABC′．

（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，

∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）

即∠BAC＝∠BAC′，

∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，

∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．

【设计意图】区别角平分线的性质和判定.

练习：

如图，已知AB=AC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE=DF.

求证：

BD=DC

【知识点】角平分线的判定；三角形全等的判定和性质.

【思路点拨】由DE=DF，可得∠BAD=∠CAD（角平分线的判定），则△ADB≌△ADC，所以BD=CD

【解题过程】证明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，且DE=DF

∴∠BAD=∠CAD

又∵AB=AC，AD=AD

∴△ADB≌△ADC

∴BD=CD

【设计意图】进一步加深对角平分线判定的认识.

●活动2（提升型例题）

例2．如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；

∠A=40°，则∠BOC=（　　）

A．110°B．120°C．130°D．140°

【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.

【思路点拨】由已知，O到三角形三边距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC=的度数.

【解题过程】由已知，O到三角形三边距离相等，所以O是内心，即三角形角平分线交点，AO、BO、CO都是角平分线，所以有∠CBO=∠ABO=

∠ABC，∠BCO=∠ACO=

∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°−40°=140°，

∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°−70°=110°故选A.

【答案】A

【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.

练习：

如图，△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A=52°，则∠BOC=（　　）

A．128°B．116°C．75°D．52°

【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理.

【思路点拨】根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=128°，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等判断出点O是△ABC角平分线的交点，再根据角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的度数，然后在△OBC中，利用三角形内角和定理列式进行计算即可得解．

【解答过程】解：

如图，∵∠A=52°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，

∵点O到△ABC三边的距离相等，

∴点O是△ABC角平分线的交点，

在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-64°=116°．

故答案为：

116°．

【答案】B

【设计意图】利用角平分线的判定求有关的角.

例3.已知：

如图，AD、BE是△ABC的两个角平分线，AD、BE相交于O点.

求证：

O在∠C的平分线上.

【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.

【思路点拨】由AD、BE是△ABC的两个角平分线，可以得到垂线段OG与ON相等，OG与OM相等，再由垂线段ON与OM相等，得到O在∠C的角平分线上.

【解题过程】

证明：

过O作OG⊥AB，OM⊥BC，ON⊥AC，

∵AO平分∠BAC，∴OG=ON，

∵BO平分∠ABC，∴OG=OM，

∴ON=OM，

∴O在∠C的平分线上.

【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系.

练习：

如图，BP是△ABC的外角平分线，点P在∠BAC的角平分线上．求证：

CP是△ABC的外角平分线．

【知识点】角的平分线的性质与判定的综合应用.

【思路点拨】根据角平分线的性质可得PD=PF，PD=PE，由此可得PE=PF，根据角平分线的判定可得PC平分∠BCE

【解题过程】

证明：

过P作三边AB、AC、BC的垂线段PD、PE、PF，

∵BP是△ABC的外角平分线，PD⊥AD，PF⊥BC，

∴PD=PF（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵点P在∠BAC的角平分线上，PD⊥AD，PE⊥AE，

∴PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴PF=PE，PF⊥BC，PE⊥AE，∴CP是△ABC的外角平分线（在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上）．

【设计意图】进一步理解角平分线的性质与判定的关系

●活动3（探究型例题）

例4.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC，求证：

AD是∠BAC的平分线．

【知识点】全等三角形的判定和性质；角平分线的判定定理.

【思路点拨】由BE=CF，DB=DC，可得Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），所以DE=DF,根据平分线的判定定理可得AD是∠BAC的平分线．

【解题过程】

证明：

∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，

∴∠BED=∠CFD，

∴△BDE与△CDF是直角三角形，

∴Rt△BDE≌Rt△CDF，

∴DE=DF，

∴AD是∠BAC的平分线．

【设计意图】进一步体会用角平分线的判定定理证明角相等.

练习：

如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，BE＝CF.求证：

AD是△ABC的角平分线.

【知识点】角平分线的判定；三角形全等.

【思路点拨】由D是BC的中点，BE＝CF，可得Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）则DE=DF，

所以AD是△ABC的角平分线.

【解答过程】

证明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE和△CDF是直角三角形．

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），

∴DE=DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是角平分线．

【设计意图】进一步体会用角平分线的判定证明角相等.

3.课堂总结

知识梳理（以课堂内容为根据，结合教学目标的几点要求，对涉及到的知识细致梳理）

（1）能证明角平分线判定定理；

（2）理解角平分线的性质和判定的关系；

（3）能利用角平分线的性质和判定进行证明和计算.

重难点归纳（本节课的中心知识点在此进行回顾，对课堂上的典型方法、特殊例题进行归纳点拨）

（1）理解角平分线性质与判定的关系；

（2）灵活利用角平分线性质与判定解决线段和角有关的问题.

（三）课后作业

基础型自主突破

1．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.

【知识点】角平分线的判定

【思路点拨】由CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，可得∠AOC=∠BOC=30°

【解答过程】解：

∵CD⊥OA，CE⊥OB，CD=CE，

∴∠AOC=∠BOC

∵∠AOB=60°，

【答案】30°

2.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,∠A=40°，DE⊥AC且DB=DE,则∠BCD=______.

【知识点】角平分线的判定；三角形内角和定理。

【思路点拨】由∠B=90°,∠A=40°，可得∠ACB=50°由DE⊥AC，AC⊥DE,DB=DE,可得∠ACD=∠BCD=25°

【解答过程】∵∠B=90°,∠A=40°，

∴∠ACB=50°，

∵DE⊥AC，AC⊥DE,DB=DE,

∴∠ACD=∠BCD=25°，

即∠BCD=25°

【答案】25°

3．

（1）如图，已知∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，则．

（2）已知DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，且DE=DF，则．

【知识点】角平分线的性质和判定定理

【思路点拨】

（1）由角平分线的性质可得DE=DF；

（2）由角平分线的判定可得∠1=∠2.

【解答过程】

（1）∵∠1=∠2，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF．

（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE=DF，

∴∠1=∠2.

【答案】DE=DF．∠1=∠2．

4.已知PB，PC分别是△ABC的外角平分线且相交于P．

求证：

P在∠A的平分线上（如图）．

【知识点】角平分线的性质和判定.

【思路点拨】过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC．由PB，PC分别是△ABC的外角平分线可得PE=PH，PH=PG，所以PE=PG，由此可得P点在∠A的平分线上．

【解答过程】

证明：

过P点作PE，PH，PG分别垂直AB，BC，AC．

∵PB，PC分别是△ABC的外角平分线，

∴PE=PH，PH=PG，

∴PE=PG．

∴P点在∠A的平分线上．

5.如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P=°．

【知识点】角的平分线的判定；角平分线的定义；平行线的性质；三角形内角和定理.

【思路点拨】由点P到AB、BC、CD距离都相等可得BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，再由AB∥CD，可得∠ABC+∠BCD=180°，即∠CBP+∠BCP=90°，所以∠P=90°．

【解答过程】∵点P到AB、BC、CD距离都相等，

∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，

∴∠CBP=

∠ABC,∠BCP=

∠BCD

∴∠CBP+∠BCP=

（∠ABC+∠BCD）

∵AB∥CD，

∴∠ABC+∠BCD=180°，

∴∠CBP+∠BCP=

×180°=90°，

∴∠P=180°-（∠CBP+∠BCP）=180°-90°=90°．

【答案】90

6.如图，△ABC，AD是△ABC的角平分线，DE

⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，有下列四个结论：

①DA

平分∠EDF；②AB=AC；③AD上的点到B

、C两点

的距离相等；

④到AE，AF距离相

等的点到DE、DF的距离也相等．

其中正确的结论有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【知识点】角平分线的性质和判定、三角形全等

【思路点拨】由AD是△ABC的角平分线，DE

⊥AB，DF⊥AC可得DE=DF,再由AD=AD,DE=DF,可得△ADE≌△ADF可得∠EDA=∠FDA.

【解答过程】∵AD是△ABC的角平分线，DE

⊥AB，DF⊥AC

∴DE=DF,

又∵AD=AD

∴△ADE≌△ADF（HL）

∴∠EDA=∠FDA

即①正确；

∴AD上的点到DE和DF的距离相等，

∵AD上的点到AE和AF的距离也相等，

即④正确

根据已知条件不能证明AB=AC,AD上的点到B

、C两点

的距离相等也不成立.

【答案】B

能力型师生共研

1.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=5，连接BD，BD⊥CD，

∠ADB=∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为

【知识点】角平分线的性质、直角三角形的性质、点到直线的距离

【思路点拨】根据垂线段最短，当DP⊥BC时，DP的长度最小，易证∠ABD=∠CBD，根据角平分线的判定定理可得AD=DP，即DP长的最小值为5

【解答过程】

解：

当DP⊥BC时，DP的长度最小，

∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，

∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，

∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，DP⊥BC，

∴AD=DP，又AD=5，

∴DP=5．

【答案】5

2．已知：

如图，

，

是

的中点，

平分

．

（1）若连接

，则

是否平分

？

请你证明你的结论．

（2）线段

与

有怎样的位置关系？

请说明理由．

【知识点】角平分线的性质和判定；平行线的性质和三角形内角和定理

【思路点拨】

（1）过点M作ME⊥AD于点E，再根据角平分线的性质得到MC=ME，由M为BC的中点可得MC=MB即得ME=MB，再结合MB⊥AB，ME⊥AD即可证得结论；

（2）根据角平分线的性质可得

，由∠B=∠C=90º可得AB//CD，即可得到∠ADC+∠BAD=180º，再根据角平分线的性质求解即可.

【解答过程】

（1）

平分

．

证明：

过点

作

，垂足为

．

（角平

分线上的点到角两边的距离相等）．

又

，

．

平分

（

到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．

（2）

，理由如下：

（垂直于同一条直线的两条直线平行）．

（两直线平行，同旁内角互补）

又

，

（角平分线定义）

．即

．

探究型多维突破

1.如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于P，PE⊥AC于E，若△ABC的周长为12，PE=2，S△BPC=3，则S△ABC=______．

【知识点】角平分线的性质和三角形面积.

【数学思想】利用割补法求三角形面积.

【思路点拨】过点P作PF⊥BC于F，作PG⊥AB于G，根据角平分线的性质可得PF=PG=PE=2，△BCP的高为2，则BC长为3，AC+AB=9,则四边形ABPCD的面积为9（把四边形ABPCD沿AP分成两个三角形—割补法），从而S△ABC=6

【解题过程】

如图，过点P作PF⊥BC于F，作PG⊥AB于G，

∵∠ABC和∠ACB的外角平分线BP、CP交于P，

∴PF=PG=PE=2，

∵S△BPC=3，

∴

BC•2=3，解得BC=3，

∵△ABC的周长为12，∴AC+AB=12-3=9，

∴S△ABC=S△ACP+S△ABP-S△BCP=

×9×2-3=9-3=6．

故答案为：

6．

2.如图，PB丄AB，PC丄AC，且PB=PC，D是AP上的一点，

求证：

∠BDP=∠CDP

【知识点】角平分线的判定定理；全等三角形的判定和性质.

【思路点拨】去证明∠BDP和∠CDP（或∠BDA和∠CDA）所在的两个三角形全等.【解题过程】

证明:

∵PB⊥AB，PC⊥AC，PB=PC

∴∠BAD=∠CAD

在Rt△ABP和Rt△ACP中，

∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL），

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中，

∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD，

∴△ABD≌△ACD（SAS），

∴∠BDA=∠CDA

∴∠BDP=∠CDP

自助餐

1．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　）

A.三条中线的交点B.三条高的交点

C.三条边的垂直平分线的交点D.三条角平分线的交点

【知识点】角平分线的判定定理.

【思路点拨】到角两边的距离相等的点在角平分线上.

【解答过程】解：

如图，∵OE=OF,OE⊥BC,OF⊥AB

∴O在∠B的平分线上，

同理可得O在∠A的平分线上，O在∠C的平分线上，

∴O为三条角平分线的交点.

【答案】D

2．如图，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA=PB，则∠1与∠2的大小是（　　）

A.∠1=∠2B．∠1＞∠2

C．∠1＜∠2

D．无法确定

【知识点】角平分线的判定定理和三角形全等的性质和判定

【思路点拨】易证△PCA≌△PDB（AAS），由此可得CP=DP,根据角平分线的判定定理可得∠1=∠2.

【解答过程】∵AD⊥OB，BC⊥OA，

∴∠ACP=∠BDP=90°

∵∠APC=∠BPD,CP=DP

∴△PCA≌△PDB（AAS），

∴CP=DP,

∴∠1=∠2.

【答案】A

3．如图，已知PA⊥ON于点A，PB⊥OM于点B，且PA＝PB，∠MON＝50°，∠OPC＝30°，则∠PCA＝．

【知识点】角平分线的判定；三角形的外角性质

【思路点拨】由PA⊥ON，PB⊥OM，PA＝PB，可得∠NOP=∠MOP=25°,则∠PCA=∠NOP+∠OPC=55°

【解答过程】解：

∵PA⊥ON，PB⊥OM，PA＝PB，

∴∠NOP=∠MOP=25°,

∵∠PCA=∠NOP+∠OPC=25°+30°=55°

【答案】55°

4．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是50、60、70，其三条角平分线将△ABC分成三个三角形，则S△ABO：

S△BCO：

S△CAO等于______．

【知识点】角平分线的性质定理和三角形的面积.

【思路点拨】过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，O是三角形三条角平分线的交点，可得OD=OE=OF，OE,OF,OD分别是△ABO，△BCO，△CAO的高，则这三个三角形的面积正比就是对应底的比.

【解题过程】

过点O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，

∵O是三角形三条角平分线的交点，

∴OD=OE=OF，

∵AB=50，BC=60，AC=70，

∴S△ABO：

S△BCO：

S△CAO=5：

6：

7．

【答案】5：

6：

7．

5.如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于点O，OB＝OC

求证：

∠1＝∠2

【知识点】角平分线的判定定理；三角形全等的判定和性质.

【思路点拨】易证△OBD≌△OCE，可得:

OD=OE,由角平分线的判定可得：

∠1＝∠2

【解题过程】

证明：

在△OBD和△OCE中，

∴△OBD≌△OCE，

∴OD=OE

∵OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，

∴OD=OE

∴∠1＝∠2

6.如图，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE＝90°，AD＝AB，AC＝AE．

（1）求证：

△ACD≌△AEB；

（2）试猜想：

∠AFD和∠AFE的大小关系，说明理由．

【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的判定.

【思路点拨】过A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N，由SAS可证△ADC≌△ABE，根据全等三角形的对应边上的高相等，于是AM=AN，∴FA平分∠DFE．

【解题过程】

（1）证明：

∵∠CAE=∠BAD=90°∴∠CAD=∠EAB

∵AD=AB，AC=AE

∴△ACD≌△AEB（SAS）

（2）∠AFD=∠AFE

理由如下:

过A作AM⊥DC于M，AN⊥BE于N

∵△ADC≌△ABE

∴CD=BE

∴AM=AN

∴A在∠DFE的平分线上

∴∠AFD=∠AFE