复变函数与积分变换修订版复旦大学课后的习题答案.docx
《复变函数与积分变换修订版复旦大学课后的习题答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换修订版复旦大学课后的习题答案.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
复变函数与积分变换修订版复旦大学课后的习题答案
习题七
1.证明：
如果f（t）满足傅里叶变换的条件，当f（t）为奇函数时，则有
其中
当f（t）为偶函数时，则有
其中
证明：
因为其中为f（t）的傅里叶变换
当f（t）为奇函数时，为奇函数，从而
为偶函数，从而
故有
为奇数。
=
所以，当f（t）为奇函数时，有
同理，当f（t）为偶函数时，有
.其中
2.在上一题中，设.计算的值.
解:
3.计算函数.
解:
4.求下列函数的傅里叶变换
解：
（2）
解：
因为
所以根据傅里叶变换的微分性质可得
（3）
解：
（4）
解:
令，则在上半平面有两个一级极点.
故.
（5）
解:
同（4）.利用留数在积分中的应用,令
则
.
5.设函数F（t）是解析函数，而且在带形区域内有界.定义函数为
证明当时，有
对所有的实数t成立.
（书上有推理过程）
6.求符号函数的傅里叶变换.
解:
因为把函数.
不难看出
故：
7.已知函数的傅里叶变换求
解:
8.设函数f（t）的傅里叶变换，a为一常数.证明
当a>0时,令u=at.则
当a<0时,令u=at,则.
故原命题成立.
9.设证明
.
证明：
10.设，证明：
以及
证明：
同理：
11.设
计算.
解：
当时，若则故
=0.
若则
若
则
故
12.设为单位阶跃函数，求下列函数的傅里叶变换.
习题八
1.求下列函数的拉普拉斯变换.
（1），
（2），（3）
（4），（5）
解:
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
2.求下列函数的拉普拉斯变换.
（1）
（2）
解:
（1）
（2）
3.设函数,其中函数为阶跃函数,求的拉普拉斯变换.
解:
4.求图8.5所表示的周期函数的拉普拉斯变换
解：
5.求下列函数的拉普拉斯变换.
（1）
（2）
（3）（4）
（5
（6
（7）（8）
解:
（1）
（2）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
6.记，对常数，若
，证明
证明:
7记，证明:
证明：
当n=1时,
所以，当n=1时,显然成立。
假设，当n=k-1时,有
现证当n=k时
8.记，如果a为常数,证明:
证明：
设，由定义
9.记，证明:
即
证明：
10.计算下列函数的卷积
（1）
（2）
（3）（4）
（5）（6
解：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
11.设函数f,g,h均满足当t<0时恒为零，证明
以及
证明：
12.利用卷积定理证明
证明：
设，则
，则
，所以
13.求下列函数的拉普拉斯逆变换.
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6
解：
（1）
（2）
（3
故
（4）
因为
所以
（5）
其中
所以
（6）
所以
14.利用卷积定理证明
证明：
又因为
所以，根据卷积定理
15.利用卷积定理证明
证明：
因为
所以，根据卷积定理有
16.求下列函数的拉普拉斯逆变换.
（1）
（2）
（3）
（4）
解:
（1）
故
（2）：
（3）
故
（4）
故
且
所以
17.求下列微分方程的解
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解:
（1）设
方程两边取拉氏变换,得
为Y（s）的三个一级极点,则
（2）方程两边同时取拉氏变换,得
（3）方程两边取拉氏变换,得
因为由拉氏变换的微分性质知，若L[f（t）]=F（s）,则
即
因为
所以
故有
（4）方程两边取拉氏变换,设L[y（t）]=Y（s）,得
故
（5）设L[y（t）]=Y（s）,则
方程两边取拉氏变换,,得
故
18.求下列微分方程组的解
（1）
（2）
解:
（1）设
微分方程组两式的两边同时取拉氏变换,得
得
（2）代入
（1），得
（3）代入
（1），得
（2）设
方程两边取拉氏变换,得
（3）代入
（1）：
所以
故
19.求下列方程的解
（1）
（2）
解：
（1）设L[x（t）]=X（s）,方程两边取拉氏变换,得
（2）设L[y（t）]=Y（s）,方程两边取拉氏变换,得
（注：
素材和资料部分来自网络，供参考。
请预览后才下载，期待你的好评与关注！
）
升级会员 