中考数学《一次函数》专题练习含答案解析.docx
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中考数学《一次函数》专题练习含答案解析
一次函数
一、选择题
1．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的速度随时间的增加而增大
B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第180秒时，两人相遇
D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
2．在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：
km）随时间x（单位：
h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．小明中途休息用了20分钟
B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C．小明在上述过程中所走的路程为6600米
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
4．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：
件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：
元）与时间t（单位：
天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ）
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D．第30天的日销售利润是750元
二、填空题
5．一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：
购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则一次性购买盒子所需要最少费用为 元．
型号
A
B
单个盒子容量（升）
2
3
单价（元）
5
6
6．如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要 s能把小水杯注满．
7．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 元．
三、解答题
8．“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
型号
进价（元/只）
售价（元/只）
A型
10
12
B型
15
23
（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？
（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
9．已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：
不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．
（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；
（2）如果小张这天外出的消费还包括：
中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？
为什么？
10．某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：
A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．
（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
11．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．
（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．
（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？
（3）什么情况下A套餐更省钱？
12．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生产A、B两种产品共50件，生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示：
原料
型号
甲种原料（千克）
乙种原料（千克）
A产品（每件）
9
3
B产品（每件）
4
10
（1）该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案？
（2）若生成一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，怎样安排生产可获得最大利润？
一次函数
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在一次800米的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s（米）与各自所用时间t（秒）之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是（ ）
A．甲的速度随时间的增加而增大
B．乙的平均速度比甲的平均速度大
C．在起跑后第180秒时，两人相遇
D．在起跑后第50秒时，乙在甲的前面
【考点】一次函数的应用．
【分析】A、由于线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，由此可以确定甲的速度是没有变化的；
B、甲比乙先到，由此可以确定甲的平均速度比乙的平均速度快；
C、根据图象可以知道起跑后180秒时，两人的路程确定是否相遇；
D、根据图象知道起跑后50秒时OB在OA的上面，由此可以确定乙是否在甲的前面．
【解答】解：
A、∵线段OA表示甲所跑的路程S（米）与所用时间t（秒）之间的函数图象，∴甲的速度是没有变化的，故选项错误；
B、∵甲比乙先到，∴乙的平均速度比甲的平均速度慢，故选项错误；
C、∵起跑后180秒时，两人的路程不相等，∴他们没有相遇，故选项错误；
D、∵起跑后50秒时OB在OA的上面，∴乙是在甲的前面，故选项正确．
故选D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
2．在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：
km）随时间x（单位：
h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：
①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据题目所给的图示可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，出发0.5小时之内，甲的速度大于乙的速度，0.5至1小时之间，乙的速度大于甲的速度，出发1.5小时之后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，再利用函数图象横坐标，得出甲先到达终点．
【解答】解：
在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误；
由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，故②正确；
甲的图象的解析式为y=10x，乙AB段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，甲的路程为15千米，乙的路程为12千米，甲的行程比乙多3千米，故③正确；
甲到达终点所用的时间较少，因此甲比乙先到达终点，故④正确．
故选C．
【点评】本题考查了一次函数的应用，行程问题的数量关系速度=路程后÷时间的运用，解答时理解函数的图象的含义是关键．
3．今年“五一”节，小明外出爬山，他从山脚爬到山顶的过程中，中途休息了一段时间．设他从山脚出发后所用时间为t（分钟），所走的路程为s（米），s与t之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（ ）
A．小明中途休息用了20分钟
B．小明休息前爬山的平均速度为每分钟70米
C．小明在上述过程中所走的路程为6600米
D．小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据函数图象可知，小明40分钟爬山2800米，40～60分钟休息，60～100分钟爬山（3800﹣2800）米，爬山的总路程为3800米，根据路程、速度、时间的关系进行解答即可．
【解答】解：
A、根据图象可知，在40～60分钟，路程没有发生变化，所以小明中途休息的时间为：
60﹣40=20分钟，故正确；
B、根据图象可知，当t=40时，s=2800，所以小明休息前爬山的平均速度为：
2800÷40=70（米/分钟），故B正确；
C、根据图象可知，小明在上述过程中所走的路程为3800米，故错误；
D、小明休息后的爬山的平均速度为：
（3800﹣2800）÷（100﹣60）=25（米/分），小明休息前爬山的平均速度为：
2800÷40=70（米/分钟），
70＞25，所以小明休息前爬山的平均速度大于休息后爬山的平均速度，故正确；
故选：
C．
【点评】本题考查了函数图象，解决本题的关键是读懂函数图象，获取信息，进行解决问题．
4．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：
件）与时间t（单位；天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：
元）与时间t（单位：
天）的函数关系，已知日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，下列结论错误的是（ ）
A．第24天的销售量为200件
B．第10天销售一件产品的利润是15元
C．第12天与第30天这两天的日销售利润相等
D．第30天的日销售利润是750元
【考点】一次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】根据函数图象分别求出设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：
元）与时间t（单位：
天）的函数关系为z=﹣x+25，当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：
件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=
，根据日销售利润=日销售量×一件产品的销售利润，即可进行判断．
【解答】解：
A、根据图①可得第24天的销售量为200件，故正确；
B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：
元）与时间t（单位：
天）的函数关系为z=kx+b，
把（0，25），（20，5）代入得：
，
解得：
，
∴z=﹣x+25，
当x=10时，y=﹣10+25=15，
故正确；
C、当0≤t≤24时，设产品日销售量y（单位：
件）与时间t（单位；天）的函数关系为y=k1t+b1，
把（0，100），（24，200）代入得：
，
解得：
，
∴y=
，
当t=12时，y=150，z=﹣12+25=13，
∴第12天的日销售利润为；150×13=1950（元），第30天的日销售利润为；150×5=750（元），
750≠1950，故C错误；
D、第30天的日销售利润为；150×5=750（元），故正确．
故选：
C
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求函数解析式．
二、填空题
5．一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有A，B两种型号，单个盒子的容量和价格如表．现有15升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A型号盒子正做促销活动：
购买三个及三个以上可一次性返还现金4元，则一次性购买盒子所需要最少费用为 29 元．
型号
A
B
单个盒子容量（升）
2
3
单价（元）
5
6
【考点】一次函数的应用．
【分析】设购买A种型号盒子x个，购买盒子所需要费用为y元，则购买B种盒子的个数为
个，分两种情况讨论：
①当0≤x＜3时；②当3≤x时，利用一次函数的性质即可解答．
【解答】解：
设购买A种型号盒子x个，购买盒子所需要费用为y元，
则购买B种盒子的个数为
个，
①当0≤x＜3时，y=5x+
=x+30，
∵k=1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=0时，y有最小值，最小值为30元；
②当3≤x时，y=5x+
﹣4=26+x，
∵k=1＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=3时，y有最小值，最小值为29元；
综合①②可得，购买盒子所需要最少费用为29元．
故答案为：
29．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意列出函数解析式，利用一次函数的性质解决最小值的问题，注意分类讨论思想的应用．
6．如图1，在某个盛水容器内，有一个小水杯，小水杯内有部分水，现在匀速持续地向小水杯内注水，注满小水杯后，继续注水，小水杯内水的高度y（cm）和注水时间x（s）之间的关系满足如图2中的图象，则至少需要 5 s能把小水杯注满．
【考点】一次函数的应用．
【分析】一次函数的首先设解析式为：
y=kx+b，然后利用待定系数法即可求得其解析式，再由y=11，即可求得答案．
【解答】解：
设一次函数的首先设解析式为：
y=kx+b，
将（0，1），（2，5）代入得：
，
解得：
，
∴解析式为：
y=2x+1，
当y=11时，2x+1=11，
解得：
x=5，
∴至少需要5s能把小水杯注满．
故答案为：
5．
【点评】此题考查了一次函数的实际应用问题．注意求得一次函数的解析式是关键．
7．如图所示，购买一种苹果，所付款金额y（元）与购买量x（千克）之间的函数图象由线段OA和射线AB组成，则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省 2 元．
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据函数图象，分别求出线段OA和射线AB的函数解析式，即可解答．
【解答】解：
由线段OA的图象可知，当0＜x＜2时，y=10x，
1千克苹果的价钱为：
y=10，
设射线AB的解析式为y=kx+b（x≥2），
把（2，20），（4，36）代入得：
，
解得：
，
∴y=8x+4，
当x=3时，y=8×3+4=28．
当购买3千克这种苹果分三次分别购买1千克时，所花钱为：
10×3=30（元），
30﹣28=2（元）．
则一次购买3千克这种苹果比分三次每次购买1千克这种苹果可节省2元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是分别求出线段OA和射线AB的函数解析式．
三、解答题
8．“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：
型号
进价（元/只）
售价（元/只）
A型
10
12
B型
15
23
（1）小张如何进货，使进货款恰好为1300元？
（2）要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．
【考点】一次函数的应用；一元一次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】
（1）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，根据题意列出方程解答即可；
（2）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，根据题意列出函数解答即可．
【解答】解：
（1）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，可得：
10x+15（100﹣x）=1300，
解得：
x=40．
答：
A文具为40只，则B文具为100﹣40=60只；
（2）设A文具为x只，则B文具为（100﹣x）只，可得
（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x）≤40%[10x+15（100﹣x）]，
解得：
x≥50，
设利润为y，则可得：
y=（12﹣10）x+（23﹣15）（100﹣x）=2x+800﹣8x=﹣6x+800，
因为是减函数，所以当x=50时，利润最大，即最大利润=﹣50×6+800=500元．
【点评】此题考查一次函数的应用，关键是根据题意列出方程和不等式，根据函数是减函数进行解答．
9．已知某市的光明中学、市图书馆和光明电影院在同一直线上，它们之间的距离如图所示．小张星期天上午带了75元现金先从光明中学乘出租车去了市图书馆，付费9元；中午再从市图书馆乘出租车去了光明电影院，付费12.6元．若该市出租车的收费标准是：
不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．
（1）求m，n的值，并直接写出车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式；
（2）如果小张这天外出的消费还包括：
中午吃饭花费15元，在光明电影院看电影花费25元．问小张剩下的现金够不够乘出租车从光明电影院返回光明中学？
为什么？
【考点】一次函数的应用．
【分析】
（1）根据题意，不超过3公里计费为m元，由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，可由此得出m，由出租车的收费标准是：
不超过3公里计费为m元，3公里后按n元/公里计费．当x＞3时，由收费与路程之间的关系就可以求出结论；
（2）分别计算小张所剩钱数和返程所需钱数，即可得出结论．
【解答】解：
（1）∵由图示可知光明中学和市图书馆相距2公里，付费9元，
∴m=9，
∵从市图书馆乘出租车去光明电影院，路程5公里，付费12.6元，
∴（5﹣3）n+9=12.6，
解得：
n=1.8．
∴车费y（元）与路程x（公里）（x＞3）之间的函数关系式为：
y=1.8（x﹣3）+9=1.8x+3.6（x＞3）．
（2）小张剩下坐车的钱数为：
75﹣15﹣25﹣9﹣12.6=13.4（元），
乘出租车从光明电影院返回光明中学的费用：
1.8×7+3.6=16.2（元）
∵13.4＜16.2，
故小张剩下的现金不够乘出租车从光明电影院返回光明中学．
【点评】本题考查了分段函数，一次函数的解析式，由一次函数的解析式求自变量和函数值，解答时求出函数的解析式是关键
10．某物流公司承接A、B两种货物运输业务，已知5月份A货物运费单价为50元/吨，B货物运费单价为30元/吨，共收取运费9500元；6月份由于油价上涨，运费单价上涨为：
A货物70元/吨，B货物40元/吨；该物流公司6月承接的A种货物和B种数量与5月份相同，6月份共收取运费13000元．
（1）该物流公司月运输两种货物各多少吨？
（2）该物流公司预计7月份运输这两种货物330吨，且A货物的数量不大于B货物的2倍，在运费单价与6月份相同的情况下，该物流公司7月份最多将收到多少运输费？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】
（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，根据题意可得到一个关于x的不等式组，解方程组求解即可；
（2）运费可以表示为x的函数，根据函数的性质，即可求解．
【解答】解：
（1）设A种货物运输了x吨，设B种货物运输了y吨，
依题意得：
，
解之得：
．
答：
物流公司月运输A种货物100吨，B种货物150吨．
（2）设A种货物为a吨，则B种货物为（330﹣a）吨，
依题意得：
a≤（330﹣a）×2，
解得：
a≤220，
设获得的利润为W元，则W=70a+40（330﹣a）=30a+13200，
根据一次函数的性质，可知W随着a的增大而增大
当W取最大值时a=220，
即W=19800元．
所以该物流公司7月份最多将收到19800元运输费．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组以及一次函数性质的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出方程组和不等式即可求解．
11．联通公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1（元），B套餐每月话费为y2（元），月通话时间为x分钟．
（1）分别表示出y1与x，y2与x的函数关系式．
（2）月通话时间为多长时，A、B两种套餐收费一样？
（3）什么情况下A套餐更省钱？
【考点】一次函数的应用．
【分析】
（1）根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式即可；
（2）根据两种收费相同列出方程，求解即可；
（3）根据
（2）的计算结果，小于收费相同时的时间选择B套餐，大于收费相同的时间选择A套餐解答．
【解答】解：
（1）A套餐的收费方式：
y1=0.1x+15；
B套餐的收费方式：
y2=0.15x；
（2）由0.1x+15=0.15x，得到x=300，
答：
当月通话时间是300分钟时，A、B两种套餐收费一样；
（3）由0.1x+15＜0.15x，得到x＞300，
当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱．
【点评】本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键．
12．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划用这两种原料全部生产A、B两种产品共50件，生产A、B两种产品与所需原料情况如下表所示：
原料
型号
甲种原料（千克）
乙种原料（千克）
A产品（每件）
9
3
B产品（每件）
4
10
（1）该工厂生产A、B两种产品有哪几种方案？
（2）若生成一件A产品可获利80元，生产一件B产品可获利120元，怎样安排生产可获得最大利润？
【考点】一次函数的应用；一元一次不等式组的应用．
【分析】
（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品，根据不能多于原料的做为不等量关系可列不等式组求解；
（2）可以分别求出三种方案比较即可．
【解答】解：
（1）设工厂可安排生产x件A产品，则生产（50﹣x）件B产品
由题意得：
，
解得：
30≤x≤32的整数．
∴有三种生产方案：
①A30件，B20件；②A31件，B19件；③A32件，B18件；
（2）方法一：
方案
（一）A，30件，B，20件时，
20×120+30×80=4800（元）．
方案
（二）A，31件，B，19件时，
19×120+31×80=4760（元）．
方案（三）A，32件，B，18件时，
18×120+32×80=4720（元）．
故方案
（一）A，30件，B，20件利润最大．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据有甲种原料360千克，乙种原料290千克，做为限制列出不等式组求解，然后判断B生产的越多，A少的时候获得利润最大，从而求得解．
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