高三一轮复习热点题型84空间中的平行关系.docx
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高三一轮复习热点题型84空间中的平行关系
1.平行直线
平行公理：
过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.
基本性质 4：
平行于同一条直线的两条直线互相平行.
等角定理：
如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个
角相等.
2.直线与平面平行
判定
定义定理性质
图形
条件
结论
a∩α＝∅
a∥α
a⊂α，b⊄α，a∥b
b∥α
a∥α
a∩α＝∅
a∥α，a⊂β，α∩β＝b
a∥b
3.平面与平面平行
判定
定义定理性质
图形
条件
结论
α∩β＝∅
α∥β
a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，
a∥α，b∥α
α∥β
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b
a∥b
α∥β，a⊂β
a∥α
【思考辨析】
判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）
（1）若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面.（×）
（2）若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.（×）
（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行.（×）
（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.（√）
（5）若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行，则 a∥α.（×）
（6）若 α∥β，直线 a∥α，则 a∥β.（×）
1.一条直线 l 上有相异三个点 A、B、C 到平面 α 的距离相等，那么直线 l 与平面 α 的位置关
系是（）
A.l∥α
C.l 与 α 相交但不垂直
B.l⊥α
D.l∥α 或 l⊂α
答案D
解析当距离不为零时，l∥α，当距离为零时，l⊂α.
2.设 α，， 为三个不同的平面， ， 是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，⊂γ，且________，
则 m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题
①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.
可以填入的条件有（）
A.①或②
C.①或③
B.②或③
D.①或②或③
答案C
解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当 n∥β，m⊂γ 时，n 和 m 在同一平面内，且
没有公共点，所以平行，③正确.故选 C.
3.（教材改编）下列命题中正确的是（）
A.若 a，b 是两条直线，且 a∥b，那么 a 平行于经过 b 的任何平面
B.若直线 a 和平面 α 满足 a∥α，那么 a 与 α 内的任何直线平行
C.平行于同一条直线的两个平面平行
D.若直线 a，b 和平面 α 满足 a∥b，a∥α，b⊄α，则 b∥α
答案D
解析A 中，a 可以在过 b 的平面内；B 中，a 与 α 内的直线可能异面；C 中，两平面可相
交；D 中，由直线与平面平行的判定定理知，b∥α，正确.
4.（教材改编）如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E 为 DD1 的中点，
则 BD1 与平面 AEC 的位置关系为________.
答案平行
解析连接 BD，设 BD∩AC＝O，连接 EO
BDD1 中，O 为 BD
的中点，所以 EO
BDD1 的中位线，
则 BD1∥EO，而 BD1⊄平面 ACE，EO⊂平面 ACE，
所以 BD1∥平面 ACE.
5.过三棱柱 ABC－A1B1C1 任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1 平行的直线共有
________条.
答案6
解析各中点连线如图，只有面 EFGH 与面 ABB1A1 平行，在四边形 EFGH
中有 6 条符合题意.
题型一直线与平面平行的判定与性质
命题点 1直线与平面平行的判定
1
2
H 分别为线段 AD，PC，CD 的中点，AC 与 BE 交于 O 点，G 是线段
OF 上一点.
（1）求证：
AP∥平面 BEF；
（2）求证：
GH∥平面 PAD.
证明
（1）连接 EC，
1
2
∴BC 綊 AE，
∴四边形 ABCE 是平行四边形，
∴O 为 AC 的中点.
又∵F 是 PC 的中点，∴FO∥AP，
FO⊂平面 BEF，AP⊄平面 BEF，
∴AP∥平面 BEF.
（2）连接 FH，OH，
∵F，H 分别是 PC，CD 的中点，
∴FH∥PD，∴FH∥平面 PAD.
又∵O 是 BE 的中点，H 是 CD 的中点，
∴OH∥AD，∴OH∥平面 PAD.
又 FH∩OH＝H，∴平面 OHF∥平面 PAD.
又∵GH⊂平面 OHF，∴GH∥平面 PAD.
命题点 2直线与平面平行性质定理的应用
例 2（2014·安徽）如图，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 8 的正方形，
四条侧棱长均为 2 17.点 G，E，F，H 分别是棱 PB，AB，CD，PC 上
共面的四点，平面 GEFH⊥平面 ABCD，BC∥平面 GEFH.
（1）证明：
GH∥EF；
（2）若 EB＝2，求四边形 GEFH 的面积.
（1）证明因为 BC∥平面 GEFH，BC⊂平面 PBC，
且平面 PBC∩平面 GEFH＝GH，
所以 GH∥BC.
同理可证 EF∥BC，因此 GH∥EF.
（2）解如图，连接 AC，BD 交于点 O，BD 交 EF 于点 K，连接 OP，
GK.
因为 PA＝PC，O 是 AC 的中点，所以 PO⊥AC，
同理可得 PO⊥BD.
又 BD∩AC＝O，且 AC，BD 都在底面内，
所以 PO⊥底面 ABCD.
又因为平面 GEFH⊥平面 ABCD，
且 PO⊄平面 GEFH，所以 PO∥平面 GEFH.
因为平面 PBD∩平面 GEFH＝GK，
所以 PO∥GK，且 GK⊥底面 ABCD，从而 GK⊥EF.
所以 GK 是梯形 GEFH 的高.
由 AB＝8，EB＝2 得 EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，
11
42
1
2
1
2
由已知可得 OB＝4 2，
PO＝PB2－OB2＝68－32＝6，
所以 GK＝3.
故四边形 GEFH 的面积
GH＋EF4＋8
22
如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，∠ABC＝∠ACD＝90°，
∠BAC＝∠CAD＝60°，E 为 PD 的中点，AB＝1，求证：
CE∥平面 PAB.
证明由已知条件有 AC＝2AB＝2，AD＝2AC＝4，CD＝2 3.
如图所示，延长 DC，AB，设其交于点 N，连接 PN，
因为∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，
所以 C 为 ND 的中点，
又因为 E 为 PD 的中点，所以 EC∥PN，
因为 EC⊄平面 PAB，PN⊂平面 PAB，
所以 CE∥平面 PAB.
思维升华判断或证明线面平行的常用方法：
（1）利用线面平行的定义（无公共点）；
（2）利用线
面平行的判定定理 （a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α）；（3）利用面面平行的性质定理 （α∥β，a⊂α⇒
a∥β）；（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）.
题型二平面与平面平行的判定与性质
例 3如图所示，在三棱柱 ABC－A1B1C1 中，E，F，G，H 分别是 AB，
AC，A1B1，A1C1 的中点，求证：
（1）B，C，H，G 四点共面；
（2）平面 EFA1∥平面 BCHG.
证明
（1）∵G，H 分别是 A1B1，A1C1 的中点，
∴GH 是
1B1C1 的中位线，
∴GH∥B1C1.
又∵B1C1∥BC，
∴GH∥BC，
∴B，C，H，G 四点共面.
（2）∵E，F 分别是 AB，AC 的中点，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面 BCHG，BC⊂平面 BCHG，
∴EF∥平面 BCHG.
∵A1G 綊 EB，
∴四边形 A1EBG 是平行四边形，
∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面 BCHG，GB⊂平面 BCHG，
∴A1E∥平面 BCHG.
∵A1E∩EF＝E，
∴平面 EFA1∥平面 BCHG.
引申探究
1.在本例条件下，若 D 为 BC1 的中点，求证：
HD∥平面 A1B1BA.
证明如图所示，连接 HD，A1B，
∵D 为 BC1 的中点，H 为 A1C1 的中点，
∴HD∥A1B，
又 HD⊄平面 A1B1BA，
A1B⊂平面 A1B1BA，
∴HD∥平面 A1B1BA.
2.在本例条件下，若 D1，D 分别为 B1C1，BC 的中点，求证：
平面 A1BD1∥平面 AC1D.
证明如图所示，连接 A1C 交 AC1 于点 M，
∵四边形 A1ACC1 是平行四边形，
∴M 是 A1C 的中点，连接 MD，
∵D 为 BC 的中点，
∴A1B∥DM.
∵A1B⊂平面 A1BD1，
DM⊄平面 A1BD1，
∴DM∥平面 A1BD1.
又由三棱柱的性质知，D1C1 綊 BD，
∴四边形 BDC1D1 为平行四边形，
∴DC1∥BD1.
又 DC1⊄平面 A1BD1，BD1⊂平面 A1BD1，
∴DC1∥平面 A1BD1，
又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM⊂平面 AC1D，
∴平面 A1BD1∥平面 AC1D.
思维升华证明面面平行的方法：
（1）面面平行的定义；
（2）面面平行的判定定理：
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两
个平面平行；
（3）利用垂直于同一条直线的两个平面平行；
（4）两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；
（5）利用“线线平行”“线面平行”“面面平行”的相互转化.
如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，S 是 B1D1 的中点，
E、F、G 分别是 BC、DC、SC 的中点，求证：
（1）直线 EG∥平面 BDD1B1；
（2）平面 EFG∥平面 BDD1B1.
证明
（1）如图，连接 SB，
∵E，G 分别是 BC，SC 的中点，∴EG∥SB.
又∵SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1，
∴直线 EG∥平面 BDD1B1.
（2）连接 SD，∵F，G 分别是 DC，SC 的中点，
∴FG∥SD.
又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1，
∴FG∥平面 BDD1B1，
又 EG⊂平面 EFG，FG⊂平面 EFG，EG∩FG＝G，
∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.
题型三平行关系的综合应用
例 4在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，如图.
（1）求证：
平面 AB1D1∥平面 C1BD；
（2）试找出体对角线 A1C 与平面 AB1D1 和平面 C1BD 的交点 E，F，并
证明 A1E＝EF＝FC.
（1）证明因为在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，
AD 綊 B1C1，所以四边形 AB1C1D 是平行四边形，
所以 AB1∥C1D.
又因为 C1D⊂平面 C1BD，AB1⊄平面 C1BD，
所以 AB1∥平面 C1BD.
同理，B1D1∥平面 C1BD.
B
又因为 AB1∩B1D1＝B1，AB1⊂平面 AB1D1， 1D1⊂平面 AB1D1，所以平面 AB1D1∥平面 C1BD.
（2）解如图，连接 A1C1 交 B1D1 于点 O1，连接 AO1，与 A1C 交于点 E.
因为 AO1⊂平面 AB1D1，
所以点 E 也在平面 AB1D1 内，
所以点 E 就是 A1C 与平面 AB1D1 的交点.
连接 AC 交 BD 于点 O，连接 C1O，与 A1C 交于点 F，
则点 F 就是 A1C 与平面 C1BD 的交点.
下面证明 A1E＝EF＝FC.
因为平面 A1C1C∩平面 AB1D1＝EO1，
平面 A1C1C∩平面 C1BD＝C1F，
平面 AB1D1∥平面 C1BD，
所以 EO1∥C1F，
A1C1F 中，O1 是 A1C1 的中点，
所以 E 是 A1F 的中点，即 A1E＝EF.
同理可证 OF∥AE，所以 F 是 CE 的中点，即 FC＝EF，
所以 A1E＝EF＝FC.
思维升华
（1）线面平行和面面平行的性质都体现了转化思想.
（2）对较复杂的综合结论问题往往需要反复运用线面平行的判定定理和性质定理来进行证
明，有如下方法：
线线平行 ―――――→ 线面平行
或作一直线
经过直线找或作平面与
已知平面的交线
如图所示，四棱锥 P－ABCD 的底面是边长为 a 的正方形，侧
3
AB 上找一点 F，使 EF∥平面 PAD.
解如图所示，在平面 PCD 内，过 E 作 EG∥CD 交 PD 于 G，
连接 AG，在 AB 上取点 F，使 AF＝EG，
∵EG∥CD∥AF，EG＝AF，
∴四边形 FEGA 为平行四边形，
∴FE∥AG.
又 AG⊂平面 PAD，FE⊄平面 PAD，
∴EF∥平面 PAD.
∴F 即为所求的点.
又 PA⊥面 ABCD，∴PA⊥BC，
又 BC⊥AB，∴BC⊥面 PAB.
∴PB⊥BC.
∴PC2＝BC2＋PB2＝BC2＋AB2＋PA2.
设 PA＝x 则 PC＝2a2＋x2，
由 PB· BC＝BE· PC 得：
3 a，
∴x＝a，即 PA＝a，∴PC＝ 3a.
3 a，
22
＝ ，
222
333
2
3
故点 F 是 AB 上靠近 B 点的一个三等分点.
5.立体几何中的探索性问题
典例（12 分）如图，在四棱锥 S－ABCD 中，已知底面 ABCD 为直角梯
形，其中 AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面 ABCD，SA＝AB＝BC＝
2
3
（1）求四棱锥 S－ABCD 的体积；
（2）在棱 SD 上找一点 E，使 CE∥平面 SAB，并证明.
规范解答
2
3
∴AD＝3.[2 分]
由题意知四棱锥 S－ABCD 的底面为直角梯形，且 SA＝AB＝BC＝2，[4 分]
11
VS－ABCD＝3×SA×2×（BC＋AD）×AB
1110
323
（2）当点 E 位于棱 SD 上靠近 D 的三等分点处时，可使 CE∥平面 SAB.[8
分]
证明如下：
取 SD 上靠近 D 的三等分点为 E，取 SA 上靠近 A 的三等分点为 F，连接
CE，EF，BF，
22
33
∴BC 綊 EF，∴CE∥BF.[10 分]
又∵BF⊂平面 SAB，CE⊄平面 SAB，
∴CE∥平面 SAB.[12 分]
解决立体几何中的探索性问题的步骤
第一步：
写出探求的最后结论.
第二步：
证明探求结论的正确性.
第三步：
给出明确答案.
第四步：
反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.
温馨提醒
（1）立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不
完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出
结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾的
结论就否定假设.
（2）这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：
从结论出发“要使……成立”，“只
需使……成立”.
[方法与技巧]
1.平行问题的转化关系
2.直线与平面平行的主要判定方法
（1）定义法；
（2）判定定理；（3）面与面平行的性质.
3.平面与平面平行的主要判定方法
（1）定义法；
（2）判定定理；（3）推论；（4）a⊥α，a⊥βα∥β.
[失误与防范]
.
1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误
2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平
行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要
注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.
3.解题中注意符号语言的规范应用.
A 组专项基础训练
（时间：
35 分钟）
1.平面 α∥平面 β，点 A，C∈α，B，D∈β，则直线 AC∥直线 BD 的充要条件是（）
A.AB∥CD
C.AB 与 CD 相交
B.AD∥CB
D.A，B，C，D 四点共面
答案D
解析充分性：
A，B，C，D 四点共面，由平面与平面平行的性质知 AC∥BD.必要性显然成
立.
2.（2015· 安徽）已知 m，n 是两条不同直线，α，β 是两个不同平面，则下列命题正确的是（）
A.若 α，β 垂直于同一平面，则 α 与 β 平行
B.若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行
C.若 α，β 不平行，则在 α 内不存在与 β 平行的直线
D.若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面
答案D
解析对于 A，α，β 垂直于同一平面，α，β 关系不确定，故 A 错；对于 B，m，n 平行于
同一平面，m，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故 B 错；对于 C，α，β 不平行，但 α
内能找出平行于 β 的直线，如 α 中平行于 α，β 交线的直线平行于 β，故 C 错；对于 D，若
假设 m，n 垂直于同一平面，则 m∥n，其逆否命题即为 D 选项，故 D 正确.
3.设 l 为直线，α，β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是（）
A.若 l∥α，l∥β，则 α∥β
B.若 l⊥α，l⊥β，则 α∥β
C.若 l⊥α，l∥β，则 α∥β
D.若 α⊥β，l∥α，则 l⊥β
答案B
解析l∥α，l∥β，则 α 与 β 可能平行，也可能相交，故 A 项错；由“同垂直于一条直线的
两个平面平行”可知 B 项正确；由 l⊥α，l∥β 可知 α⊥β，故 C 项错；由 α⊥β，l∥α 可知 l
与 β 可能平行，也可能 l⊂β，也可能相交，故 D 项错.故选 B.
4.给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面 α、β、γ 的三个命题：
①若 l 与 m 为异面直线，l⊂α，m⊂β，则 α∥β；
②若 α∥β，l⊂α，m⊂β，则 l∥m；
③若 α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则 m∥n.
其中真命题的个数为（）
A.3B.2C.1D.0
答案C
解析①中当 α 与 β 不平行时，也可能存在符合题意的 l、m；②中 l 与 m 也可能异面；③
⎧l∥γ
中⎨l⊂α
⎩α∩γ＝n
⇒l∥n，同理，l∥m，则 m∥n，正确.
5.下列四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，
能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是（）
A.①③B.①④C.②③D.②④
答案B
解析①中易知 NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面 MNP∥平面 AA′B 可得出 AB∥平面 MNP（如图）.
④中，NP∥AB，能得出 AB∥平面 MNP.
6.在四面体 A－BCD 中，M，N 分别是△ACD，△BCD 的重心，则四面体的四个面中与 MN
平行的是________.
答案平面 ABD 与平面 ABC
解析如图，取 CD 的中点 E，连接 AE，BE.
则 EM∶MA＝1∶2，
EN∶BN＝1∶2，
所以 MN∥AB.
所以 MN∥平面 ABD，
MN∥平面 ABC.
7.将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命
题称为“可换命题”.给出下列四个命题：
①垂直于同一平面的两直线平行；②垂直于同一
平面的两平面平行；③平行于同一直线的两直线平行；④平行于同一平面的两直线平行 .其
中是“可换命题”的是________.（填命题的序号）
答案①③
解析由线面垂直的性质定理可知 ①是真命题，且垂直于同一直线的两平面平行也是真命
题，故①是“可换命题”；因为垂直于同一平面的两平面可能平行或相交，所以②是假命题，
不是“可换命题”；由基本性质 4 可知③是真命题，且平行于同一平面的两平面平行也是真
命题，故③是“可换命题”；因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故④
是假命题，故④不是“可换命题”.
8.如图，在正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F、G、H 分别是棱 CC1、
C1D1、D1D、CD 的中点，N 是 BC 的中点，动点 M 在四边形 EFGH 上
及其内部运动，则 M 满足条件________时，有 MN∥平面 B1BDD1.
答案M∈线段 FH
解析因为 HN∥BD，HF∥DD1，所以平面 NHF∥平面 B1BDD1，故线
段 FH 上任意点 M 与 N 相连，都有 MN∥平面 B1BDD1.（答案不唯一）
9.如图，ABCD 与 ADEF 为平行四边形，M，N，G 分别是 AB，AD，
EF 的中点.
求证：
（1）BE∥平面 DMF；
（2）平面 BDE∥平面 MNG.
证明
（1）如图，连接 AE，则 AE 必过 DF 与 GN 的交点 O，连接 MO，则 MO
ABE 的中
位线，所以 BE∥MO，
又 BE⊄平面 DMF，MO⊂平面 DMF，
所以 BE∥平面 DMF.
（2）因为 N，G 分别为平行四边形 ADEF 的边 AD，EF 的中点，
所以 DE∥GN，
又 DE⊄平面 MNG，GN⊂平面 MNG，
所以 DE∥平面 MNG.
又 M 为 AB 中点，所以 MN
ABD 的中位线，
所以 BD∥MN，
又 BD⊄平面 MNG，MN⊂平面 MNG，
所以 BD∥平面 MNG，
又 DE 与 BD 为平面 BDE 内的两条相交直线，
所以平面 BDE∥平面 MNG.
10.如图，E、F、G、H 分别是正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱 BC、CC1、
C1D1、AA1 的中点.求证：
（1）EG∥平面 BB1D1D；
（2）平面 BDF∥平面 B1D1H.
证明
（1）取 B1D1 的中点 O，连接 GO，OB，
易证四边形 BEGO 为平行四边形，故 OB∥GE，
由线面平行的判定定理即可证 EG∥平面 BB1D1D.
（2）由题意可知 BD∥B1D1.
如图，连接 HB、D1F，
易证四边形 HBFD1 是平行四边形，故 HD1∥BF.
又 B1D1∩HD1＝D1，
BD∩BF＝B，
所以平面 BDF∥平面 B1D1H.
B 组专项能力提升
（时间：
20 分钟）
11.设 m，n 是两条不同的直线，α，β
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