矩阵秩的研究与应用.docx

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矩阵秩的研究与应用

矩阵秩的研究与应用

[摘要]矩阵是数学中的一个重要的根本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究的一个重要工具。

矩阵理论是线性代数的主要组成局部，也是线性方程组的理论根底。

而在矩阵的理论中，矩阵的秩是一个根本概念，也是矩阵最重要的数量特征之一，它在初等变换下是一个不变量。

它反映矩阵固有特性的一个重要概念。

矩阵一旦确定秩也就确定了。

它是高等代数课程中的一个参考指标，其定义、性质、求法、应用等相关内容在高等代数中出现的极为频繁，作用较大。

本文首先介绍了矩阵秩的相关理论知识：

即秩的几种不同定义，相关性质，以及矩阵秩的三种常见求法，并对三种求法做了一个简单的比拟分析。

后面着重介绍了矩阵秩的应用局部，主要是其在线性代数中的应用和解析几何上的应用。

这里就不细说了，具体内容还得从文章中来了解。

[1][2][3]

[关键词]：

矩阵的秩，定义，性质，求法，应用，高等代数。

矩阵秩的研究与应用

1前言

矩阵在高等代数理论中极其重要并且应用广泛，它是线性代数的核心，而矩阵的秩作为研究矩阵的一个重要工具，其秩的理论研究非常重要。

更重要的是将它推广到实际应用中，那么我们目前在其应用方面的研究又到达了一个什么程度呢？

本文主要是对矩阵秩的应用方面的一个总结，让学者对其有个更清晰的认识，使后面的学者对矩阵的学习更轻松，更全面。

矩阵方面的理论是非常重要的内容，历年来许多学者对它都有研究，而且其中的局部理论有了很广泛的应用，例如矩阵分析法在企业战略管理、营销活动、供给链管理技术、教学效率评价、射击训练效果评价等方面都起到举足轻重的作用；不仅在本文中的线性代数和解析几何中的理论上的应用，而且在其他领域上也有更实际贴切的应用。

如在控制论中，矩阵的秩可用来确定线性系统是否为可控制的，或可观的；此外，矩阵的秩在教学中还有更广泛的应用，如在测量平差中的应用。

理论指导实践，所以我着重选择了矩阵秩在理论上的应用的局部来进行探讨，其意义更加广泛且深远。

在前人研究的根底上，我主要是对其进行了一个归纳总结，并简单的说了些自己的感想，希望大家能够从中有所收获。

2矩阵的理论研究

2.1矩阵秩的定义：

秩的定义形式上看比拟简单，但是难于理解为什么这样定义，有什么缘由？

事实上矩阵秩的概念是从线性方程组中来的：

给出个元一次方程组成的方程组，其中有些方程可以用别的方程来运算得出，因此这些方程去掉后，不影响方程的通解性。

比方方程可以由以下两个方程相减得出

因此由这三个方程组成的方程组与由后面两个方程组成的方程组是同解的，

是多余的，可去掉。

这样对于个元一次方程组成的方程组就可想方法去掉那些可用其他方程表示的方程，剩下相互独立的方程。

例如高斯消元法来去掉，而剩下的那些独立的方程的个数就是这个方程组的秩，矩阵的秩是从方程组的秩中来的，理解了这个就理解了秩的概念，这也是秩的几何意义。

如果从向量的相关性的角度考虑，可以这样认为：

是矩阵的行〔列〕向量组的极大线性无关组的这个数，即这个向量组的行〔列〕秩。

传统的代数中有两种定义矩阵的秩的方法：

定义1：

一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩.所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩,矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩.矩阵的行秩等于矩阵的列秩,并统称为矩阵的秩。

定义2：

设.假设有一个阶子式不为，且的所有阶子式〔假设有阶子式〕全为或不存在，那么称为的秩，记作,

假设，那么。

定义一、定义二，这两个定义是等价的。

它的等价性可由向量的线性相关性来证，课本中已有证明。

关于矩阵秩的刻画方式很多，下面给出的命题1就是关于矩阵秩的等价描述的一组结论．

命题1　设为矩阵，那么下面各结论等价：

1）;

2）的行向量组的秩等于;

3）的列向量组的秩等于；

4）的行空间的维数等于；

5）的列空间的维数等于；

6）元其次线性方程组的解空间的维数等于。

定义3：

矩阵经过初等行变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵的秩为,记为.特别,零矩阵的秩.

该定义不仅便于理解，用该定义计算矩阵的秩也十分方便.只要对矩阵进行初等变换成阶梯型就能直接看出其秩了.实际上定义三就是根据定理“初等变换不改变矩阵的秩〞得来的。

下面举例以加深理解和比拟这三个定义：

例1求矩阵的秩其中；

解：

法一〔定义1〕

有4个3阶子式，，，，.即它的所有3阶子式均为0.

我们再随便写几个它的2阶子式，，故的秩为2.

法二〔定义2〕

令，，.那么.

显然中两两不成比例，故秩不可能是1，但可能是2，这还需要验证，

令.

那么带入数据，即有，解得，

即有，也就是能被线性表出。

故其秩为2.

法三〔定义3〕

，最终阶梯型矩阵不为0的行数是2，故其秩为2.[1][2][7]

2.2矩阵秩的性质：

1、

2、

3、

4、

5、假设的秩为，那么存在可逆矩阵、使得.

6、，当且仅当是零矩阵；

7、，当且仅当；假设，那么；

8、；

由上述性质7，我们又可以得到

命题2，从而有以下一些等价条件：

1）矩阵的秩等于；

2）矩阵的行列式不为零；

3）矩阵是可逆矩阵；

4）齐次线性方程组只有零解；

5）矩阵能表示成一些初等矩阵的乘积的形式；

6）矩阵的所有特征值均不为零。

有了这些等价条件，在解决一些具体问题的时候是十分方便的。

[4][5][8]

2.3秩的求法：

求矩阵秩的方法很多，拿来一个题目首先要认真仔细审题，尤其要挖掘题设所隐含的、不明显的条件，寻找这些题设与要解得结论的关系，从而确定解题思路。

有时也要做一些技巧的变形，或构造一些辅助的条件，作为解决问题的桥梁，这是难点所在。

也正是数学难学的原因所在，总之，要因题而异，所谓学无定法。

比方对一个具体矩阵来说，秩的求法可利用上面提到的三个定义求得，既简便，又可行，如例1三种方法均可使用，难易程度不分彼此。

而对于一些抽象矩阵那么很难一下看出思路和方法，还需利用其他知识等综合考虑问题，这需要学生多多做题，积累经验，具体问题具体分析。

我们来看下面一个例题。

例2.3设是阶方阵，

试证：

如果，那么

.

分析：

解这个题需要由题设联想到秩与齐次线性方程组关联，清楚与两者的关系，更深一步是需要明白矩阵乘积的意义.

证明：

因为，所以的列向量都是齐次线性方程组的解，所以小于或等于方程组的根底解系的个数，即

，

从而得

.

现在我们回过头来看例1，比拟三个定义来求矩阵秩的方法优劣。

1、从逻辑性方面看：

用定义3的方法逻辑推理性不强，没有层次感，学生较难理解接受；相比之下，用定义2，定义1的方法，逻辑推理性较强，层次清楚，步骤明确，学生比拟容易理解接受。

2、从计算量方面看：

定义3的方法计算量较小。

对于常见的4行5列矩阵，用定义3的方法通常只需3—5个步骤、10次左右的初等变换就可求出秩。

如果能够灵活地将初等行变换、初等列变换交替使用，过程就更简单了；相比之下，用定义2的方法计算量非常大。

对于上述常见的4行5列矩阵，存在4、3、2、1阶子式，其中4阶子式有个，3阶子式有个，2阶子式有个，1阶子式有个，这样一个个算，量是非常大的。

对行列数更多的矩阵，要计算的就更多了，计算量也就更大了。

定义1的运算量也相当大，解多元方程组也是一个棘手的过程。

3、从计算难度方面看：

对于行列数均的矩阵而言，两种方法难度相差不大。

而对于行列数均的矩阵而言，用定义3的方法难度较小，用定义1、定义2的方法难度较大，且矩阵的行列数越大，前者和后两者方法难度的差距也随之增大。

4、从正确率方面看：

对于行列数的矩阵而言，三种方法也相差无几。

而对于行列数均的矩阵而言，用定义3的方法步骤简练，中间过程较少，因而出错的可能性相对较小，正确率较高；而用定义1、定义2的方法步骤繁多，且有一定难度，因而出错的可能性相对较大，正确率也较低。

综合以上几个方面，用定义3的方法虽然相对不易理解接受，但实际应用时步骤简练，计算量相对较小，正确率较高；而用定义1、定义2的方法虽然相对较易理解接受，但实际应用时步骤繁琐，计算量很大，正确率也较低。

故而得出下面结论：

在求矩阵的秩时，用定义3的方法要优于前面两种方法。

[3]

3矩阵的秩在线性代数中的应用

3.1矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用

我们先了解下向量组线性相关的定义以及线性无关的定义，还有就是向量组的极大线性无关组的概念，那么矩阵的秩和它们又有什么联系呢？

定义4：

如果向量组〔*〕中有一个向量可以由其余的向量线性表出，那么向量组称为线性相关的.

定义5：

一向量组不线性相关，即没有不全为零的数使

就成为线性无关；或者说，一向量组称为线性无关，如果由

可以推出

.

定义6：

一向量组的一个局部组称为一个极大线性无关组，如果这个局部组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添一个向量〔如果还有的话〕，所得的局部向量组都线性相关.

结合定义一，我们要判断向量组〔*〕是否线性相关，只需求出该向量组构成的矩阵的秩即可，其秩也就是其极大线性无关组的个数，从而判断出其是否线性相关。

定理3.1.1设，令，其中是矩阵，为维列向量，且，那么

线性相关有非零解.

线性无关只有零解.

定理3.1.2向量组与向量组能够互相线性表出，那么称这两个向量组等价。

其等价的充分必要条件是

其中和分别是向量组和所构成的矩阵.

例3.1设有向量组

；

.

试问：

当为何值时，向量组与等价？

当为何值时，向量组与不等价？

解作初等航变换，有

当时，有行列式，，故线性方程组均有唯一解.

所以可由向量组线性表示.

行列式，故可由向量组线性表示.

因此向量组与等价.

当时，有

由于，线性方程组无解，故向量不能由线性表示.

因此向量组与不等价.

向量组的秩与向量组的最大无关组密切相关，向量空间的基的本质就是向量空间的一个最大无关组，向量组的秩又恰好等于其构成的矩阵的秩，这使得矩阵的秩与向量空间的维数和向量空间的基相联系.因此，研究矩阵的秩、向量组的秩、向量空间的维数以及线性方程组解得理论和方法密不可分.

3.2矩阵的秩在求解线性方程组问题中的应用

线性方程组问题是高等代数中极其重要的一类问题,在解决和讨论线性方程组的解的问题时,我们可以运用矩阵的秩的知识.而线性方程组要解决的问题可以归纳为以下三类问题：

1.方程组是否有解？

2.方程组有解时,解的个数是多少？

3.如何求出解?

对于上述三个问题,无一不与矩阵的秩有关。

下面的定理4.2.1建立了线性方程组解的判定与矩阵秩之间的关系，从而将线性方程组解得判定问题转化为计算系数矩阵与增广矩阵秩，并判断系数矩阵与增广矩阵的秩是否相等的问题，使线性方程组解的判定与求解难度大大降低.

定理3.2.1元线性方程组

无解的充分必要条件是；

有唯一解的充分必要条件是；

有无限多解的充分必要条件是.

例3.2.1设有线性方程组

〔*〕

问取何值时，次方程组有唯一解；无解；有无限多个解？

并在有无限多解时求其通解.

解法一对增广矩阵作初等行变换，把它变为行阶梯形矩阵，有

当且时，，方程组有唯一解；

当时，，方程组无解；

当时，，方程组有无限多个解.

继续对增广矩阵作初等变换，将其化为最简形

由此得同解的线性方程组

为自由未知量，令.那么方程组〔*〕的通解为

解法二因系数矩阵为方阵，故方程有唯一解的充分必要条件是系数行列式.而

因此，当且时，方程组〔*〕有唯一解；

当时，对增广矩阵作初等行变换，将其化为

那么，故方程组〔*〕无解；

当时，对增广矩阵作初等行变换，将其化为

那么，故方程组〔*〕有无限多个解，其通解为

上例中介绍的两种解决问题的方案各有特点.解法一直接利用上面定理4.2.1的结论来判