人教版八年级上册数学 第十一章 三角形练习题.docx
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人教版八年级上册数学第十一章三角形练习题
八年级上册数学试题:
第十一章三角形练习题
一.精心选一选(共12小题)
1.下列说法错误的是( )
A.三角形的高、中线、角平分线都是线段
B.三角形的三条中线都在三角形内部
C.锐角三角形的三条高一定交于同一点
D.三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
2.已知一个多边形的外角和比它的内角和少540°,则该多边形的边数为( )
A.7B.8C.9D.10
3.已知三角形的两边分别为4和10,则此三角形的第三边可能是( )
A.4B.5C.9D.14
4.如果线段AM和线段AN分别是△ABC边BC上的中线和高,那么下列判断正确的是( )
A.AM>ANB.AM≥ANC.AM<AND.AM≤AN
5.如图,在△ABC中,AB⊥AC,DE∥BC,∠B=46°,则∠AED的度数是( )
A.44°B.46°C.54°D.56°
6.一个正多边形的外角等于36°,则这个正多边形的内角和是( )
A.1440°B.1080°C.900°D.720°
7.如图,在△ABC中,AC边上的高是( )
A.BEB.ADC.CFD.AF
8.一个多边形所有内角与外角的和为1260°,则这个多边形的边数是( )
A.5B.7C.8D.9
9.小磊利用最近学习的数学知识,给同伴出了这样一道题:
假如从点A出发,沿直线走5米后向左转θ,接着沿直线前进5米后,再向左转……如此下去,当他第一次回到A点时,发现自己走了60米,θ的度数为( )
A.28°B.30°C.33°D.36°
10.如图,在△ABC中,∠A=50°,∠1=30°,∠2=40°,∠D的度数是( )
A.110°B.120°C.130°D.140°
11.如图,在△ABC中,AD⊥BC,AE平分∠BAC,若∠BAE=30°,∠CAD=20°,则∠B=( )
A.45°B.60°C.50°D.55°
12.如图,正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′,旋转角为α(0°<α<90°),若DE⊥B′C′,则∠α为( )
A.36°B.54°C.60°D.72°
二.认真填一填(共6小题)
13.正五边形的一个外角的大小为 度.
14.已知三角形的两条边长分别为3cm和2cm,如果这个三角形的第三条边长为奇数,则这个三角形的周长为 cm.
15.赵师傅在做完门框后,为防止变形,如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条(即图中的AB,CD两根木条),这其中的数学原理是 .
16.如图,六边形ABCDEF的各角都相等,若m∥n,则∠1+∠2= °.
17.如图,△ABC中,∠A=55°,将△ABC沿DE翻折后,点A落在BC边上的点A′处.如果∠A′EC=70°,那么∠A′DB的度数为 .
18.将一副三角板ABC如图放置,使点A在DE上,BC∥DE,其中,则∠E=30°,则∠AFC的度数是 .
三.仔细答一答(共5小题)
19.
(1)如图1,已知△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,垂足为D,∠A=40°,则∠DBC= °.
(2)若把
(1)中∠A=40°改为∠A=n°,其它条件不变,请用含n的式子表示∠DBC,并证明你的结论.
(3)如图2,四边形ABCD中,AD∥BC,点E在四边形ABCD内部,在△CDE中,∠DEC=90°,且AD=BC=DE=CE,连接AE,BE,求∠AEB的度数.
20.如图,在△ABC中,点D在BC上,∠ADB=∠BAC,BE平分∠ABC,过点E作EF∥AD,交BC于点F.
(1)求证:
∠BAD=∠C;
(2)若∠C=20°,∠BAC=110°,求∠BEF的度数.
21.如图1,已知线段AB、CD相交于点O,连接AC、BD,则我们把形如这样的图形称为“8字型”.
(1)求证:
∠A+∠C=∠B+∠D;
(2)如图2,若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P,且与CD、AB分别相交于点M、N.
①以线段AC为边的“8字型”有 个,以点O为交点的“8字型”有 个;
②若∠B=100°,∠C=120°,求∠P的度数;
③若角平分线中角的关系改为“∠CAP=
∠CAB,∠CDP=
∠CDB”,试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系,并证明理由.
22.已知(如图1)在△ABC中,∠B>∠C,AD平分∠BAC,点E在AD的延长线上,过点E作EF⊥BC于点F,设∠B=α,∠C=β.
(1)当α=80°,β=30°时,求∠E的度数;
(2)试问∠E与∠B,∠C之间存在着怎样的数量关系,试用α、β表示∠E,并说明理由;
(3)若∠EFB与∠BAE平分线交于点P(如图2),当点E在AD延长线上运动时,∠P是否发生变化,若不变,请用α、β表示∠P;若变化,请说明理由.
23.如图1,已知两条直线AB,CD被直线EF所截,分别交于点E,点F,EM平分∠AEF交CD于点M,且∠FEM=∠FME.
(1)直线AB与直线CD是否平行,说明你的理由;
(2)如图2,点G是射线MD上一动点(不与点M,F重合),EH平分∠FEG交CD于点H,过点H作HN⊥EM于点N,设∠EHN=α,∠EGF=β.
①当点G在点F的右侧时,若β=60°,求α的度数;
②当点G在运动过程中,α和β之间有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,并加以证明.
参考答案
一.选择题
1.解:
A、三角形的高、中线、角平分线都是线段,故正确;
B、三角形的三条中线都在三角形内部,故正确;
C、锐角三角形的三条高一定交于同一点,故正确;
D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的,三条高线所在的直线一定交于一点,高线指的是线段,故错误.
故选:
D.
2.解:
设多边形的边数是n,
根据题意得,(n﹣2)•180°﹣360°=540°,
解得n=7.
故选:
A.
3.解:
设此三角形第三边的长为x,则10﹣4<x<10+4,即6<x<14,四个选项中只有9符合条件.
故选:
C.
4.解:
∵线段AN是△ABC边BC上的高,
∴AN⊥BC,
由垂线段最短可知,AM≥AN,
故选:
B.
5.解:
∵DE∥BC,∠B=46°,
∴∠ADE=∠B=46°(两直线平行,同位角相等);
又∵AB⊥AC,
∴∠A=90°,
∴在△ADE中,∠AED=90°﹣∠ADE=44°;
故选:
A.
6.解:
∵一个正多边形的外角等于36°,
∴这个正多边形是正十边形,
∴内角和为(10﹣2)×180°=1440°,
故选:
A.
7.解:
在△ABC中,AC边上的高是线段BE,
故选:
A.
8.解:
多边形的内角和是:
1260°﹣360°=900°,
设多边形的边数是n,
则(n﹣2)•180=900,
解得:
n=7,
故选:
B.
9.解:
∵第一次回到出发点A时,所经过的路线正好构成一个正多边形,
∴正多边形的边数为:
60÷5=12,
根据多边形的外角和为360°,
∴则他每次转动θ的角度为:
360°÷12=30°,
故选:
B.
10.解:
∴∠A=50°,
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°,
∴∠DBC+∠DCB=∠ABC+∠ACB﹣∠1﹣∠2=130°﹣30°﹣40°=60°,
∴∠BDC=180°﹣(∠DBC+∠DCB)=120°,
故选:
B.
11.解:
∵AE平分∠BAC,
∴∠BAE=∠CAE=30°,
∴∠EAD=∠EAC﹣∠DAC=30°﹣20°=10°,
∵AD⊥BC,
∴∠ADE=90°,
∴∠AED=90°﹣∠EAD=80°,
∵∠AED=∠B+∠BAE,
∴∠B=80°﹣30°=50°,
故选:
C.
12.解:
DE与B′C′相交于点O,如图,
∵五边形ABCDE为正五边形,
∴∠B=∠BAE=∠E=
=108°,
∵正五边形ABCDE绕点A顺时针旋转后得到正五边形AB′C′D′E′,旋转角为α(0°≤α≤90°),
∴∠BAB′=α,∠B′=∠B=108°,
∵DE⊥B′C′,
∴∠B′OE=90°,
∴∠B′AE=360°﹣∠B′﹣∠E﹣∠B′OE=360°﹣108°﹣108°﹣90°=54°,
∴∠BAB′=∠BAE﹣∠B′AE=108°﹣54°=54°,
即∠α=54°.
故选:
B.
二.填空题(共6小题)
13.解:
正五边形的一个外角=
=72°.
故答案为:
72.
14.解:
设第三边长为x.
根据三角形的三边关系,则有3﹣2<x<2+3,
即1<x<5,
因为第三边的长为奇数,
所以x=3,
所以周长=3+3+2=8.
故答案为:
8;
15.解:
赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性.
故答案为:
三角形的稳定性.
16.解:
延长DC,交直线n于点G,
∵六边形ABCDEF的各角都相等,
∴AF∥DC,
∴∠2=∠3,
又∵m∥n,
∴∠3+∠4=180°,
∵∠4=∠1,
∴∠1+∠2=180°,
故答案为:
180.
17.解:
由翻折的性质可知:
∠ADE=∠EDA′,∠AED=∠A′ED=
(180°﹣70°)=55°,
∵∠A=55°,
∴∠ADE=∠EDA′=180°﹣55°﹣55°=70°,
∴∠A′DB=180°﹣140°=40°,
故答案为40°.
18.解:
∵BC∥DE,
∴∠BCE=∠E=30°,
∵∠B=45°,
∴∠AFC=∠B+∠BCF=45°+30°=75°.
故答案为75°.
三.解答题(共5小题)
19.解:
(1)∵AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠C=
(180°﹣40°)=70°,
∵BD⊥AC,
∴∠ABD=90°﹣40°=50°,
∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣50°=20°
故答案为20.
(2)结论:
理由:
∵AB=AC,
∴
,
∵BD⊥AC,
∴在Rt△BCD中,
.
(3)过点E作EF⊥AD于F,延长FE交BC于点G,则∠AFG=90°,
∵AD∥BC,
∴∠BGF=180°﹣∠AFG=90°,
∴EG⊥BC,
在△DEC中,∠1+∠2=180°﹣∠DEC=90°,
∵AD∥BC,
∴∠3+∠4=180°﹣(∠1+∠2)=90°,
在△ADE中,AD=DE,EF⊥AD,
在△BCE中,BC=CE,EG⊥BC,
由
(2)得
,
∴
,
∴∠AEB=180°﹣(∠5+∠6)=135°.
20.
(1)证明:
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180°,∠ABC+∠BDA+∠BAD=180°,∠BDA=∠BAC,
∴∠BAD=∠C.
(2)解:
∵∠C=20°,∠BAC=110°,
∴∠ABC=180°﹣20°﹣110°=50°,
∵BE平分∠ABC,
∴∠EBF=
∠ABC=25°,
∵∠BDA=∠BAC=110°,
∴∠BHD=180°﹣∠HBD﹣∠BDA=180°﹣25°﹣110°=45°,
∵AD∥EF,
∴∠BEF=∠BHD=45°.
21.
(1)证明:
在图1中,有∠A+∠C=180°﹣∠AOC,∠B+∠D=180°﹣∠BOD,
∵∠AOC=∠BOD,
∴∠A+∠C=∠B+∠D;
(2)解:
①3;4;
故答案为:
3,4;
②以M为交点“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N为交点“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴2∠P+∠BAP+∠CDP=∠B+∠C+∠CAP+∠BDP,
∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC,
∴∠BAP=∠CAP,∠CDP=∠BDP,
∴2∠P=∠B+∠C,
∵∠B=100°,∠C=120°,
∴∠P=
(∠B+∠C)=
(100°+120°)=110°;
③3∠P=∠B+2∠C,其理由是:
∵∠CAP=
∠CAB,∠CDP=
∠CDB,
∴∠BAP=
∠CAB,∠BDP=
∠CDB,
以M为交点“8字型”中,有∠P+∠CDP=∠C+∠CAP,
以N为交点“8字型”中,有∠P+∠BAP=∠B+∠BDP
∴∠C﹣∠P=∠CDP﹣∠CAP=
(∠CDB﹣∠CAB),
∠P﹣∠B=∠BDP﹣∠BAP=
(∠CDB﹣∠CAB).
∴2(∠C﹣∠P)=∠P﹣∠B,
∴3∠P=∠B+2∠C.
22.解:
(1)∵∠B=80°,∠C=30°,
∴∠BAC=180°﹣80°﹣30°=70°,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=
BAC=35°,
∴∠EDF=∠ADB=180°﹣35°﹣80°=65°,
∵EF⊥BC,
∴∠EFD=90°,
∴∠E=90°﹣65°=25°;
(2)∵∠EDF=∠C+∠CAD,∠CAD=
∠BAC=
(180°﹣α﹣β),
∴∠EDF=∠C+90°﹣
α﹣
β=90°﹣
(α﹣β),
∵∠EFD=90°,
∴∠DEF=
(α﹣β);
(3)设AP与BC交于G,
∵AD平分∠BAC,
∴∠BAD=
BAC=
(180°﹣α﹣β),
∵AP平分∠BAE,
∴∠BAP=
BAD=
(180°﹣α﹣β),
∴∠PGF=∠AGB=180°﹣∠B﹣∠BAP=180°﹣α﹣
(180°﹣α﹣β)=135°﹣
α+
β,
∵PF平分∠EFB,
∴∠PFB=45°,
∴∠P=180°﹣∠PFB﹣∠PGF=180°﹣45°﹣(135°﹣
α+
β)=
α﹣
β,
故∠P不会发生变化.
23.解:
(1)结论:
AB∥CD.
理由:
如图1中,
∵EM平分∠AEF交CD于点M,
∴∠AEM=∠MEF,
∵∠FEM=∠FME.
∴∠AEM=∠FME,
∴AB∥CD.
(2)①如图2中,
∵AB∥CD,
∴∠BEG=∠EGH=β=60°,
∴∠AEG=120°,
∵∠AEM=∠EMF,∠HEF=∠HEG,
∴∠HEN=∠MEF+∠HEF=
∠AEG=60°,
∵HN⊥EM,
∴∠HNE=90°,
∴∠EHN=90°﹣∠HEN=30°.
②猜想:
α=
β或α=90°﹣
β
理由:
①当点G在F的右侧时,
∵AB∥CD,
∴∠BEG=∠EGH=β,
∴∠AEG=180°﹣β,
∵∠AEM=∠EMF,∠HEF=∠HEG,
∴∠HEN=∠MEF+∠HEF=
∠AEG=90°﹣
β,
∵HN⊥EM,
∴∠HNE=90°,
∴α=∠EHN=90°﹣∠HEN=
β.
②当点G在F的左侧时,可得α=90°﹣
β,