第一章 11 112 集合的基本关系.docx

第一章 11 112 集合的基本关系.docx

《第一章 11 112 集合的基本关系.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章 11 112 集合的基本关系.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第一章11112集合的基本关系

1.1.2　集合的基本关系

课标要求

素养要求

理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

会用三种语言（自然语言、图形语言、符号语言）表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.

教材知识探究

草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.

问题　

（1）那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？

（2）集合A与集合B又存在什么关系？

提示　

（1）集合A中的元素都是B的元素.

（2）A是B的子集.

1.子集

（1）子集的概念　A⊆B与AB、A＝B有什么关系

一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）.

读作“A包含于B”（或“B包含A”）

对应地，如果A不是B的子集，则记作A⊆B（或B⊉A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.

规定：

空集是任意一个集合A的子集，即∅⊆A.

（2）子集的性质

①A⊆A；

②对于集合A，B，C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C.

2.真子集

（1）真子集的概念

一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB（或BA），读作“A真包含于B”（或“B真包含A”）.

（2）真子集的性质

①若A不是空集，则∅A；

②对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC.

3.集合的相等与子集的关系　证明集合相等常用

（1）

一般地，由集合相等以及子集的定义可知：

（1）如果A⊆B且B⊆A，则AB；

（2）如果A＝B，则A⊆B且B⊆A.

4.维恩图　维恩图是集合的图形语言，也是集合的一种表示法

（1）定义：

如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图.（维恩图不能表示空集）

（2）用维恩图表示非空集合的基本关系

①A⊆B表示为：

②AB表示为：

③A＝B表示为：

教材拓展补遗

[微判断]

1.1⊆{1，2，3}.（×）

提示　“⊆”表示集合与集合之间的关系，但不能表示元素和集合之间的关系.

2.任何集合都有子集和真子集.（×）

提示　空集只有子集，没有真子集.

3.∅和{∅}表示的意义相同.（×）

提示　∅是不含任何元素的集合，而集合{∅}中含有一个元素∅.

4.若A⊆B，则AB或A＝B.（√）

5.若A⊆B，A≠B，则AB.（√

[微训练]

1.已知集合A＝{－2，3，6m－6}，若{6}⊆A，则m＝________.

解析　∵{6}⊆A，∴6m－6＝6，∴m＝2.

答案　2

2.若A＝{1，a，0}，B＝{－1，b，1}，且A＝B，则a＝________，b＝________.

解析　由两个集合相等可知b＝0，a＝－1.

答案　－1　0

3.若{1，2}⊆B⊆{1，2，4}，则B＝________.

解析　由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是{1，2}或{1，2，4}.

答案　{1，2}或{1，2，4}

[微思考]

1.A⊆B能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？

提示　A⊆B不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A＝∅，则A中不包含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.

2.符号“∈”与“⊆”的区别是什么？

提示　符号“∈”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“⊆”用于表示集合与集合之间的关系.

3.集合A中有n（n∈N*）个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？

提示　由n个元素组成的集合A有2n个子集；

有（2n－1）个真子集；

有（2n－1）个非空子集；

有（2n－2）个非空真子集.

题型一　集合关系的判断或证明

【例1】　指出下列各对集合之间的关系：

（1）A＝{－1，1}，B＝{（－1，－1），（－1，1），（1，－1），（1，1）}；

（2）A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；

（3）A＝（－1，4），B＝{x|x－5<0}；

（4）M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}.

解　

（1）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.

（2）等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.

（3）集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.

（4）由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，故NM.

规律方法　1.判断集合关系的方法

（1）观察法：

一一列举观察.

（2）元素特征法：

首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.

（3）数形结合法：

利用数轴或维恩图.

2.证明A＝B，只需证明A⊆B且B⊆A.

3.证明集合间的包含关系，一般用定义.

【训练1】　

（1）集合A＝{x|（x－3）（x＋2）＝0}，B＝

，则A与B的关系是（　　）

A.A⊆BB.A＝B

C.ABD.BA

（2）已知集合A＝{x|x<－2或x>0}，B＝（0，1），则（　　）

A.A＝BB.AB

C.BAD.A⊆B

解析　

（1）∵A＝{－2，3}，B＝{3}，∴BA.

（2）在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，由数轴知BA.

答案　

（1）D　

（2）C

（3）已知A＝{x|x＝3m－1，m∈Z}，B＝{x|x＝3m＋2，m∈Z}，证明A＝B.

证明　设任意x∈A，则存在m∈Z，使x＝3m－1，

又x＝3m－1＝3（m－1）＋2，且m－1∈Z，

∴x∈B，∴A⊆B.类似地可以证明B⊆A，∴A＝B.

（4）已知A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{x|x＝4n，n∈Z}，证明BA.

证明　设任意x∈B，则存在n∈Z，使x＝4n，

又x＝4n＝2×（2n），2n∈Z，∴x∈A，∴B⊆A.

对于A中元素2，2∉B，∴A≠B，故BA.

题型二　子集、真子集个数问题

【例2】　

（1）集合{a，b，c}的所有子集为________________，其中它的真子集有________个.

解析　集合{a，b，c}的子集有：

∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，其中除{a，b，c}外，都是{a，b，c}的真子集，共7个.

答案　∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　7

（2）写出满足{3，4}P⊆{0，1，2，3，4}的所有集合P.

解　由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：

{0，3，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{0，1，3，4}，{0，2，3，4}，{1，2，3，4}，{0，1，2，3，4}.

规律方法　1.假设集合A中含有n个元素，则有：

（1）A的子集有2n个；

（2）A的非空子集有（2n－1）个；

（3）A的真子集有（2n－1）个；

（4）A的非空真子集有（2n－2）个.

2.求给定集合的子集的两个注意点：

（1）按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；

（2）在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.

【训练2】　已知集合A＝{（x，y）|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集.

解　∵A＝{（x，y）|x＋y＝2，x，y∈N}，

∴A＝{（0，2），（1，1），（2，0）}.

∴A的子集有：

∅，{（0，2）}，{（1，1）}，{（2，0）}，{（0，2），（1，1）}，{（0，2），（2，0）}，{（1，1），（2，0）}，{（0，2），（1，1），（2，0）}.

题型三　由集合间的包含关系求参数

【例3】　

（1）已知集合A＝[－3，4]，B＝{x|2m－1

（2）已知集合A＝{x|x2－4x＋3＝0}，B＝{x|mx－3＝0}，且B⊆A，求实数m的取值集合.

解　

（1）∵B⊆A，

①当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.

②当B≠∅时，有

解得－1≤m<2，

综上得m的取值范围为[－1，＋∞）.

（2）由x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3.∴集合A＝{1，3}.

①当B＝∅时，此时m＝0，满足B⊆A.

②当B≠∅时，则m≠0，B＝{x|mx－3＝0}＝

.

∵B⊆A，∴

＝1或

＝3，解之得m＝3或m＝1.

综上可知，所求实数m的取值集合为{0，1，3}.

规律方法　由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法

（1）注意点：

①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.

（2）常用方法：

对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围（值）时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.

【训练3】　已知集合A＝[1，2]，集合B＝{x|1≤x≤a，a≥1}.

（1）若A＝B，求a的值；

（2）若AB，求a的取值范围；

（3）若B⊆A，求a的取值范围.

解　

（1）若A＝B，则[1，2]＝[1，a]，∴a＝2.

（2）若AB，由图可知a的取值范围为（2，＋∞）.

（3）若B⊆A，由图可知a的取值范围为[1，2].

一、素养落地

1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象和直观想象素养.

2.对子集、真子集有关概念的理解

（1）集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法.

（2）不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素.

（3）在真子集的定义中，A，B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.

二、素养训练

1.集合A＝{－1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（　　）

A.2个B.4个

C.6个D.8个

解析　根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1},4个；故选B.

答案　B

2.已知集合M＝{x|－

，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为（　　）

A.P＝{－3，0，1}

B.Q＝{－1，0，1，2}

C.R＝{y|－π

D.S＝{x||x|≤

，x∈Z}

解析　集合M＝{－2，－1，0，1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{－1，0，1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S＝{－1，0，1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M.故选D.

答案　D

3.①0∈{0}；②∅{0}；③{0，1}＝{（0，1）}；④{（a，b）}＝{（b，a）}.上面关系中正确的个数为（　　）

A.1B.2C.3D.4

解析　①正确，0是集合{0}的元素；②正确，∅是任何非空集合的真子集；③错误，集合{0，1}含有两个元素0，1；{（0，1）}含有一个元素点（0，1），所以这两个集合不相等；④错误，集合{（a，b）}含有一个元素点（a，b），集合{（b，a）}含有一个元素点（b，a），这两个元素不同，所以集合不相等.∴正确的个数是2.故选B.

答案　B

4.设集合A＝（1，2），B＝{x|x

A.{a|a≤2}B.{a|a≤1}

C.{a|a≥1}D.{a|a≥2}

解析　画出数轴可得a≥2.

答案　D

5.已知集合A＝{x|x－7≥2}，B＝{x|x≥5}，试判断集合A，B的关系.

解　A＝{x|x－7≥2}＝{x|x≥9}，又B＝{x|x≥5}，∴AB.

基础达标

一、选择题

1.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，则有（　　）

A.1∉AB.0A

C.∅AD.{0}⊆A

解析　由已知，A＝{1，－1}，所以选项A，B，D都错误；因为∅是任何非空集合的真子集，所以C正确.故选C.

答案　C

2.已知集合N＝{1，3，5}，则集合N的真子集个数为（　　）

A.5B.6

C.7D.8

解析　集合N的真子集有：

∅，{1}，{3}，{5}，{1，3}，{1，5}，{3，5}，共7个.

答案　C

3.集合A＝{2，－1}，B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m＝（　　）

A.2B.－1

C.2或－1D.4

解析　∵A＝B，∴m2－m＝2，即m2－m－2＝0，∴m＝2或－1.

答案　C

4.已知集合A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是平行四边形}，则（　　）

A.D⊆CB.B⊆C

C.A⊆BD.D⊆A

解析　选项A错，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，应当是C⊆D；选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形；选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形，应当是B⊆A；选项D错，菱形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是菱形，应当是A⊆D.

答案　B

5.若集合A＝{1，3，x}，B＝{x2，1}，且B⊆A，则满足条件的实数x的个数是（　　）

A.1B.2

C.3D.4

解析　由B⊆A，知x2＝3或x2＝x，

解得x＝±

或x＝0或x＝1.当x＝1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x＝1（舍去）.

答案　C

二、填空题

6.设A＝（2，4），B＝{x|a－1

解析　因为BA且B≠∅，所以

或

即a的取值范围是{a|3≤a≤4}.

答案　{a|3≤a≤4}

7.设集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，则满足B⊆A的实数m的值所组成的集合为________.

解析　A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}.当B＝∅时，此时m＝0，满足B⊆A；当B≠∅时，则m≠0，B＝{x|mx＋1＝0}＝

.

∵B⊆A，∴－

＝－3或－

＝2，解得m＝

或m＝－

.综上，满足条件的实数m∈

.

答案　

8.已知集合A＝{x|

＝a}，且满足∅A，则a的取值范围是________.

解析　由题意知集合A为非空集合，则方程

＝a应有解，故只须a≥0.

答案　[0，＋∞）

三、解答题

9.判断下列集合间的关系：

（1）A＝{x|x－3>2}，B＝{x|2x－5≥0}；

（2）A＝{x∈Z|－1≤x<3}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}.

解　

（1）因为A＝{x|x－3>2}＝{x|x>5}，B＝{x|2x－5≥0}＝

，所以可利用数轴判断A，B的关系.如图所示，AB.

（2）因为A＝{x∈Z|－1≤x<3}＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x＝|y|，y∈A}，所以B＝{0，1，2}，所以BA.

10.已知集合A＝{x|x＜－1或x＞4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B⊆A，求实数a的取值范围.

解　当B＝∅时，只需2a＞a＋3,即a＞3.

当B≠∅时，根据题意用数轴表示集合A，B如图所示，

可得

或

解得a＜－4或2＜a≤3.

综上，实数a的取值范围为{a|a＜－4或a＞2}.

能力提升

11.已知M＝{a－3，2a－1，a2＋1}，N＝{－2，4a－3，3a－1}，若M＝N，求实数a的值.

解　因为M＝N，则（a－3）＋（2a－1）＋（a2＋1）＝－2＋（4a－3）＋（3a－1），即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.

当a＝1时，M＝{－2，1，2}，N＝{－2，1，2}，满足M＝N；

当a＝3时，M＝{0，5，10}，N＝{－2，9，8}，不满足M＝N，舍去.故实数a的值为1.

12.若集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，x∈R}至多有一个真子集，求a的取值范围.

解　①当A无真子集时，A＝∅，即方程ax2＋2x＋1＝0无实根，所以

所以a>1.

②当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：

当a＝0时，方程化为2x＋1＝0，解得x＝－

，符合题意；

当a≠0时，由Δ＝4－4a＝0，解得a＝1.

综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是{a|a≥1或a＝0}.