第一章 11 112 集合的基本关系.docx

1、第一章 11 112 集合的基本关系1.1.2 集合的基本关系课标要求素养要求理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.会用三种语言(自然语言、图形语言、符号语言)表示集合间的基本关系，并能进行转换，重点提升数学抽象素养和直观想象素养.教材知识探究草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑.如果草原上的枣红马组成集合A，草原上的所有马组成集合B.问题(1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？(2)集合A与集合B又存在什么关系？提示(1)集合A中的元素都是B的元素.(2)A是B的子集.1.子集(1)子集的概念AB与A B、AB有什么关系一般地，如果集合A的任意一个元素都是集

2、合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作AB(或BA).读作“A包含于B”(或“B包含A”)对应地，如果A不是B的子集，则记作AB(或BA)，读作“A不包含于B”(或“B不包含A”).规定：空集是任意一个集合A的子集，即A.(2)子集的性质AA；对于集合A，B，C，如果AB，BC，则AC.2.真子集(1)真子集的概念一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作A B(或B A)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”).(2)真子集的性质 若A不是空集，则 A；对于集合A，B，C，如果A B，B C，则A C.3.集合的相等与子集的关

3、系 证明集合相等常用(1)一般地，由集合相等以及子集的定义可知：(1)如果AB且BA，则A B；(2)如果AB，则AB且BA.4.维恩图 维恩图是集合的图形语言，也是集合的一种表示法(1)定义：如果用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么我们就可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图通常称为维恩图.(维恩图不能表示空集)(2)用维恩图表示非空集合的基本关系AB表示为：A B表示为：AB表示为：教材拓展补遗微判断1.11，2，3.()提示“”表示集合与集合之间的关系，但不能表示元素和集合之间的关系.2.任何集合都有子集和真子集.()提示空集只有子集，没有真子集.3.和表示的意义相同.

4、()提示是不含任何元素的集合，而集合中含有一个元素.4.若AB，则A B或AB.()5.若AB，AB，则A B.(微训练1.已知集合A2，3，6m6，若6A，则m_.解析6A，6m66，m2.答案22.若A1，a，0，B1，b，1，且AB，则a_，b_.解析由两个集合相等可知b0，a1.答案103.若1，2B1，2，4，则B_.解析由条件知B中一定含有元素1和2，故B可能是1，2或1，2，4.答案1，2或1，2，4微思考1.AB能否理解为子集A是B中的“部分元素”所组合的集合？提示AB不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合.因为若A，则A中不包含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有

5、元素，而此时可以说集合A是集合B的子集.2.符号“”与“”的区别是什么？提示符号“”用于表示元素与集合之间的关系，而符号“”用于表示集合与集合之间的关系.3.集合A中有n(nN*)个元素，则A的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数分别是多少？提示由n个元素组成的集合A有2n个子集；有(2n1)个真子集；有(2n1)个非空子集；有(2n2)个非空真子集.题型一集合关系的判断或证明【例1】指出下列各对集合之间的关系：(1)A1，1，B(1，1)，(1，1)，(1，1)，(1，1)；(2)Ax|x是等边三角形，Bx|x是等腰三角形；(3)A(1，4)，Bx|x50；(4)Mx|x2n1，nN*，

6、Nx|x2n1，nN*.解(1)集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)集合Bx|x5，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A B.(4)由列举法知M1，3，5，7，N3，5，7，9，故N M.规律方法1.判断集合关系的方法(1)观察法：一一列举观察.(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法：利用数轴或维恩图.2.证明AB，只需证明AB且BA.3.证明集合间的包含关系，一般用定义.【训练1】(1)集合Ax|(x3

7、)(x2)0，B，则A与B的关系是()A.AB B.AB C.A B D.B A(2)已知集合Ax|x0，B(0，1)，则()A.AB B.A B C.B A D.AB解析(1)A2，3，B3，B A.(2)在数轴上分别表示出集合A，B，如图所示，由数轴知B A.答案(1)D(2)C(3)已知Ax|x3m1，mZ，Bx|x3m2，mZ，证明AB.证明设任意xA，则存在mZ，使x3m1，又x3m13(m1)2，且m1Z，xB，AB.类似地可以证明BA，AB.(4)已知Ax|x2n，nZ，Bx|x4n，nZ ，证明B A.证明设任意xB，则存在nZ，使x4n，又x4n2(2n)，2nZ，xA，BA

8、.对于A中元素2，2B，AB，故B A.题型二子集、真子集个数问题 【例2】(1)集合a，b，c的所有子集为_，其中它的真子集有_个.解析集合a，b，c的子集有：，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c，其中除a，b，c外，都是a，b，c的真子集，共7个.答案，a，b，c，a，b，a，c，b，c，a，b，c7(2)写出满足3，4 P0，1，2，3，4的所有集合P.解由题意知，集合P中一定含有元素3，4，并且是至少含有三个元素的集合，因此所有满足题意的集合P为：0，3，4，1，3，4，2，3，4，0，1，3，4，0，2，3，4，1，2，3，4，0，1，2，3，4.规律方法1.假设集合A中

9、含有n个元素，则有：(1)A的子集有2n个；(2)A的非空子集有(2n1)个；(3)A的真子集有(2n1)个；(4)A的非空真子集有(2n2)个.2.求给定集合的子集的两个注意点：(1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写；(2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身.【训练2】已知集合A(x，y)|xy2，x，yN，试写出A的所有子集.解A(x，y)|xy2，x，yN，A(0，2)，(1，1)，(2，0).A的子集有：，(0，2)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(0，2)，(2，0)，(1，1)，(2，0)，(0，2)，(1，1)，(2，0).题型三由集合间的包含关系求

10、参数 【例3】(1)已知集合A3，4，Bx|2m1xm1，且BA.求实数m的取值范围.(2)已知集合Ax|x24x30，Bx|mx30，且BA，求实数m的取值集合.解(1)BA，当B时，m12m1，解得m2.当B时，有解得1m2，综上得m的取值范围为1，).(2)由x24x30，得x1或x3.集合A1，3.当B时，此时m0，满足BA.当B时，则m0，Bx|mx30.BA，1或3，解之得m3或m1.综上可知，所求实数m的取值集合为0，1，3.规律方法由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：不能忽视集合为的情形；当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论.(2)常用方法：对于用不等式

11、给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.【训练3】已知集合A1，2，集合Bx|1xa，a1.(1)若AB，求a的值；(2)若A B，求a的取值范围；(3)若BA，求a的取值范围.解(1)若AB，则1，21，a，a2.(2)若A B，由图可知a的取值范围为(2，).(3)若BA，由图可知a的取值范围为1，2.一、素养落地1.通过本节课的学习，重点提升数学抽象和直观想象素养.2.对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由xA，能推出xB，这是判断AB的常用方法.(2)不能简单地把“AB”理解成“A是B中部分元

12、素组成的集合”，因为若A时，则A中不含任何元素；若AB，则A中含有B中的所有元素.(3)在真子集的定义中，A，B首先要满足AB，其次至少有一个xB，但xA.二、素养训练1.集合A1，0，1，A的子集中，含有元素0的子集共有()A.2个 B.4个 C.6个 D.8个解析根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有0，0，1，0，1，1，0，1, 4个；故选B.答案B2.已知集合Mx|x，xZ，则下列集合是集合M的子集的为()A.P3，0，1B.Q1，0，1，2C.Ry|y1，yZD.Sx|x|，xZ解析集合M2，1，0，1，集合R3，2，集合S1，0，1，不难发现集合P中的元素3M，集合Q中的

13、元素2M，集合R中的元素3M，而集合S1，0，1中的任意一个元素都在集合M中，所以SM.故选D.答案D3.00； 0；0，1(0，1)；(a，b)(b，a).上面关系中正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.4解析正确，0是集合0的元素；正确，是任何非空集合的真子集；错误，集合0，1含有两个元素0，1；(0，1)含有一个元素点(0，1)，所以这两个集合不相等；错误，集合(a，b)含有一个元素点(a，b)，集合(b，a)含有一个元素点(b，a)，这两个元素不同，所以集合不相等.正确的个数是2.故选B.答案B4.设集合A(1，2)，Bx|xa，若AB，则a的取值范围是()A.a|a2 B.a|

14、a1C.a|a1 D.a|a2解析画出数轴可得a2.答案D5.已知集合Ax|x72，Bx|x5，试判断集合A，B的关系.解Ax|x72x|x9，又Bx|x5，A B.基础达标一、选择题1.已知集合Ax|x210，则有()A.1A B.0 A C. A D.0A解析由已知，A1，1，所以选项A，B，D都错误；因为是任何非空集合的真子集，所以C正确.故选C.答案C2.已知集合N1，3，5，则集合N的真子集个数为()A.5 B.6 C.7 D.8解析集合N的真子集有：，1，3，5，1，3，1，5，3，5，共7个.答案C3.集合A2，1，Bm2m，1，且AB，则实数m()A.2 B.1 C.2或1 D

15、.4解析AB，m2m2，即m2m20，m2或1.答案C4.已知集合Ax|x是菱形，Bx|x是正方形，Cx|x是矩形，Dx|x是平行四边形，则()A.DC B.BC C.AB D.DA解析选项A错，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，应当是CD；选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形；选项C错，正方形一定是菱形，但菱形不一定是正方形，应当是BA；选项D错，菱形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是菱形，应当是AD.答案B5.若集合A1，3，x，Bx2，1，且BA，则满足条件的实数x的个数是()A.1 B.2 C.3 D.4解析由BA，知x23或x2x，解得x或x0或x1.当x1时，集合A，B都不满足元素的互异性，故x1(舍去).答案C二、填空题6.设A(2，4)，Bx|a1x2，Bx|2x50；(2)AxZ|1x2x|x5，Bx|2x50，所以可利用数轴判断A，B的关系.如图所示，A B.(2)因为AxZ|1x1.当A只有一个真子集时，A为单元素集，这时有两种情况：当a0时，方程化为2x10，解得x，符合题意；当a0时，由44a0，解得a1.综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是a|a1或a0.