不等式知识点归纳.docx

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不等式知识点归纳

第三章不等式

3.1、不等关系与不等式

1、不等式的基本性质

1（对称性）ab.a

2（传递性）a.b,b•c=a.c

3（可加性）a.b二acbc

（同向可加性）a.b,c.d=ac.bd

（异向可减性）a.b,c：

.d=a-c.b-d

4（可积性）a.b,c•0=ac.bc

a.b,c：

：

：

0=ac:

:

:

bc

5（同向正数可乘性）a.b,0,c.d.0二ac.bd（异向正数可除性）a.b0,0心9=芒上

cd

（平方法则）

ab0=anbn（n：

=N,且n■1）

（开方法则）

（倒数法则）

a>b>0=皓>Vb（n乏N,且n>1）

un11;a:

:

b：

：

0二

ab

2、

几个重要不等式

22

ab-2aba，

R,（当且仅当

22a=b时取"二"号）.变形公式：

ab冬？

-

②（基本不等式）

bR，（当且仅当a=b时取到等号）

变形公式：

ab^

（也可用柯西不

（a2b2）（c2d2）_（acbd）2）

用基本不等式求最值时（积定和最小,三相等”•

和定积最大），要注意满足三个条件“一正、

3（三个正数的算术一几何平均不等式）abc_3赢心、匕R）（当且仅当

3

a=b=c时取到等号）.

222

4abc-abbccaa,bR

（当且仅当a=b=c时取到等号）.

5a3b3c3-3abc（a0,b0,c0）

（当且仅当a=b=c时取到等号）.

ba

6若ab0,则2（当仅当a=b时取等号）

ab

若ab：

：

：

O,则ba_-2（当仅当a=b时取等号）ab

bbmana

⑦1:

：

:

aambnb

其中（a.b.0，m.0，n.0）

规律：

小于1同加则变大，大于1同加则变小

⑧当a.0时，x>a二x2>a2=x£-a或x；>a;

22

xva=xca吕一acxva.

⑨绝对值三角不等式|b_a二b_a，b.

3、几个著名不等式

1平均不等^是’忌¥于丁

a,b・R，,（当且仅当a=b时取"二"号）.

（即调和平均乞几何平均乞算术平均乞平方平均）变形公式：

Fa+b丫』a2+b2

ab一

I2丿2

2

（ab）

2幕平均不等式：

a12a22...an2_丄（a1a2...an）2.

n

3二维形式的三角不等式：

/2y；M22垃-O-X2）2（%v）2

（为畀兀，y2R）.

4二维形式的柯西不等式：

（a2•b2）（c2•d2）_（ac•bd）2（a,b,c,d•R）.当且仅当

ad二be时，等号成立•

5三维形式的柯西不等式：

（詁a22a32）（bi2b22b32）-（a^a?

b玄3匕3）2.

6一般形式的柯西不等式：

佝2'a22'...-an2）（bi2'b22...-bn2）-（ab•a?

b'...'anbn）2.

⑦向量形式的柯西不等式：

设是两个向量，则

：

i—：

：

JI,当且仅当叫是零向量，或存在实数k，使“=\^时，等号成立•

⑧排序不等式（排序原理）：

设a^a2an,d_dbn为两组实数•g,c2,...,cn是bi,b2,...,bn的任一排列，则

a1bna2bnA•...•and_a©•a2c2'...•ancn_aib•a?

b2-...-anbn（反序和_乱序和_

顺序和）

当且仅当ai=a2=...=an或D=b2=...=bn时，反序和等于顺序和.

⑨琴生不等式：

（特例：

凸函数、凹函数）

若定义在某区间上的函数

f（X）,对于定义域中任意两点N，X2（N=x2）,有

X1Xfgf（X2）或

22

X1+X2）*f（X1）+f（X2）（2丿一2.

则称f（x）为凸（或凹）函数.

4、不等式证明的几种常用方法

常用方法有：

比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；

其它方法有：

换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等.

常见不等式的放缩方法：

12312

1舍去或加上一些项，如（a-）--（a-）;

4

2

11

k2k（k-1）

11

k2k（k1）

将分子或分母放大（缩小），如

12

一k厂1（k

N*,k1）等.

=2=）一1_2

kk、kkik-1

5、一元二次不等式的解法

2

求一元二次不等式axbxc0（或：

:

:

0）

2

（a=0,厶-b-4ac0）解集的步骤:

一化：

化二次项前的系数为正数二判：

判断对应方程的根.三求：

求对应方程的根.四画：

画出对应函数的图象.

五解集：

根据图象写出不等式的解集•

规律：

当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边

6、高次不等式的解法:

穿根法•

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切）,结合原式不等号的方向,写出不等式的解集•

7、分式不等式的解法：

先移项通分标准化，则

f（X）0=f（x）g（x）0g（x）

f（x）cf（x）g（x）_0

g（x）g（x）=0

规律：

把分式不等式等价转化为整式不等式求解

8、无理不等式的解法：

转化为有理不等式求解

⑴f）>a（anf（x「0

f（x）>a

⑵..f（x）:

:

a（a0）=

f（x）一0

f（x）：

：

a2

⑶帀g（x）二

f（x）0g（x）_0

f（x）[g（x）]2

或f（x）—°

g（x）：

：

0

[f（x）^0

⑷、f（x）：

：

g（x）=g（x）0

[f（x）£[g（x）]2

卩（x20

⑸、而.丽二g（x）_0

[f（x）>g（x）

规律：

把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解

9、指数不等式的解法：

⑴当a1时,af（x）ag（x^f（x）g（x）

⑵当0：

：

：

a”：

1时，af（x）ag（x^f（x）：

：

：

g（x）

规律：

根据指数函数的性质转化•

10、对数不等式的解法

[f（x）>0

⑴当a1时,logaf（x）logag（x）^g（x）0

[f（x）>g（x）

f（x）0

⑵当0：

：

a：

1时,logaf（x）.logag（x）^g（x）0

f（x）：

：

：

g（x）

规律：

根据对数函数的性质转化•

11、含绝对值不等式的解法：

⑴定义法：

a（a兰0）a=[—a（a"）

⑵平方法：

f（x）乞g（x）=f2（x）乞g2（x）.

⑶同解变形法，其同解定理有：

1x兰a二一a兰x兰a（aAO）;

2xZa二x^a或xE—a（aZ0）；

3f（x仔g（x）u—g（x）Wf（x）兰g（x）（g（x）兰0）

④f（x）_g（x）uf（x）_g（x）或f（x）-g（x）（g（x）_0）

规律：

关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：

规律：

找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集•

13、含参数的不等式的解法

解形如ax2bxc0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：

⑴讨论a与o的大小；

⑵讨论，与0的大小；

⑶讨论两根的大小.

14、恒成立问题

⑴不等式ax2bxc0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是：

①当a=0时二b=0,c0;

—la0

②当a0时=

[i<0.

⑵不等式ax2bxc<0的解集是全体实数（或恒成立）的条件是:

①当a=0时=b=0,c：

：

0;

②当a=0时=0

[A<0.

⑶f（X）:

:

:

a恒成立：

二f（X）max:

:

:

a;

f（x）空a恒成立二f（x）max—a；

⑷f（x）a恒成立二f（x）mina;

f（x）_a恒成立=f（x）min-a.

15、线性规划问题

⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断:

法一：

取点定域法:

由于直线AxBy^0的同一侧的所有点的坐标代入AxByC后所得的实数的

符号相同•所以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点（x°,y°）（如原点），

由Axo-Byo-C的正负即可判断出AxByC0（或：

:

:

0）表示直线哪一侧的平面区

域.

即:

直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点

法二：

根据AxByC■0（或：

:

:

0），观察B的符号与不等式开口的符号，若同号,

Ax+By+C>0（或£0）表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域•|即：

同

号上方，异号下方—

⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：

不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分

⑶利用线性规划求目标函数AxBy（A,B为常数）的最值：

法一：

角点法：

如果目标函数z=Ax•By（x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标代入目标函数，得到一组

对应z值，最大的那个数为目标函数z的最大值，最小的那个数为目标函数z的最小值

法二：

画一一移一一定一一求：

第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线10:

Ax•By=0，平移直

线10（据可行域，将直线10平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解（x,y）；第四步，

将最优解（x,y）代入目标函数AxBy即可求出最大值或最小值.

第二步中最优解的确定方法:

利用z的几何意义：

y=-Ax•兰，三为直线的纵截距•

BBB

①若B0,则使目标函数AxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最大

值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最小值;

②若B:

:

:

0,则使目标函数AxBy所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得最小

值，使直线的纵截距最小的角点处，z取得最大值

⑷常见的目标函数的类型:

1“截距”型:

2“斜率”型:

3“距离”型:

z=AxBy;

z=x2y2或z=x2y2;

z=（x-a）2（y-b）2或z（x-a）2（y-b）2.

在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单化.

基础练习

一选择题

1.设M=x,N=-X—1,贝VM与N的大小关系是（）

A.M>NB.M=N

C.M

［答案］A

2123

［解析］M—N=x+x+1=（x+2）+4>0,

•••M>N.

2.（2013辽宁鞍山市第一中学高二期中测试）若a

（）

A.1>1B.2a>2b

ab

1a1b

C.|a|>|b|D.

（2）>

（2）

［答案］B

［解析］•••a

故选B.

3.已知a<0，—1

22

A.a>ab>abB.ab>a>ab

22

C.ab>ab>aD.ab>ab>a

［答案］D

［解析］•••—1b2>0>b>—1,

2

即b

A.a>b>c

C.c>a>b

B.a>c>b

D.c>b>a

［答案］

［解析］

=*lge=c,

/•b

T0

6.

F列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（）

2

x+1>2x

2

lg（x+1）>lg2x

C.

［答案］

［解析］

2

A中x>0;B中x=1时，x+1=2x;

C中任意x,x2+1>1,故子土三1；D

中当x<0时,

x+*0.

x

7.

若x>1>y，下列不等式不成立的是（

x—1>1—y

x—1>y—1

C.

x—y>1—y

1—x>y—x

［答案］A

［解析］特殊值法.令x=2,y=—1,

&设a=100.1,b=0.110,c=lg0.1，则

a,

x—1=2—1<1—（—1）=1—y,故A不正确.

b,c的大小关系是（）

A.a

a>b>c

C.b>a>c

c>a>b

［答案］B

［解析］•••100.1>100,二100.1>1.

又T0.110<0.10,•0<0.110<1.

•••lgO.1

•••a>1,0b>c,选B.

9.设a+b<0,且a>0,则（）

22

A.a<—ab

.22

b<—ab

22

C.a

22

ab

［答案］A

［解析］■/a+b<0，且a>0,•0

.22

…a<—ab

10.已知a2+av0，那么a,a2，—a,—a2的大小关系是（）

22

A.a>a>—a>—a

_22C.—a>a>a>—a

22

B.—a>a>—a>a

22

D.a>—a>a>—a

［答案］B

［解析］•••a2+a<0,•••0—a2>a,

22

•-a<—a

［点评］可取特值检验，•••a2+a<0,即a（a+1）<0，令a=—舟，则a2=1,—a2=—扌,1111122

—a=2，•2>4>—4>—2，即—a>a>—a>a，排除A、C、D，选B.

2

11.设a,b€R，则（a—b）a<0是a

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［答案］A

［解析］由（a—b）a2<0得a丰0且a

12.如果a>0,且a丰1,M=loga（a3+1）,N=loga（a2+1）,那么（）

A.M>N

D.

C.M=N

M、N的大小无法确定

［答案］

券1>1

a'+1

［解析］

M—N=loga（a3+1）—loga（a2+1）=loga2~，若a>1，则a3>a2,・

a十1

a3+1

ioga^7>0,

•M>N,若0

•0<4+1

a

a3+1

+1<1,•lOga^>0,

•M>N，故选A.

13.（2014•西文,

2）设全集为R，集合A={x|x2—9<0},

B={x|—1

rB）=（）

A.（—3,0）

C.（—3，一1］

［答案］C

［解析］本题主要考查集合的运算，•••

—1或x>5},

•An綂rB={x|—3

14.不等式9x2+6x+1w0的解集是（

1

A.{x|xm—3}

B.（—3,—1）

D.（—3,3）

A={x|x—9<0}={x|—3

）

B.{x|—3wxw3}

C.?

{-3}

［答案］D

21

［解析］变形为（3x+1）w0.「.x=—3

15.不等式3x2—x+2v0的解集为（

C.{x|—3vxv|}

［答案］A

［解析］•••△=—23v0,开口向上,

•3x2—x+2v0的解集为?

.

16.函数y="Jx2+x—12的定义域是（

A.{x|xv—4,或x>3}

{x|—4vxv3}

C.{x|x<—4,或x>3}

{x|—4

［答案］C

x2+x—12>0.

［解析］使y=+x—12有意义，则

••（x+4）（x—3）》0,•xw—4,或X》3.

17.（2012陕西文，1）集合M={x|lgx>0},N={x|x2w4}，则MnN=（

A.（1,2）

B.［1,2）

C.（1,2］

D.［1,2］

［答案］C

［解析］本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算.

M={x|x>1},

N={x|—2wxw2}，所以MnN={x|1

）不等式x2+2x—3>0的解集为（）

18.（2013广东东莞市第五高级中学高二期中测试

A.{x|x<—1或x>3}

{x|—1wxw3}

C.{x|xw—3或x>1}

{x|—3wxw1}

［答案］C

［解析］由x2+2x—3>0，得（x+3）（x—1）>0,

•••xw—3或x>1,故选C.

19.（北京学业水平测试）不等式（x—1）（2x—1）<0的解集是（）

A.{x|1

B.{x|x<1或x>2}

1

C.{x|x<2或x>1}

D.{xg

［答案］D

11［解析］方程（x—1）（2x-1）=0的两根为X1=1,2=2所以（x—1）（2x—1）<0的解集为{x$

20.设集合M={x|0Wxw2},N={x|x2—2x—3<0}，贝VMnN等于（）

A.{x|0

C.{x|0

［答案］D

［解析］TN={x|x2—2x—3<0}={x|—1

•••MnN={x|0

21.若{x|20的解集为（）

A.{x|x<2或x>3}B.{x|2

111卡1

C.{x|32}

［答案］D

［解析］由x2+ax+b<0的解集为｛x|2

由韦达定理，得X1+X2=—a,X1X2=b,

即a=—5,

b=6.

所以不等式

bx?

+ax+1>0，即卩6x2—5x+1>0,

11

解集为｛x|x<3，或x>2｝，故选D.

22.不等式

2

x—2j|x—3

<0的解集为（

x+1

A.{x|—1

C.{x|2

［答案］A

B.{x|1

D.{x|—1

［解析］

x—3x+1<0,

原不等式等价于x+1丰0,

x—22丰0,

解得—1

21

23.若0vtv1,则不等式x2—（t+［）x+1v0的解集是（）

A.{xfvxvt}

B.{x|x>*或xvt}

C.{x|xvf或x>t}

D.{x|tvxv十}

［答案］D

1

［解析］化为（X—t）（x—-）V0,

11

■/0VtV1，二->1>t，二tVXV［.

24.已知不等式x2+ax+4V0的解集为空集，则a的取值范围是（）

A.—4

C.a<—4或a>4D.aV—4或a>4

［答案］A

［解析］欲使不等式x2+ax+4V0的解集为空集，则△=a2—16<0,二—4

25.不在3x+2yV6表示的平面区域内的点是（）

A.（0,0）B.（1,1）

C.（0,2）D.（2,0）

［答案］D

［解析］将点的坐标代入不等式中检验可知，只有（2,0）点不满足3x+2yV6.

r/

yvx

26.不等式组+yw1，表示的区域为D,点P1（0,—2），点P2（0,0），则（）

记>3

A.P1?

D,P2?

DB.P1?

D,P2€D

C.P1€D,P2?

DD.Pj€D,P?

€D

［答案］A

［解析］P1点不满足y》3.P2点不满足yvx.和y》3

•••选A.

27.已知点P（X0,y°）和点A（1,2）在直线1:

3x+2y—8=0的异侧，贝U（）

A.3x0+2y0>0B.3xo+2yo<0

C.3x0+2y°<8D.3x0+2yo>8

［答案］D

［解析］•/3X1+2X1—8=—3<0,P与A在直线l异侧，•3x0+2y0—8>0.

28.图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为（

x+y—1》0A.

lx—2y+2》0

x+y—1w0

B.U

x—2y+2w0

x+y—1>0x+y—K0

C.

x—2y+2W0|x—2y+2>0

［答案］A

［解析］取原点0（0,0）检验满足x+y—1<0，故异侧点应为x+y—1>0,排除B、D•

O点满足x—2y+2》0,排除C•

•••选A•

17=®

%

H

）

29•不等式x2