不等式知识点归纳.docx

1、不等式知识点归纳第三章不等式3.1、不等关系与不等式1、不等式的基本性质1（对称性）a b . a2（传递性）a . b,b c= a . c3（可加性）a . b二a c b c（同向可加性）a . b, c . d = a c . b d（异向可减性）a . b, c ：. d = a - c . b - d4（可积性）a . b, c 0 = ac . bca . b, c ： 0 = ac : bc5（同向正数可乘性）a .b ,0,c .d .0二ac .bd （异向正数可除性）a .b 0,0心9=芒上c d（平方法则）a b 0= an bn(n：=N,且n 1)（开方法则）（倒

2、数法则）a b 0=皓 Vb(n 乏 N ,且 n 1)u n 1 1 ;a : b ： 0 二a b2、几个重要不等式2 2a b - 2ab a，R ,（当且仅当2 2 a = b时取二号）. 变形公式：ab冬？ -（基本不等式）b R ，（当且仅当a = b时取到等号）变形公式：ab （也可用柯西不(a2 b2)(c2 d2) _ (ac bd)2)用基本不等式求最值时（积定和最小, 三相等” 和定积最大），要注意满足三个条件“一正、3（三个正数的算术一几何平均不等式） a b c _ 3赢 心、匕R ）（当且仅当3a = b =c时取到等号）.2 2 24a b c - ab bc c

3、a a, b R（当且仅当a=b=c时取到等号）.5a3 b3 c3 - 3abc（a 0,b 0,c 0）（当且仅当a=b=c时取到等号）.b a6若ab 0,则 2 （当仅当a=b时取等号）a b若ab：O,则b a_ -2 (当仅当a=b时取等号) a bb b m a n a 1 :：:a a m b n b其中(a . b . 0， m . 0， n .0)规律：小于1同加则变大，大于 1同加则变小当a .0时，x a 二 x2 a2 = x -a或x ；a;2 2xva= x ca 吕一acxva.绝对值三角不等式 |b_a二b_a，b.3、几个著名不等式1平均不等 是忌于丁a,

4、bR，,(当且仅当a=b时取二号).(即调和平均乞几何平均乞算术平均乞平方平均) 变形公式：Fa +b 丫a2 +b2ab 一I 2丿 22(a b)2幕平均不等式：a12 a22 . an2 _ 丄(a1 a2 . an)2.n3二维形式的三角不等式：/2 y； M22 垃- O -X2)2 (% v)2(为畀兀，y2 R).4二维形式的柯西不等式： (a2 b2)(c2 d2) _(ac bd)2(a,b, c,d R).当且仅当ad二be时，等号成立5三维形式的柯西不等式：(詁 a22 a32)(bi2 b22 b32) - (a a?b 玄3匕3)2.6一般形式的柯西不等式：佝2 a2

5、2 . - an2)(bi2 b22 . - bn2) -(ab a?b . anbn)2.向量形式的柯西不等式：设 是两个向量，则：i： JI ,当且仅当叫是零向量，或存在实数k，使“ = 时，等号成立排序不等式（排序原理）：设a a2 an,d _ d bn为两组实数 g ,c2,., cn是 bi,b2,., bn的任一排列，则a1bn a2bn A . and _ a a2c2 . ancn _ aib a?b2 - . - anbn（反序和 _乱序和 _顺序和）当且仅当ai =a2 =. =an或D =b2 =. =bn时，反序和等于顺序和.琴生不等式：（特例：凸函数、凹函数）若定义

6、在某区间上的函数f （X）,对于定义域中任意两点N，X2（N= x2）,有X1 Xfg f(X2)或2 2X1 +X2)*f (X1)+f(X2) (2 丿 一 2 .则称f（x）为凸（或凹）函数.4、不等式证明的几种常用方法常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法， 数学归纳法等.常见不等式的放缩方法：1 2 3 1 21舍去或加上一些项，如 （a -） - - （a -）;421 1k2 k(k -1)1 1k2 k(k 1)将分子或分母放大（缩小），如1 2一 k厂1(kN*,k 1)等.= 2 =)一1_ 2k k 、

7、k k i k -15、一元二次不等式的解法2求一元二次不等式 ax bx c 0（或：:0）2(a=0,厶-b -4ac 0)解集的步骤:一化：化二次项前的系数为正数 二判：判断对应方程的根. 三求：求对应方程的根. 四画：画出对应函数的图象 .五解集：根据图象写出不等式的解集 规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边6、 高次不等式的解法:穿根法分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶切),结合原式不等号的方向, 写出不等式的解集7、 分式不等式的解法：先 移项通分标准化，则f(X) 0= f(x) g(x) 0 g(x)f(x) c f (x) g(x) _0g(x)

8、 g(x)=0规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解 f)a(anf(x0f (x) a.f(x) : a(a 0)=f(x) 一0f(x) ：a2帀 g(x)二f(x) 0 g(x)_0f(x) g(x)2或 f(x)g(x) ： 0f(x)0、f(x) ： g(x) = g(x) 0f(x)g(x)2卩(x20、而.丽二g(x)_0f(x)g(x)规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解9、指数不等式的解法：当 a 1 时,af(x) ag(x f(x) g(x)当 0：a”：1 时，af(x) ag(x f(x)

9、：g(x)规律：根据指数函数的性质转化 10、对数不等式的解法f(x)0当 a 1 时,logaf(x) logag(x) g(x) 0f (x)g(x)f(x) 0当 0 ：a ：1 时,loga f (x) . logag(x) g(x) 0f(x) ： g(x)规律：根据对数函数的性质转化 11、含绝对值不等式的解法：定义法：a (a 兰0) a = a (a)平方法：f(x)乞 g(x) = f2(x)乞 g2(x).同解变形法，其同解定理有：1x 兰 a二一a 兰 x 兰a(aAO);2x Za二 xa或xEa(aZ0)；3f(x仔g(x)u g(x) W f (x)兰 g(x) (

10、g(x)兰0) f (x) _g(x)u f(x) _g(x)或f(x) -g(x) (g(x) _0)规律：关键是去掉绝对值的符号 .12、 含有两个(或两个以上)绝对值的不等式的解法：规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值 、每段中取交集，最后取各段的并集 13、 含参数的不等式的解法解形如ax2 bx c 0且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标 准有：讨论a与o的大小；讨论，与0的大小；讨论两根的大小.14、 恒成立问题不等式ax2 bx c 0的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：当 a =0时二 b =0,c 0;la 0当a 0时=i0.不等式ax2 bx c 0

11、的解集是全体实数(或恒成立)的条件是:当 a =0时=b = 0,c ： 0;当a=0时=0A0 （或0）表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域 |即：同号上方，异号下方二元一次不等式组所表示的平面区域：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分利用线性规划求目标函数 Ax By （A, B为常数）的最值：法一：角点法：如果目标函数z = Ax By （ x、y即为公共区域中点的横坐标和纵坐标）的最值存在， 则这些最值都在该公共区域的边界角点处取得， 将这些角点的坐标代入目标函数， 得到一组对应z值，最大的那个数为目标函数 z的最大值，最小的那个数为目标函数 z的最

12、小值法二：画一一移一一定一一求：第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 10 : Ax By = 0，平移直线10 （据可行域，将直线10平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解 （x,y）；第四步，将最优解（x, y）代入目标函数 Ax By即可求出最大值或最小值 .第二步中最优解的确定方法:利用z的几何意义：y=-Ax 兰，三为直线的纵截距B B B若B 0,则使目标函数 Ax By所表示直线的纵截距最大的角点处， z取得最大值，使直线的纵截距最小的角点处， z取得最小值;若B : 0,则使目标函数 Ax By所表示直线的纵截距最大的角点处， z取得最小值，使直线的纵截距最小

13、的角点处， z取得最大值常见的目标函数的类型:1“截距”型:2“斜率”型:3“距离”型:z = Ax By;z = x2 y2或 z = x2 y2;z=(x-a)2 (y -b)2 或 z (x-a)2 (y-b)2.在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问 题简单化.基础练习一 选择题1.设M = x , N = -X 1,贝V M与N的大小关系是（ ）A . MN B . M = NC. M0, MN.2. (2013辽宁鞍山市第一中学高二期中测试 )若ab1 B. 2a2ba b1 a 1 bC. |a|b| D.(2)(2)答案B解析 ab,

14、y= 2x单调递增， 2a2b,故选B .3.已知a0， 1babab B. abaab2 2C . ab aba D . abab a答案D解析 1bb20b 1,2即bb bcC. cabB. acbD. cba答案解析= *lge = c,/ bca.T 0lge1 , b= (lge)2= a2a, c= l/e=*lge = aa.又t b= (lge)22x2lg（x + 1） lg2xC.答案解析2A 中 x0; B 中 x= 1 时，x + 1 = 2x;C中任意x, x2+ 1 1,故子土三1； D中当x1y，下列不等式不成立的是 （x 11 yx 1y 1C.x y1 y1

15、 xy x答案A解析特殊值法.令x=2, y= 1,&设 a= 100.1, b = 0.110, c = lg0.1，则a,x 1 = 2 11 ( 1) = 1 y,故 A 不正确.b, c的大小关系是（）A. abbcC. baccab答案B解析100.1100,二 100.11.又T 0.1100.10, 00.1101. lgO.1lg1 , lg0.11,0b1, cbc,选 B.9.设 a+ b0 ,则( )2 2A. a abb.2 2b aba2 2C. a b ab2 2abb a答案A解析/ a+ b0 , 0a b,.2 2a ab a a a_ 2 2 C. a a

16、a a2 2B. aa a a2 2D. a aa a答案B解析 a2 + a0 , 0a2 a2a,2 2- a a a a,故选 B .点评可取特值检验， a2 + a0,即a(a + 1)4 4 2，即aa a a，排除 A、C、D，选 B .211.设 a, b R，则(a b) a 0 是 ab 的( )A .充分非必要条件 B .必要非充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件答案A解析由(a b) a20得a丰0且ab;反之,由ab，不能推出(a b) a20.即(a b) a20 是a0,且 a丰 1, M = loga(a3+ 1), N= loga(a2+ 1),那么

17、( )A.M ND.C. M = NM、N的大小无法确定答案券 11a+ 1解析M N= loga(a3+ 1) log a(a2+ 1)= log a 2，若 a1，则 a3a2,a十1a3+ 1ioga7 0, MN,若 0a1,贝U 0a a , - 0a + 1a + 1, 04+1aa3+ 1+ 10 , MN，故选 A.13. (2014 西文,2)设全集为R，集合A = x|x2 90,B= x| 15, An 綂 rB = x| 3xw 1，选 C.14.不等式9x2 + 6x+ 1 w 0的解集是(1A. x|xm 3B.( 3, 1)D. ( 3,3)A= x|x 90 =

18、 x| 3x 3x| 4vxv 3C. x|x3x| 4 x 0.解析使y =+ x 12有意义，则 (x+ 4)(x 3)0, xw 4,或 X3.17. (2012 陕西文，1)集合 M = x|lgx0 , N = x|x2w 4，则 M n N=(A. (1,2)B. 1,2)C. (1,2D. 1,2答案C解析本题考查对数不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集运算.M = x|x1,N= x| 2w xw 2，所以 M n N = x|1 0的解集为( )18. （2013广东东莞市第五高级中学高二期中测试A . x|x 3x| 1 w xw 3C. x|xw 3或 x 1x| 3

19、w xw 1答案C解析由 x2+ 2x 3 0，得(x+ 3)(x 1) 0, xw 3 或 x 1,故选 C.19.（北京学业水平测试）不等式（x 1）（2x 1）0的解集是（ ）A. x|1x2B. x|x21C. x|x1D. xgx1答案D11 解析方程(x 1)(2x- 1) = 0的两根为X1= 1 ,2 = 2所以(x 1)(2x1)0的解集为x$x1，选 D .20.设集合 M = x|0W xw 2, N=x|x2 2x 30，贝V M n N 等于( )A . x|0 x1 B. x|0 x 2C.x|0 x 1 D. x|0 x 2答案D解析T N= x|x2 2x 30

20、 = x| 1x3 , M= x|0x2, M n N= x|0x 2，故选 D.21. 若x|2x3为 x2+ ax+ b0 的解集为( )A . x|x3 B. x|2x311 1卡 1C. x|3x2 D. x|x2答案D解析由x2 + ax+ b0的解集为x|2x0，即卩 6x2 5x+ 10,11解集为x|x2，故选D .22.不等式2x 2 j | x 30的解集为(x+ 1A . x| 1x2 或 2x3C. x|2x3答案AB. x|1x3D. x| 1x3解析x 3 x+ 1 0 ,原不等式等价于 x+ 1丰0,x 2 2 丰 0,解得1x*或 xv tC . x|xv f或

21、 x tD . x|tv xv十答案D1解析化为(X t)(x -) V 0,11/ 0V tV 1，二- 1 t，二 tVXV.24. 已知不等式x2 + ax+ 4V 0的解集为空集，则 a的取值范围是( )A . 4 a 4 B. 4 V aV 4C. a4 D. aV 4 或 a4答案A解析欲使不等式x2+ ax+ 4 V 0的解集为空集，则= a2 16 0,二4 a 3A . P1?D, P2?D B . P1?D, P2 DC. P1 D, P2?D D . Pj D , P? D答案A解析P1点不满足y3.P2点不满足yv x.和y3选 A .27.已知点P(X0, y)和点A(1,2)在直线1: 3x+ 2y 8 = 0的异侧，贝U ( )A . 3x0 + 2y00 B . 3xo+ 2yo0C . 3x0+ 2y8答案D解析/ 3X 1 + 2X 1 8= 30.28 .图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为 (x+y10 A .lx 2y+ 20x+y 1w 0B . Ux 2y+ 2 w 0x+ y 1 0 x+ y K 0C. D 0答案A解析取原点0(0,0)检验满足x + y 10,排除B、D O点满足x 2y+ 20,排除C选 A 1 7=%H)29 不等式x2