数学八年级上册知识点汇总及常考题型精华版.docx
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数学八年级上册知识点汇总及常考题型精华版
数学八年级上册知识点汇总及常考题型
第一章
全等三角形
【知识结构框图】
命题、公理与定理
（S．A．S．）
全等三角形的判定
（A．S．A．）
（A．A．S．）
三
角
（S．S．S．）
形
全等的判
直角三角形全等的判定
（H．L．）
作
线
段
尺规作图
作
角
作
角平
分
线
作
垂
线
作
垂直
平分线
逆命题与逆定理
【知识点】
一、定义及表示
1、定义
能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。
（注：
全等三角形是相
似三角形中相似比为
1：
1的特殊情况）
当两个三角形完全重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合
的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
由此，可以得出：
全等三角形的对应边相等，对应角相等。
（1）
全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应
边；
（2）
全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应
角；
（3）
（4）
（5）
有公共边的，公共边一定是对应边；
有公共角的，角一定是对应角；有对顶角的，对顶角一定是对应角；
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2、表示
全等用“≌”表示，
△ABC≌△DEF
读作“全等于”。
如：
△ABC全等于△DEF，写作：
注意：
若△ABC≌△DEF，点
A的对应点是点
D，点B的对应点是点E，
点C的对应点是点
F
二、判定定理
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等
这一条也说明了三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等由3可推到
（简称SSS或“边边边”），
（SAS或“边角边”）。
（ASA或“角边角”）。
4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等
边”）
（AAS或“角角
5、直角三角形全等条件有：
斜边及一直角边对应相等的两个直角三角
形全等（HL或“斜边，直角边”）
所以，SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意：
在全等的判定中，没有
AAA角角角和
SSA（特例：
直角三角形为
HL，属于SSA）边边角，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。
A是英文角的缩写
（angle）
，S是英文边的缩写
（side）
。
H是英文斜边的缩写（
Hypotenuse），L是英文直角边的缩写（
leg
）。
6.三条中线（或高、角分线）分别对应相等的两个三角形全等。
三、性质
三角形全等的条件：
1、全等三角形的对应角相等。
2、全等三角形的对应边相等
3、全等三角形的对应顶点相等。
4、全等三角形的对应边上的高对应相等。
5、全等三角形的对应角平分线相等。
6、全等三角形的对应中线相等。
7、全等三角形面积相等。
8、全等三角形周长相等。
9、全等三角形可以完全重合。
三角形全等的方法：
1、三边对应相等的两个三角形全等。
（
SSS）
2、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
3、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
（SAS）
（ASA）
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4、有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等（
5、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
【运用】
1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。
的判定却刚好相反。
AAS）
（HL）
而全等
2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对
应角是关键。
在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。
3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用
SAS找全等三角
形。
4、用在实际中，一般我们用全等三角形测相等的距离。
可以用于工业和军事。
以及相等的角，
5、三角形具有一定的稳定性，所以我们用这个原理来做脚手架及其他
支撑物体。
【做题技巧】
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
思维的方式。
来想要证全等，则需要什么条件
因此我们可以采取逆向
，要证某某边等于某某边，
那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
然后把所得的等式运用
（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。
有时还需要画辅助线帮助解题。
分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。
【例题分析】
例1：
（2006·浙江金华）
如图，△ABC与△ABD中，AD与BC相交于
O点，
∠1=∠2，请你添加一个条件（不再添加其它线段，不再标注或使用其它字
母），使
AC=BD，并给出证明
.
分析：
要说明
AC=BD，根据图形想到先说明
△ABC≌△BAD，题目中已经知道∠1＝∠2，
AB＝AB，只需一组对边相等或一组对角相等即可
.
解：
添加的条件是：
BC=AD.
证明：
在△ABC与△BAD中，∠1＝∠2，
AB＝AB，∠A=∠A'
∴△ABC≌△BAD（
∴AC=BD.
SAS）.
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小结：
本题考查了全等三角形的判定和性质，答案不惟一，若按照以下方
式之一来添加条件：
①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，
都可得△CAB≌△DBA，从而有
例2（2006·攀枝花）如图，点
AC=BD.
E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，
使图中存在全等三角形，并给予证明
.
C
所添条件为
.
你得到的一对全等三角形是：
E
A
B
△
证明：
≌△.
D
分析：
在已知条件中已有一组边相等，另外
图形中还有一条公共边，因此再添这两边的夹角相等或另一组对边也相等
即可得出全等三角形
.
解：
所添条件为
CE=ED.得到的一对全等三角形是△
CAE≌△DAE.
证明：
在△CAE和△DAE中，AC=AD，AE=AE，CE=DE，
所以
△CAE≌△DAE（
SSS）.
小结：
本题属于条件和结论同时开放的一道好题目，题目本身并不复杂，
但开放程度较高，能激起同学们的发散思维，值得重视
.
例3.（2008年永州）
下列命题是假．命．题．的是（
）
A．两点之间，线段最短．
B．过不在同一直线上的三点有且只有一个圆．
C．一组对应边相等的两个等边三角形全等．D．对角线相等的四边形是矩形．
答案:
D
解析:
考查假命题的判定.一般判定假命题采用对比定义或举反例
.随意可以画出
一个对角线相等但对角线不互相平分的四边形来
例4．具备下列条件的两个三角形，全等的是A．两个角分别相等，且有一边相等B．一边相等，且这边上的高也相等C．两边分别相等，且这两边的夹角也相等D．两边且其中一条对应边的对角对应相等
所以D是假命题.
知识点扫描:
全等三角形的判定.
注意对应！
题目解析:
A项没有对应，可举反例：
两个三角形，一大一小，有两个角分别相
等，但大三角形的短边
=小三角形的长边.
B项高的位置不唯一，可以垂直此边任意变动，故不能判定全等
.
C项两边及夹角相等，由全等公理可以得到
D项SSA不能判定全等.
故选C
.
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例5.在△ABC与△A′B′C′中,∠A+∠B=∠C,∠B′+∠C′=∠A′,且
b-a=b′-c,b+a=b′+c′,则这两个三角形（
）
（A）不一定全等
（C）根据“SAS”全等
（B）不全等
（D）根据“ASA”全等
题目解析:
∵∠A+∠B=∠C,∠B′+∠C′=∠A′,∴∠C=∠A′=90°.
又∵b-a=b′-c′,b+a=b′+c′，两式相加，得
则△ABC≌△C′B′A′（SAS）故选C
b=b′，则a=c′.
例6.一块三角形玻璃损坏后，只剩下如图（
16）所示的残片，你对图中作哪些数
据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由．
题目解析:
全等三角形的实际应用问题，要测量的条件必须是可以证明三角形全
等的.所以测量∠A，∠B的度数和线段AB的长度，用ASA得全等.
解:
测量∠A，∠B的度数和线段AB的长度，做∠A′=∠A，A’B=’AB∠B′=∠B，
则△A′B′C′和原三角形全等，据
ASA定理．
例7．如图，已知点A，F，E，C在同一直线上，AF=CE，BE∥DF，BE=DF．求
证：
AB∥CD．
知识点扫描:
全等三角形的判定、性质
.平行线的判定.
题目解析:
从图形来看，是一个典型的全等图形
.所以想到由全等得到等角，再从
等角推出两线平行.
但是注意：
在证△AEB≌△CFD中，不要错误地把
AF与
CE当成了这两个三角形的对应边．其实，AE与CF才是这两个三角形的对应边．
证明：
∵AF=CE，A、F、E、C共线，∴AE=CF.
∵BE∥DF，∴∠AEB=∠CFD.
AF
AEBBE
CE
CFDDF
∴在△AEB和△CFD中，
∴△AEB≌△CFD，∴∠A=∠C，∴AB∥CD.
例8．如图，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，AE⊥CD于交CD的延长线于F．求证：
BF=CE．
E，BF⊥DC
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知识点扫描:
全等三角形的判定及性质
.
和同角互余的两角相等
.
题目解析:
这个图形也是很典型的全等三角形图形
.所以考虑证△ACE≌△CBF
（AAS），从而由全等性质得到：
BF=CE.证全等用AAS，直角相等，和AC=BC
都是显见的，再找一角：
∠
到.
EAC=∠FCB，这一相等由同角（∠ACE）的余角相等得
证明：
∵AE⊥CF，∴∠ECA＋∠CAE=90°．
又∠BCA=90°，∴∠BCF＋∠ECA=∠ECA＋
∠CAE．∴∠BCF=∠CAE．
∵AE⊥CF，∴∠AEC=90°．
∵BF⊥CF，∴∠BFC=90°．
又AC=BC，∴△BCF≌△CAE．∴BF=CE．
例9．已知：
如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰三角形
求证：
（1）BD=CE；
（2）∠1=∠2.
.
题目解析:
图形复杂，要在复杂图形中找出全等三角形，问题就解决了
.找全等
要充分利用等边直角三角形的等边和直角条件
.证△EAC≌△DAB.
证明：
∵∠BAC=∠EAD=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠EAD+∠DAC.即∠BAD=
∠EAC.
又∵AE=AD,AB=AC,∴△EAC≌△DAB,∴BD=CE,∠1=∠2.
例10.如图，在△ABC中，∠C为直角，∠A=30°，分别以
AB、AC为边在△
ABC的外侧作正△ABE与正△ACD，DE与AB交于F，求证：
EF=FD.
题目解析:
构造全等三角形，过
E作EG⊥AB于G.
证明△EFG≌△DFA即可.
（AAS）.
证明：
过E作EG⊥AB于G.则∠AEG=30°.
在△AEG与△ABC中，
AE=AB，∠AEG=∠CAB=30°，∠BCA=
∠EGA=90°，∴△EAG≌△ABC，
∴EG=AC=AD.
又在△ADF与△GEF中，AD=GE，∠AFD=∠GFE，
∠DAF=∠EGF=90°
∴△ADF≌△GEF，∴DF=EF.
例11．如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE
⊥DE于E．
（1）若BC在DE的同侧（如图①）且
AD=CE，求证：
BA⊥AC．
（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？
若是请予证明，若不是请说明理由．
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题目解析:
直接证明垂直无路，要“曲线救国”，设法证明∠DAB+∠EAC=90°，
这还是不能直接达到，注意到∠
DAB和∠EAC所在三角形均为直角三角形，所
以再转化一下：
证∠DAB=∠ACE，这由全等不难得到.
第二问方法与第一问类似，故不赘述
.
AB
AD
CA
CE
证明：
（1）在Rt△ABD和Rt△CAE中，
∴△ABD≌△CAE（HL），∴∠DAB=∠ACE．
又∵∠ACE+∠CAE=90°，∴∠DAB+∠CAE=90°
∴∠BAC=90°，∴AB与AC垂直．
（2）成立．证明同上．
例12.（2008年湘潭）
（本题满分6分）
如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，
且DE=AB，
D
C
过C作CF⊥DE，垂足为
F.
（1）猜想：
AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论.
F
B
解：
（1）AD
CF．
A
E
（2）
四边形ABCD是矩形，
AED
FDC,
DE
ABCD
又
CF
DE,
CFD
A
90,
△ADE≌△FCD
AD
CF
解析:
考查矩形的性质及直角三角形全等的判定
.猜想
AD与CF的关系,可以分析
AD,CF所在的两个三角形
ADE与三角形
FCD的关系.由条件可归纳得:
∠A=∠
0
CFD=90,∠AED=∠FDC,DE=AB=CD可,证△ADE≌△FCD,从而AD=CF.
【练习】：
1、（2008年泰州市）27．在矩形ABCD中，AB=2，AD=
3．
（1）在边CD上找．一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（3分）
（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F．
①求证：
点B平分线段AF；（3分）
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②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到，若能，加以证明，
并求出旋转度数；若不能，请说明理由．
（4分）
2、（2008年南京市）21．（6分）如图，在矩形
ABCD中，
A
E，F为BC上两点，
D
且BE
CF，AF
DE．
求证：
（1）△ABF≌△DCE；
（2）四边形ABCD是矩形．
B
C
E
F
3、（2008福建福州）如图，在等腰梯形
ABCD中，AD∥BC，M
是AD的中点，
求证：
MB
MC．
4、（2008年遵义市）如图，OA
OB，OC
OD，
50，
35，则AEC
O
O
D
等于（
）
A．60
B．50
B
A
C．45
D．30
E
D
C
5、（2008年遵义市）22．（10
点，一块三角板的直角顶点与点
分）在矩形
ABCD中，
AD
2AB，E是AD的中
E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转．当
三角板的两直角边与
AB，BC分别交于点M，N时，观察或测量
BM
与CN的长
A
度，你能得到什么结论？
并证明你的结论．
6、（2008年郴州市）如图，ΔABC为等腰三角形，把它
沿底边BC翻折后，得到ΔDBC．请你判断四边形
的形状，并说出你的理由．
ABDC
C
B
A
D
P
7．（2008年双柏县）如图，点P在∠AOB的平分线上，
O
若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是
B
（只写一个即可，不添加辅助线）：
8．（2008年荆州市）如图，矩形
ABCD中，点E是BC上一点，AE＝AD，DF
⊥AE于F，连结DE，求证：
DF＝DC．
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A
D
F
C
B
E
9．（2008年龙岩市）如图，在边长为
4的等边三角形ABC中，AD是BC边上的
高，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（
）
A．4
B．3
C．2
D．
3
3
3
3
10（.2008年沈阳市）如图所示，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接
AE，
D
交对角线
BD于点F
，连接CF
，则图中全等三角形共有
A
（
）
F
A．1对
B．2对
C．3对
D．4对
E
C
B
11.（2008苏州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，
1
2，
3
求证：
4．
（1）△ABC≌△ADC；
（2）BO
DO．
12（.2008无锡）已知一个三角形的两条边长分别是
1cm和2cm，一个内角为
40．
（1）请你借助图1画出一个满足题设条件的三角形；
（2）你是否还能画出既满足题设条件，又与（
1）中
所画的三角形不全等的三角形？
若能，请你在图的右
边用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由．
（3）如果将题设条件改为“三角形的两条边长分别是
3cm和4cm，一个内角为
彼此不全等的三角形共有
40”，那么满足这一条件，且
个．
友情提醒：
请在你画的图中标出已知角的度数和已知边
的长度,“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹．
A
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13.（2008年西宁市23）如图，一块三角形模具的阴影部分已破损．
（1）只要从残留的模具片中度量出哪些边、角，就可以不带
残留的模具片到店铺加工一块与原来的模具
ABC的形状和大
小完全相同的模具
ABC？
请简要说明理由．
14.（2008年广东湛江市23）如图7所示，已知等腰梯形
ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点O．请在图中找出一对全等的三角形，并加以证明．
A
D
O
15.（2008年重庆市）已知：
如图，在梯形
ABCD中，
B
C
AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF
的延长线交DC于点E。
求证：
（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE
D
A
E
F
C
B
16、（2008年宜宾市）已知
D
O
:
如图,AD=BC,AC=BD求.
证:
OD=OC
D
C
C
O
A
A
B
B
17.（2008年泰安市）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图
1所示放置，
DC．
图2是由它抽象出的几何图形，
B，C，E在同一条直线上，连结
D
A
B
E
C
图2
图1
（1）请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：
结论中不得含有未标识
的字母）；
（2）证明：
DC
BE．
F
18.（2008年聊城市）如图，矩形
AC与BD的交点，过O点的直线
ABCD中，O是
EF与AB，CD的
D
A
延长线分别交于
E，F．
O
B
C
E
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（1）求证：
△BOE≌△DOF；
（2）当EF与AC满足什么关系时，以为顶点的四边形是菱形？
证明你的结论．
A，E，C，F
第二章
轴对称
【知识结构框图】
【知识点】
如果一个图形沿某一条直线折叠，
直线两旁的部分能够互相重合，
那么这个
图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
有的轴对称图形的对称轴不止一条，如圆就有无数条对称轴．
轴对称
一、
1.轴对称
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，
?
那么就
说这两个图形关于这条直线对称，
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应
点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
2.图形轴对称的性质
如果两个图形成轴对称，
?
那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
3.轴对称与轴对称图形的区别
轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，
?
成轴对称的两个图形是全等形；
轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，
把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图
形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．
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4.线段的垂直平分线
（1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，线（或线段的中垂线）．
叫做这条线段的垂直平分
（2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
反过来，与
一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
因此线段的垂直平
分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．
二、轴对称变换
1.轴对称变换
由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．
?
成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换
后得到．
2.轴对称变换的性质
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
3.作一个图形关于某条直线的轴对称图形
（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．
（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．
三、用坐标表示轴对称
1.关于坐标轴对称
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（
2.关于原点对称]
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（
3.关于坐标轴夹角平分线对称
x，-y）
-x，y）
-x，-y）
点P（x，y）关于第一、三象限坐标轴夹角平分线
y=x对称的点的坐标是（y，
x）
点P（x，y）关于第二、四象限坐标轴夹角平分线
（-y，-x）
4.关于平行于坐标轴的直线对称
点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（
y=-x对称的点的坐标是
2m-x，y）；
点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是
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