学年江苏省溧中扬中镇江一中江都中学句容中学高一下学期期初五校联考数学试题解析版.docx

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学年江苏省溧中扬中镇江一中江都中学句容中学高一下学期期初五校联考数学试题解析版

2017-2018学年江苏省溧中、扬中、镇江一中、江都中学、句容中学高一下学期期初五校联考数学试题

一、填空题

1．已知集合A={1，2，6}，B={2，3，6}，则A∪B=______．

【答案】{1，2，3，6}

【解析】集合，，故答案为.

2．函数的最小正周期为_____．

【答案】

【解析】根据周期公式可得，函数的最小正周期为，故答案为.

3．=_____．

【答案】

【解析】根据三角函数的诱导公式可得，，故答案为.

4．函数的定义域是______．

【答案】

【解析】要使函数有意义，则，解得，所以函数的定义域是，故答案为.

5．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm，则该扇形面积为_____cm2．

【答案】1

【解析】设该扇形的半径为，根据题意，因为扇形的圆心角为弧度，周长为，则有，，故答案为.

6．已知，则的值为____．

【答案】1

【解析】，，故答案为.

【思路点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数的性质，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清出，思路清晰.本题解答分两个层次：

首先将转化为值，代入函数解析式求解.

7．将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为_______．

【答案】y=sin4x

【解析】将函数的图象上的所有点向右平移个单位，得到函数的图象，再将的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，则所得的图象的函数解析式为，故答案为.

8．已知，，，则这三个数从大到小的顺序是______．

【答案】

【解析】，则这三个数从大到小的顺序是，故答案为.

【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：

一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

9．若，则=_____．

【答案】

【解析】，，或，平方可得或，或若，则，不合题意应舍去，故答案为.

10．已知函数，若，且，则的取值范围是_____．

【答案】

【解析】

，画出图象函数的图象，如图，且，，的导数为，可得在时递减，即有的取值范围是，故答案为.

11．如图，在中，已知，是上一点，若，则实数的值是__．

【答案】

【解析】三点共线，存在实数，使得，又，，解得，故答案为.

12．若奇函数在其定义域上是单调减函数，且对任意的，不等式恒成立，则的最大值是_____．

【答案】

【解析】不等式恒成立，等价于恒成立，又是奇函数，

原不等式转为在上恒成立，函数在其定义域上是减函数，，即，，，当时，有最小值，因此的最大值是，故答案为.

【方法点晴】本题主要考查三角函数的最值、二倍角的余弦公式以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：

①分离参数恒成立（可）或恒成立（即可）；②数形结合（图象在上方即可）；③讨论最值或恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得的最大值.

13．如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度=_______cm．

【答案】

【解析】

设矩形，翻折后的位置为，折痕为，由已知及对称性知，，又，，又由，得，故答案为.

14．已知定义在上的函数存在零点，且对任意，都满足，则函数有_____个零点．

【答案】3

【解析】

因为定义在上的函数存在零点，且对任意，都满足，所以可设为的零点，则，，，令得分别作出和函数图象，如图所示，由图象可知，和函数图象有三个交点，有三个零点，故答案为.

【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、函数与方程思想以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：

1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

二、解答题

15．已知全集，集合，，．

（1）求，；

（2）如果，求实数的取值范围．

【答案】

（1）见解析；

（2）a≤1或a≥7.

【解析】试题分析：

（1）利用对数函数的性质化简集合，从而根据补集的定义求出集合与集合的补集，再根据集合交集与并集的定义可得；

（2）通过是非空集，，而或，从而求出的范围.

试题解析：

（1）由0＜log3x＜2，得1＜x＜9∴B=（1，9），

∵A={x|2≤x＜7}=[2，7），∴A∪B=（1，9）

CUA=（﹣∞，2）∪[7，+∞），

∴（CUA）∩B=（1，2）∪[7，9）

（2）C={x|a＜x＜a+1}=（a，a+1）

∵A∩C=，∴a+1≤2或a≥7，

解得：

a≤1或a≥7

16．已知，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】

（1）;

（2）.

【解析】试题分析：

（1）先根据同角三角函数之间的关系由求得的正弦值与余弦值，然后利用两角和的正弦公式展开，将的正弦值与余弦值代入即可得结果；

（2）由的正弦值与余弦值，根据二倍角的正弦公式与二倍角的余弦公式可求得的正弦值与余弦值，利用两角差的余弦公式将展开，将的正弦值与余弦值代入即可得结果.

试题解析：

（1）由，得：

sinα=，．

；

（2）sin2α=2sinαcosα=，

，

17．已知函数，，其中且，设．

（1）求函数的定义域；

（2）判断的奇偶性，并说明理由；

（3）若，求使成立的x的集合．

【答案】

（1）

（2）奇函数（3）

【解析】试题分析：

（1）根据对数函数的定义得出不等式组，求解不等式可得出定义域；

（2）先判断定义域关于原点对称，因为，根据奇函数的定义即可判断；（3）由得，根据对数的运算性质可得，代入解不等式即可得结果（注意对数函数的定义域）.

试题解析：

（1）要使函数有意义，则，计算得出，

故h（x）的定义域为；

（2）

故h（x）为奇函数．

（3）若f（3）=2，，得a=2，

此时，若，则，

，得，

所以不等式的解集为．

【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性及定义域，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：

（1）直接法，（正为偶函数，负为减函数）；

（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）.

18．某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为和（万元），它们与投入资金（万元）的关系有经验公式，，今将150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．

（1）设对乙产品投入资金万元，求总利润（万元）关于的函数关系式及其定义域；

（2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？

最大利润为多少？

【答案】

（1）其定义域为[25，125]

（2）当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为203万元

【解析】试题分析：

（1）假设对乙种商品投资（万元），对甲种商品投资（万元），利用销售额减去成本，可求经营甲、乙两种商品的总利润（万元）关于的函数表达式；

（2）利用

（1）的结论，先换元再利用二次函数配方法，可求总利润的最大值.

试题解析：

（1）根据题意，对乙种商品投资x（万元），对甲种商品投资（150﹣x）（万元）（25≤x≤125）．所以

其定义域为[25，125]

（2）令，因为x∈[25，125]，所以t∈[5，5]，

有

当时函数单调递增，当时函数单调递减，

所以当t=6时，即x=36时，ymax=203

答：

当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为203万

元．

19．函数的图象与轴交于点，周期是．

（1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；

（2）已知点，点是该函数图象上一点，点是的中点，当，时，求的值．

【答案】

（1）见解析；

（2）或．

【解析】试题分析：

（1）根据周期是可得的值，再由图象与轴交于点求得的值，从而可得函数解析式，根据余弦函数的性质可求得函数图象的对称轴方程和对称中心；

（2）点是的中点，点，利用中点坐标公式求出的坐标，点是该函数图象上一点，代入函数解析式，化简，根据，求解的值.

试题解析：

（1）由题意，周期是π，即．

由图象与y轴交于点（0，），∴，可得，

∵0≤φ≤，

得函数解析式．

由，可得对称轴方程为，（k∈Z）

由，可得对称中心坐标为（，0），（k∈Z）

（2）点Q是PA的中点，A，∴P的坐标为，

由，可得P的坐标为，

又∵点P是该函数图象上一点，

∴，

整理可得：

，

∵x0∈，∴，

故或，

解得或．

20．设函数．

（1）当时，解方程；

（2）当时，若不等式在上恒成立，求实数a的取值范围；

（3）若a为常数，且函数在区间上存在零点，求实数b的取值范围．

【答案】

（1）；

（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：

（1）当时，原方程化为，先解得即可得结果；

（2）不等式在上恒成立，等价于在上恒成立，求出函数的最大值即可得结果；（3）函数在上存在零点，即方程在上有解，分类求出的值域即可得结果.

试题解析：

（1）当时，，所以方程即为：

解得：

或（舍），所以；

（2）当时，若不等式在上恒成立；

当时，不等式恒成立，则；

当时，在上恒成立，即在上恒成立，

因为在上单调增，，，则，

得；则实数的取值范围为；

（3）函数在上存在零点，即方程在上有解；

设

当时，则，且在上单调增，

所以，，

则当时，原方程有解，

则；

当时，，

在上单调增，在上单调减，在上单调增；

当，即时，，

则当时，原方程有解，则；

当，即时，，

则当时，原方程有解，则；

当时，，

当，即则时，，

则当时，原方程有解，则；

当，即则时，，

则当时，原方程有解，则；

综上，当时，实数的取值范围为；

当时，实数的取值范围为；

当时，实数的取值范围为．

【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式和性质、函数与方程思想及分类讨论思想的应用系，属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.