第11章作业题.docx

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第11章作业题

11-8　在双缝干涉实验中，两缝间距为0.30mm，用单色光垂直照射双缝，在离缝1.20m的屏上测得中央明纹一侧第5条暗纹与另一侧第5条暗纹间的距离为22.78mm．问所用光的波长为多少，是什么颜色的光？

分析与解　在双缝干涉中，屏上暗纹位置由决定，式中d′为双缝到屏的距离，d为双缝间距．所谓第5条暗纹是指对应k＝4的那一级暗纹．由于条纹对称，该暗纹到中央明纹中心的距离，那么由暗纹公式即可求得波长λ．此外，因双缝干涉是等间距的，故也可用条纹间距公式求入射光波长．应注意两个第5条暗纹之间所包含的相邻条纹间隔数为9（不是10，为什么？

），故。

解1　屏上暗纹的位置，把以及d、d′值代入，可得λ＝632.8nm，为红光．

解2　屏上相邻暗纹（或明纹）间距，把，以及d、d′值代入，可得λ＝632.8nm．

11-9　在双缝干涉实验中，用波长λ＝546.1nm的单色光照射，双缝与屏的距离d′＝300mm．测得中央明纹两侧的两个第五级明条纹的间距为12.2mm，求双缝间的距离．

分析　双缝干涉在屏上形成的条纹是上下对称且等间隔的．如果设两明纹间隔为Δx，则由中央明纹两侧第五级明纹间距x5－x-5＝10Δx可求出Δx．再由公式Δx＝d′λ／d即可求出双缝间距d．

解　根据分析：

Δx＝（x5－x-5）/10＝1.22×10-3m

双缝间距：

d＝d′λ／Δx＝1.34×10-4m

11-10　一个微波发射器置于岸上，离水面高度为d，对岸在离水面h高度处放置一接收器，水面宽度为D，且，如图所示．发射器向对面发射波长为λ的微波，且λ＞d，求接收器测到极大值时，至少离地多高？

分析　由发射器直接发射的微波与经水面反射后的微波相遇可互相干涉，这种干涉与劳埃德镜实验完全相同．形成的干涉结果与缝距为2d，缝屏间距为D的双缝干涉相似，如图（b）所示，但要注意的是和劳埃德镜实验一样，由于从水面上反射的光存在半波损失，使得两束光在屏上相遇产生的光程差为，而不是．

题11-10图

解　由分析可知，接收到的信号为极大值时，应满足

取k＝1时，得．

11-11　如图所示，由光源S发出的λ＝600nm的单色光，自空气射入折射率n＝1.23的一层透明物质，再射入空气．若透明物质的厚度为d＝1.0cm，入射角θ＝30°，且SA＝BC＝5.0cm，求：

（1）折射角θ1为多少？

（2）此单色光在这层透明物质里的频率、速度和波长各为多少？

（3）S到C的几何路程为多少？

光程又为多少？

解　

（1）由折射定律可得

（2）单色光在透明介质中的速度vn，波长λn和频率ν分别为

（3）S到C的几何路程为

S到C的光程为

题11-11图

11-12　一双缝装置的一个缝被折射率为1.40的薄玻璃片所遮盖，另一个缝被折射率为1.70的薄玻璃片所遮盖．在玻璃片插入以后，屏上原来中央极大的所在点，现变为第五级明纹．假定λ＝480nm，且两玻璃片厚度均为d，求d值．

题11-12图

分析　本题是干涉现象在工程测量中的一个具体应用，它可以用来测量透明介质薄片的微小厚度或折射率．在不加介质片之前，两相干光均在空气中传播，它们到达屏上任一点P的光程差由其几何路程差决定，对于点O，光程差Δ＝0，故点O处为中央明纹，其余条纹相对点O对称分布．而在插入介质片后，虽然两相干光在两介质薄片中的几何路程相同，但光程却不同，对于点O，Δ≠0，故点O不再是中央明纹，整个条纹发生平移．这时，干涉条纹空间分布的变化完全取决于光程差的变化．因此，对于屏上某点P（明纹或暗纹位置），只要计算出

插入介质片前后光程差的变化，即可知道其干涉条纹的变化情况．

插入介质前的光程差Δ1＝r1－r2＝k1λ（对应k1级明纹），插入介质后的光程差Δ2＝[（n1－1）d＋r1］－[（n2－1）d＋r2］＝k2λ（对应k2级明纹）．光程差的变化量为

Δ2－Δ1＝（n2－n1）d＝（k2－k1）λ

式中（k2－k1）可以理解为移过点P的条纹数（本题为5）．因此，对于这类问题，求解光程差的变化量是解题的关键．

解　由上述分析可知，两介质片插入前后，对于原中央明纹所在点O，有

将有关数据代入可得

11-13　白光垂直照射到空气中一厚度为380nm的肥皂膜上．设肥皂的折射率为1.32．试问该膜的正面呈现什么颜色？

背面呈现什么颜色？

分析　这是薄膜干涉问题，求正面呈现的颜色就是在反射光中求因干涉增强光的波长（在可见光范围），求背面呈现的颜色就是在透射光中求干涉增强（即反射减弱）光的波长．

解　根据分析对反射光加强，有

在可见光范围，k＝2时，（红光）

k＝3时，（紫光）

故正面呈红紫色．同理，对透射光加强，有

2ne＝kλ　（k＝1，2，…）

在可见光范围仅有k＝2时，λ＝501.6nm（绿光）．即背面呈绿色．

11-14　在折射率n3＝1.52的照相机镜头表面涂有一层折射率n2＝1.38的MgF2增透膜，若此膜仅适用于波长λ＝550nm的光，则此膜的最小厚度为多少？

分析　在薄膜干涉中，膜的材料及厚度都将对两反射光（或两透射光）的光程差产生影响，从而可使某些波长的光在反射（或透射）中得到加强或减弱，这种选择性使薄膜干涉在工程技术上有很多应用．本题所述的增透膜，就是希望波长λ＝550nm的光在透射中得到加强，从而得到所希望的照相效果（因感光底片对此波长附近的光最为敏感）．具体求解时应注意在d>0的前提下，k取最小的允许值．

解1　因干涉的互补性，波长为550nm的光在透射中得到加强，则在反射中一定减弱，两反射光的光程差Δ2＝2n2d，由干涉相消条件，得

取k＝0，则dmin＝99.6nm．

解2　由于空气的折射率n1＝1，且有n1＜n2＜n3，则对透射光而言，两相干光的光程差，由干涉加强条件Δ1＝kλ，得

取k＝1，则膜的最小厚度dmin＝99.6nm．

11-15　利用空气劈尖测细丝直径．如图所示，已知λ＝589.3nm，L＝2.888×10-2m，测得30条条纹的总宽度为4.259×10-3m，求细丝直径d．

分析　在应用劈尖干涉公式时，应注意相邻条纹的间距b是N条条纹的宽度Δx除以（N－1）．对空气劈尖n＝1．

解　由分析知，相邻条纹间距，则细丝直径为

题11-15图

11-17　如图（a）所示，将符合标准的轴承钢珠a、b和待测钢珠c一起放在两块平板玻璃之间，若垂直入射光的波长λ＝580nm，问钢珠c的直径比标准小多少？

如果距离d不同，对检测结果有何影响？

分析　很显然，如钢珠c与标准件a、b相同，则呈现厚度相同的薄膜干涉；如钢珠与标准件不同，则为劈尖干涉．后者有等厚干涉条纹出现，a与c之间的条纹分布如图（b）所示．由于相邻条纹的厚度差Δd＝λ/2n．而空气的折射率n≈1，则两钢珠之间的直径差，式中N为a与c之间的条纹间隔数目（注：

条纹数目较多时，也可用条纹数目作近似计算），由图（a）知N约为．

改变钢珠间的距离d，将钢珠c移至c′处，如图（c）所示，a与c′之间条纹数并未改变，但由于相邻条纹间距变小，从而影响观测．

题11-17图

解　钢珠c和a、b的直径不同，则两平板玻璃形成空气劈．由分析得，钢珠c的直径与标准件直径相差

当距离d稍微改变时，a、b与c之间条纹数目未变，故不影响检验结果．

11-18　折射率为1.60的两块标准平面玻璃板之间形成一个劈形膜（劈尖角θ很小）．用波长λ＝600nm的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹．假如在劈形膜内充满n＝1.40的液体时的相邻明纹间距比劈形膜内是空气时的间距缩小Δl＝0.5mm，那么劈尖角θ应是多少？

分析　劈尖干涉中相邻条纹的间距l≈λ/2nθ，其中θ为劈尖角，n是劈尖内介质折射率．由于前后两次劈形膜内介质不同，因而l不同．则利用l≈λ/2nθ和题给条件可求出θ．

解　劈形膜内为空气时，

劈形膜内为液体时，

则由，得

11-21　在牛顿环实验中，当透镜与玻璃之间充以某种液体时，第10个亮环的直径由1.40×10-2m变为1.27×10-2m，试求这种液体的折射率．

分析　当透镜与平板玻璃间充满某种液体（n2＞1），且满足n1＞n2，n2＜n3或n1＜n2，n2＞n3时，在厚度为d的地方，两相干光的光程差为．由此可推导出牛顿环暗环半径和明环半径，这里明、暗环半径和充入的介质折射率n2有关．有兴趣的读者可自行推导．必须指出，在牛顿环中，若介质不均匀或分析的是透射光而不是反射光，那么关于暗环、明环半径的公式与教材中的公式是不同的，不能随意套用．

解　当透镜与玻璃之间为空气时，k级明纹的直径为

当透镜与玻璃之间为液体时，k级明纹的直径为

解上述两式得

11-23　把折射率n＝1.40的薄膜放入迈克耳孙干涉仪的一臂，如果由此产生了7.0条条纹的移动，求膜厚．设入射光的波长为589nm．

分析　迈克耳孙干涉仪中的干涉现象可以等效为薄膜干涉（两平面镜相互垂直）和劈尖干涉（两平面镜不垂直）两种情况，本题属于后一种情况．在干涉仪一臂中插入介质片后，两束相干光的光程差改变了，相当于在观察者视野内的空气劈尖的厚度改变了，从而引起干涉条纹的移动．

解　插入厚度为d的介质片后，两相干光光程差的改变量为2（n－1）d，从而引起N条条纹的移动，根据劈尖干涉加强的条件，有2（n－1）d＝Nλ，得d＝Nλ

11-24　如图所示，狭缝的宽度b＝0.60mm，透镜焦距f＝0.40m，有一与狭缝平行的屏放置在透镜焦平面处．若以单色平行光垂直照射狭缝，则在屏上离点O为x＝1.4mm处的点P，看到的是衍射明条纹．试求：

（1）该入射光的波长；

（2）点P条纹的级数；（3）从点P看来对该光波而言，狭缝处的波阵面可作半波带的数目．

分析　单缝衍射中的明纹条件为，在观察点P确定（即φ确定）后，由于k只能取整数值，故满足上式的λ只可取若干不连续的值，对照可见光的波长范围可确定入射光波长的取值．此外，如点P处的明纹级次为k，则狭缝处的波阵面可以划分的半波带数目为（2k＋1），它们都与观察点P有关，φ越大，可以划分的半波带数目也越大．

解　

（1）透镜到屏的距离为d，由于d＞＞b，对点P而言，有．根据单缝衍射明纹条件，有

将b、d（d≈f）、x的值代入，并考虑可见光波长的上、下限值，有

因k只能取整数值，故在可见光范围内只允许有k＝４和k＝３，它们所对应的入

射光波长分别为λ2＝466.7nm和λ1＝600nm．

（2）点P的条纹级次随入射光波长而异，当λ1＝600nm时，k＝3；当λ2＝466.7nm时，k＝4．

（3）当λ1＝600nm时，k＝３，半波带数目为（2k＋1）＝7；当λ2＝466.7nm

时，k＝4，半波带数目为9．

题11-24图

11-25　单缝的宽度b＝0.40mm，以波长λ＝589nm的单色光垂直照射，设透镜的焦距f＝1.0m．求：

（1）第一级暗纹距中心的距离；

（2）第二级明纹距

中心的距离；*（3）如单色光以入射角i＝30°斜射到单缝上，则上述结果有何变动．

题11-25图

分析　对于问题（3）单色光倾斜入射单缝的情况，在入射光到达单缝时，其上下两列边界光线之间已存在光程差（若为光栅，则为），对应等光程的中央主极大将移至点O′（此时φ＝i＝30°），屏上衍射条纹原