届广东省惠州市高三第三次调研考文科数学试题 及答案.docx
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届广东省惠州市高三第三次调研考文科数学试题及答案
广东省惠州市2017-2018届高三第三次调研考数学文试题1
本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡一并交回。
参考公式：
锥体的体积公式，其中为锥体的底面积，为锥体的高.
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.
1．若集合则集合（）
A．B．C．D．
2．已知0＜a＜2，复数（i是虚数单位），则的取值范围是（）
A．B．（1,5）C．（1,3）D．
3．函数的定义域为（）
A．B．C．D．
4．等差数列的前项和为，且，则公差等于（）
A．1B．C．D．3
5．已知，则“”是“”成立的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．圆与圆的位置关系为（）
A．内切B．相交C．外切D．相离
7．下列命题正确的是（）
A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
俯视图
8．设变量满足约束条件,
则的最大值为（）
A．B．C．D．
9．右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）
A．72B．36C．24D．12
10．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意两个实数，不等式
恒成立，则不等式的解集为（）
A．B．C．D．
二、填空题：
（本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分）
（一）必做题：
第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答．
11．已知向量，且，则实数____________．
12．在中，内角对边的边长分别是，若，，，
则____________．
13．是平面内不共线的三点，点在该平面内且有，现将一粒黄豆随机
撒在内，则这粒黄豆落在内的概率为___________．
（二）选做题：
第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。
O
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线
被圆截得的弦长为____________．
15．（几何证明选做题）如图，已知内接于圆，点在
的延长线上，切圆于，若,,
则的长为____________．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）
已知向量.令，
（1）求的最小正周期；
（2）当时，求的最小值以及取得最小值时的值.
17.（本小题满分12分）
甲高中
乙高中
丙高中
女生
153
男生
97
90
惠州市某县区共有甲、乙、丙三所高中的高三文科学生共有800人，各学校男、女生人数如右表：
已知在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取1人，抽到乙高中女生的概率为．
（1）求表中的值；
（2）惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所有高三文科学生中利用随机
数表法抽取100人进行成绩统计分析，先将800人按001,002，…,800进行编号。
如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的3个人的编号；
（下面摘取了随机数表中第7行至第9行）
84421753315724550688770474476721763350268392
63015316591692753862982150717512867358074439
13263321134278641607825207443815032442997931
（3）已知，，求丙高中学校中的女生比男生人数多的概率。
18．（本小题满分14分）
（第18题）
如图，在直三棱柱中，，、分别是，的中点．
（1）求证：
∥平面；
（2）求证：
平面平面；
（3）若，，
求三棱锥的体积．
19．（本小题满分14分）
已知递增等差数列中的是函数的两个零点．数列满足，点在直线上，其中是数列的前项和．
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和．
20.（本小题满分14分）
已知直线上有一个动点，过点作直线垂直于轴，动点在上，且满足（为坐标原点），记点的轨迹为．
（1）求曲线的方程；
（2）若直线是曲线的一条切线，当点到直线的距离最短时，求直线的方程．
21．（本小题满分14分）
已知函数的导函数．
（1）若，不等式恒成立，求a的取值范围；
（2）解关于x的方程；
（3）设函数，求时的最小值．
惠州市2017-2018届高三第三次调研考试
数学试题（文科）参考答案1
一、选择题（每小题5分，共50分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
C
A
B
C
B
D
D
1．【解析】直接可得,故选A.
2．【解析】，而，即，，故选D.
3．【解析】函数式若有意义需满足条件：
取交集可得：
，故选C.
4．【解析】等差数列中，由，且得，则，故选C.
5．【解析】因为，所以，则“”是“”的充分而不必要条件。
先解出，再进行判断即可。
故选A.
6．【解析】通过求出两圆心的距离为：
<5，即，因此选B.
7．【解析】若两条直线和同一平面所成角相等，这两条直线可能平行，也可能为异面直线，
也可能相交，所以A错；两平面相交时也可以有三个点到另一个平面的距离相等，故B错；
若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行，也可以垂直；
故D错；故选项C正确.
8．【解析】目标函数可以变形为，则表示为可行域内的点和原点连线的直线的斜率，由图可知：
当其经过点时，直线的斜率最大，即有最大值为，故选B.
9．【解析】本题的直观图是一个三棱锥.由三视图知底面三角形的高为3，底边长为6，则底面三角形的面积为，由侧视图知有一条侧棱与底面垂直，三棱锥的高为4，直接代公式可求体积，故选D.
10．【解析】函数是定义在上的奇函数，则关于原点对称，由函数的图像向左平移一个单位得到函数的图像，则函数的图像关于点对称；又对于任意的满足不等式可知，函数在上单调递增，结合图像可知得，则，故选D．
二、填空题：
（每小题5分，共20分）
11、0．12、13、14、15、
11【解析】∵，且，∴，解之可得x=0．故答案为0.
12【解析】根据正弦定理可得解得，又因为，则，故B为锐角，所以，故答案为.
13【解析】由，则点是边的三等分点（靠近点），得长度关系，且与的高相等，则：
，所以所求概率为.
14【解析】直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为，因为圆心（0,0）到直线的距离d=2,半径r=4，所以截得的弦长为.
15【解析】∵OA=OC，且，∴△AOC是等边三角形，∴OA=AC=2，∵∠OAD=90°，∠D=30°，∴AD=•AO=．故答案为：
．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）
【知识点】的图像及性质.
【解析】………………………….2分
……………………...4分
………………………………………………………5分
（1）由最小正周期公式得：
…………………………………………6分
（2），则…………………………………………7分
令，则，……………………………………………….8分
从而在单调递减，在单调递增……………….10分
即当时，函数取得最小值……………………………12分
【思路点拨】先利用平方差公式把原式展开，再利用辅助角公式进行化简，
（1）由最小正周期公式得结果；
（2）借助于三角函数的单调性求出单调区间，同时求出最大值。
17.（本小题满分12分）
【解析】
（1）由，得，即表中的值为……………………………2分
（2）依题意，最先检测的3个人的编号依次为165,538,629；………………………………5分
（3）设“丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多”的事件为，其中女生男生数记为.
由
（1）知，则，且，，
∴满足条件的有：
（145，155）；（146，154）；（147，153）；（148，152）；（149，151）；
（150，150）；（151，149）；（152，148）；（153，147）；（154，146）；（155，145）共11组，
且每组出现的可能性相同.…………………………………9分
其中事件包含的基本事件，即满足的有：
（151，149）；（152，148）；（153，147）；（154，146）；（155，145）共5组.…………11分
∴丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多的概率.………………………12分
18．（本小题满分14分）
证明：
（1）连结，因为直三棱柱中，四边形是矩形，
故点在上，且为的中点．
在中，因为E，F分别是，的中点，故．……………2分
又因平面，平面，所以平面………………4分
（其它方法参照给分）
（2）在直三棱柱中，平面，所以………………6分
由
（1）知，且，则
因，故平面………………………………9分
又平面，故平面平面………………………………10分
（3）………………………………12分
………………………………14分
（其它方法参照给分）
19．（本小题满分14分）
【知识点】等差、等比数列的通项公式；错位相减法求数列的和.
【解析】
（1）因为，是函数的两个零点，则
，解得：
或.………………………………………………..2分
又等差数列递增，则，所以…………………………….4分
因为点在直线上，则。
当时，，即.………………………………………………….5分
当时，，即.………………..…6分
所以数列为首项为，公比为的等比数列，即.…………….…7分
（2）由
（1）知：
且，…………………………………...…8分
则…………………………………………………...9分
所以①
②.…………………10分
①-②得：
.……12分
所以.或写.…………………14分
【思路点拨】
（1）先解出两个零点，再利用等差、等比数列的通项公式即可；
（2）直接使用错位相减法求之即可。
20．（本小题满分14分）
（1）解:
设点的坐标为,则点的坐标为.
∵,
∴.（或者用向量：
，且得出）
当时,得,化简得.……2分
当时,、、三点共线，不符合题意，故.
∴曲线的方程为.……4分
（2）解法1:
∵直线与曲线相切,
∴直线的斜率存在.
设直线的方程为,……5分
由得.
∵直线与曲线相切,则,即.
∴直线的方程为……6分
∴
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