高中数学23二次函数与幂函数教案新人教A版必修1.docx
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高中数学23二次函数与幂函数教案新人教A版必修1
二次函数与幂函数
一、教学目标
（一）通过对幂函数的图象与性质的回顾，延伸到二次函数图像与性质的应用；
（二）渗透分类讨论、数形结合的数学思想及类比、联想的学习方法，提高归纳与概括的能力；
（三）培养积极思考，通过自主探索获取新知的学习习惯和科学严谨的学习态度；体会从特殊到一般的思维过程.
二、学情分析
作为一节复习课，本课例的实施对象具有如下特点：
1.知识储备方面
学习幂函数之后，结合初中已经掌握的二次函数知识，进一步深入探究二次函数的图像与性质的特点.
2.思维水平方面
所授课班级是普通班学生，学生有一般的数学素养和数学思维能力，对数学充满探索精神，同时对课堂教学有较高需求.
三、重点难点
重点：
依托幂函数的图像与性质来研究二次函数的图象与性质.
难点：
二次函数的图像与性质的三类区间与轴的问题
四、教学过程
（一）小题热身
1．若f（x）既是幂函数又是二次函数，则f（x）可以是（ ）
A．f（x）＝x2－1 B．f（x）＝5x2C．f（x）＝－x2D．f（x）＝x2
答案：
D
2．已知f（x）＝－4x2＋4ax－4a－a2（a<0）在区间[0,1]上有最大值－12，则实数a等于（ ）
A．－6B．－5C．－4D．－3
解析：
选A f（x）＝－4x2＋4ax－4a－a2＝－4
2－4a，对称轴为x＝
，∵a<0，∴f（x）在区间[0,1]上是减函数，∴函数f（x）在区间[0,1]上最大值为f（0）＝－a2－4a＝－12，∴a＝－6或a＝2（舍）．
3．（必修1·P82A组第10题变式）函数f（x）＝（m2－m－1）·xm2－2m－3是幂函数，且在x∈（0，＋∞）上是减函数，则实数m的值为（ ）
A．2B．－1C．0D．2或－1
解析：
选A 由题意知m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.
当m＝2时，m2－2m－3＝－3，f（x）＝x－3符合题意；
当m＝－1时，m2－2m－3＝0，f（x）＝x0不合题意．综上知m＝2.
4．如果函数f（x）＝x2＋（a＋2）x＋b（x∈[a，b]）的图象关于直线x＝1对称，则函数f（x）的最小值为________．
解析：
由题意知
得
则f（x）＝x2－2x＋6＝（x－1）2＋5≥5.
答案：
5
5．当x∈（1,2）时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是________．
解析：
设f（x）＝x2＋mx＋4，当x∈（1,2）时，
f（x）＜0恒成立⇔
⇒
⇒m≤－5.
答案：
（－∞，－5]
（二）知识回顾
一、必记3个知识点
1．五种常见幂函数的图象与性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
（－∞，0]减，（0，＋∞）增
增
增
（－∞，0）和（0，＋∞）减
公共点
（1,1）
2．二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：
f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）；
（2）顶点式：
f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）；
（3）零点式：
f（x）＝a（x－x1）（x－x2）（a≠0）．
3．二次函数的图象和性质
a>0
a<0
图象
定义域
x∈R
值域
单调性
在
上递减，在
上递增
在
上递增，在
上递减
奇偶性
b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数
图象特点
①对称轴：
x＝－
②顶点：
（三）典例分析
考点一、函数的图象与性质
1.（2014·浙江高考）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝xa（x≥0），g（x）＝logax的图象可能是（ ）
解析：
选D 当a>1时，函数f（x）＝xa（x>0）单调递增，函数g（x）＝logax单调递增，且过点（1,0），由幂函数的图象性质可知C错；当00）单调递增，函数g（x）＝logax单调递减，且过点（1,0），排除A；又由幂函数的图象性质可知B错，因此选D.
2.图中曲线是幂函数y＝xα在第一象限的图象．已知α取±2，±
四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的α值依次为____________．
答案：
2，
，－
，－2
3．设a＝
，b＝
，c＝
，则a，b，c的大小关系是________．
解析：
∵y＝x
（x>0）为增函数，∴a>c.∵y＝
x（x∈R）为减函数，∴c>b，∴a>c>b.
答案：
a>c>b
小结：
类题通法
1．幂函数y＝xα的图象与性质由于α的值不同而比较复杂，一般可从以下两个方面考查：
（1）α的正负：
α>0时，图象过原点和（1,1），在第一象限的图象上升；α<0时，图象不过原点，在第一象限的图象下降．
（2）曲线在第一象限的凹凸性：
α>1时，曲线下凸；0<α<1时，曲线上凸；α<0时，曲线下凸．
2．在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数．借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键．
考点二、求二次函数的解析式
[典例] 已知二次函数f（x）满足f
（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．
[解] 法一（利用一般式）：
设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）．
由题意得
解得
∴所求二次函数为f（x）＝－4x2＋4x＋7.
法二（利用顶点式）：
设f（x）＝a（x－m）2＋n.
∵f
（2）＝f（－1），∴抛物线的对称轴为x＝
＝
.∴m＝
.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.∴y＝f（x）＝a
2＋8.∵f
（2）＝－1，∴a
2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f（x）＝－4
2＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三（利用零点式）：
由已知f（x）＋1＝0两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1），
即f（x）＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值ymax＝8，即
＝8.
解得a＝－4或a＝0（舍）．
∴所求函数的解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.
小结：
求二次函数解析式的方法
根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，规律如下：
[针对训练]
（2014·北京高考）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：
分钟）满足函数关系p＝at2＋bt＋c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟B．3.75分钟
C．4.00分钟D．4.25分钟
解析：
选B 由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点（3,0.7），（4,0.8），（5,0.5），分别代入解析式，得
解得
所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2（t－3.75）2＋0.8125，
所以当t＝3.75分钟时，可食用率p最大．故选B.
考点三、二次函数的图象与性质
角度一 轴定区间定求最值
1．已知函数f（x）＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]．
（1）当a＝－2时，求f（x）的最值；
（2）当a＝1时，求f（|x|）的单调区间．
解：
（1）当a＝－2时，f（x）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，
∵x∈[－4,6]，
∴f（x）在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，
∴f（x）的最小值是f
（2）＝－1.
又f（－4）＝35，f（6）＝15，
故f（x）的最大值是35.
（2）当a＝1时，f（x）＝x2＋2x＋3，
∴f（|x|）＝x2＋2|x|＋3，此时定义域为x∈[－6,6]，
且f（x）＝
∴f（|x|）的单调递增区间是（0,6]，单调递减区间是[－6,0]．
角度二 轴动区间定求最值
2．已知函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]时有最大值2，求a的值．
解：
函数f（x）＝－x2＋2ax＋1－a＝－（x－a）2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.
①当a<0时，f（x）max＝f（0）＝1－a，
∴1－a＝2，∴a＝－1.
②当0≤a≤1时，f（x）max＝f（a）＝a2－a＋1，
∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，
∴a＝
（舍）．
③当a>1时，f（x）max＝f
（1）＝a，∴a＝2.
综上可知，a＝－1或a＝2.
角度三 轴定区间动求最值
3．设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g（a），求g（a）．
解：
∵函数y＝x2－2x＝（x－1）2－1，
∴对称轴为直线x＝1.
当－2当a>1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.
综上，g（a）＝
（四）小结与作业
1.让学生回顾本节课的收获
2.教师点评小结：
影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法
（1）最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关．
（2）常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值．当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论．
3.作业布置
作业本单元练习
中国书法艺术说课教案
今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：
本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
书法作为中国特有的一门线条艺术，在书写中与笔、墨、纸、砚相得益彰，是中国人民勤劳智慧的结晶，是举世公认的艺术奇葩。
早在5000年以前的甲骨文就初露端倪，书法从文字产生到形成文字的书写体系，几经变革创造了多种体式的书写艺术。
1、教学目标：
使学生了解书法的发展史概况和特点及书法的总体情况，通过分析代表作品，获得如何欣赏书法作品的知识，并能作简单的书法练习。
2、教学重点与难点：
（一）教学重点
了解中国书法的基础知识，掌握其基本特点，进行大量的书法练习。
（二）教学难点：
如何感受、认识书法作品中的线条美、结构美、气韵美。
3、教具准备：
粉笔，钢笔，书写纸等。
4、课时：
一课时
二、教学方法：
要让学生在教学过程中有所收获，并达到一定的教学目标，在本节课的教学中，我将采用欣赏法、讲授法、练习法来设计本节课。
（1） 欣赏法：
通过幻灯片让学生欣赏大量优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
（2） 讲授法：
讲解书法文字的发展简史，和形式特征，让学生对书法作进一步的了解和认识，通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！
（3） 练习法：
为了使学生充分了解、认识书法名家名作的书法功底和技巧，请学生进行局部临摹练习。
三、教学过程：
（一）组织教学
让学生准备好上课用的工具，如钢笔，书与纸等;做好上课准备，以便在以下的教学过程中有一个良好的学习气氛。
（二）引入新课，
通过对上节课所学知识的总结，让学生认识到学习书法的意义和重要性！
（三）讲授新课
1、在讲授新课之前，通过大量幻灯片让学生欣赏一些优秀的书法作品，使学生对书法产生浓厚的兴趣。
2、讲解书法文字的发展简史和形式特征，让学生对书法作品进一步的了解和认识通过对书法理论的了解，更深刻的认识书法，从而为以后的书法练习作重要铺垫！
A书法文字发展简史：
①古文字系统
甲古文——钟鼎文——篆书
早在5000年以前我们中华民族的祖先就在龟甲、兽骨上刻出了许多用于记载占卜、天文历法、医术的原始文字“甲骨文”；到了夏商周时期，由于生产力的发展，人们掌握了金属的治炼技术，便在金属器皿上铸上当时的一些天文，历法等情况，这就是“钟鼎文”（又名金文）；秦统一全国以后为了方便政治、经济、文化的交流，便将各国纷杂的文字统一为“秦篆”，为了有别于以前的大篆又称小篆。
（请学生讨论这几种字体的特点？
）古文字是一种以象形为主的字体。
②今文字系统
隶书——草书——行书——楷书
到了秦末、汉初这一时期，各地交流日见繁多而小篆书写较慢，不能满足需要，隶书便在这种情况下产生了，隶书另一层意思是平民使用，同时还出现了一种草写的章草（独草），这时笔墨纸都已出现，对书法的独立创作起到了积极的推动作用。
狂草在魏晋出现，唐朝的张旭、怀素将它推向顶峰；行书出现于晋，是一种介于楷、行之间的字体；楷书也是魏晋出现，唐朝达到顶峰，著名的书法家有欧阳询、颜真卿、柳公权。
（请学生谈一下对今文字是怎样理解的？
），教师进行归纳：
它们的共同特点是已经摆脱了象形走向抽象化。
B主要书体的形式特征
①古文字：
甲骨文，由于它处于文明的萌芽时期，故字形错落有致辞，纯古可爱，目前发现的总共有3000多字，可认识的约1800字。
金文，处在文明的发展初期，线条朴实质感饱满而丰腴，因它多附在金属器皿上，所以保存完整。
石鼓文是战国时期秦的文字，记载的是君王外出狩猎和祈祷丰年，秦篆是一种严谨刻板的纯实用性的字体，艺术价值很小。
②今文字：
隶书是在秦篆严谨的压抑下出现的一种潇洒开放型的新字体，课本图例《张迁碑》结构方正，四周平稳，刚劲沉着，是汉碑方笔的典范，章草是在隶书基础上更艺术化，实用化的字体，索靖《急就章》便是这种字体的代表作，字字独立，高古凝重，楷书有两大部分构成：
魏碑、唐楷魏碑是北魏时期优秀书法作品的统称。
《郑文公碑》和《始平公造像》是这一时期的代表，前者气势纵横，雄浑深厚，劲健绝逸是圆笔的典型；唐楷中的《醴泉铭》法度森严、遒劲雄强，浑穆古拙、浑厚刚健，《神策军碑》精练苍劲、风神整峻、法度谨严，以上三种书体分别代表了唐楷三个时期的不同特点。
《兰亭序》和《洛神赋》作者分别是晋代王羲之、王献之父子是中国书法史上的两座高峰，前者气骨雄骏、风神跌宕、秀逸萧散的境界，后者在技法上达到了由拙到巧、笔墨洗练、丝丝入扣的微妙的境界。
他们都是不拘泥于传统的章法和技能，对后世学书者产生了深远的影响；明代文征明的书法文雅自如，现代书家沈尹默在继承传统书法方面起到了不可魔灭的作用。
3、欣赏要点：
先找几位同学说一下自己评价书法作品的标准或原则是什么？
[或如何来欣赏一幅书法作品？
]学生谈完后，对他们的观点进行归纳总结。
然后自己要谈一下自己的观点：
书法艺术的欣赏活动，有着不同于其它艺术门类的特征，欣赏书法伤口不可能获得相对直接的印象、辨识与教益，也不可能单纯为了使学生辨识书写的内容，去探讨言词语汇上的优劣。
进而得出：
书法主要是通过对抽象的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受（结合讲授出示古代书法名作的图片，并与一般的书法作品进行比较，让学生在比较中得出什么是格调节器高雅，什么是粗庸平常）。
书法可以说是无声的音乐，抽象的绘画，线条流动的诗歌。
四、课堂评价：
根据本节课所学的内容结合板书。
让学生体会到祖国书法艺术的博大精深，着重分析学生在书体形式特点和审美欣赏方面表现出的得失。
让学生懂得在欣赏书法时主要是通过对抽像的点画线条、结构形态和章法布局等有“情趣意味“的形式，从客观物象各种美的体态，安致这些独有的特性中，使人们在欣赏时得到精神上健康闲静的愉悦和人们意念境界里的美妙享受。
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