答案 A
2.(2017·南昌模拟)若正数x,y满足+=1,则3x+4y的最小值是( )
A.24B.28C.25D.26
解析 ∵正数x,y满足+=1,
则3x+4y=(3x+4y)=13++≥13+3×2=25,当且仅当x=2y=5时取等号.
∴3x+4y的最小值是25.
答案 C
3.(2017·全国Ⅲ卷)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是( )
A.[-3,0]B.[-3,2]
C.[0,2]D.[0,3]
解析
画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示),结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.
答案 B
4.已知当x<0时,2x2-mx+1>0恒成立,则m的取值范围为( )
A.[2,+∞)B.(-∞,2]
C.(-2,+∞)D.(-∞,-2)
解析 由2x2-mx+1>0,得mx<2x2+1,
因为x<0,所以m>=2x+.
又2x+=-
≤-2=-2.
当且仅当-2x=-,即x=-时取等号,
所以m>-2.
答案 C
5.(2016·济南十校二模)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=( )
A.3B.2C.-2D.-3
解析 不
等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2,0),由得B(1,1).
由z=ax+y,得y=-ax+z.
∴当a=-2或-3时,z=ax+y在O(0,0)处取得最大值,最大值为zmax=0,不满足题意,排除C,D;当a=2或3时,z=ax+y在A(2,0)处取得最大值,∴2a=4,∴a=2,排除A,故选B.
答案 B
二、填空题
6.已知函数f(x)=那么不等式f(x)≥1的解集为________.
解析 当x>0时,由log3x≥1可得x≥3,当x≤0时,由≥1可得x≤0,
∴不等式f(x)≥1的解集为(-∞,0]∪[3,+∞).
答案 (-∞,0]∪[3,+∞)
7.(2017·北京卷)已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是________.
解析 法一 ∵x≥0,y≥0且x+y=1.
∴2≤x+y=1,当且仅当x=y=时取等号,
从而0≤xy≤,
因此x2+y2=(x+y)2-2xy=1-2xy,
所以≤x2+y2≤1.
法二 可转化为线段AB上的点到原点距离平方的范围,AB上的点到原点距离的范围为,则x2+y2的取值范围为.
答案
8.(2017·长郡中学二模)曲线x=|y-1|与y=2x-5围成封闭区域(含边界)为Ω,直线y=3x+b与区域Ω有公共点,则b的最小值为________.
解析
作x=|y-1|与y=2x-5围成的平面区域如图,
由解得A(6,7),
平移直线y=3x+b,则由图象可知当直线经过点A时,直线y=3x+b在y轴上的截距最小,此时b最小.
∴b=-3x+y的最小值为-18+7=-11.
答案 -11
三、解答题
9.(2017·郴州二模改编)设关于x,y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求实数m的取值范围.
解 先根据约束条件画出可行域(图略),
要使可行域存在,必有m<-2m+1,要求可行域包含直线y=x-1上的点,只要边界点(-m,1-2m)在直线y=x-1的上方,且(-m,m)在直线y=x-1的下方,
故得不等式组解之得m<-.
故实数m的取值范围是.
10.已知函数f(x)=.
(1)若f(x)>k的解集为{x|x<-3,或x>-2},求k的值;
(2)对任意x>0,f(x)≤t恒成立,求t的取值范围.
解
(1)f(x)>k⇔kx2-2x+6k<0.
由已知{x|x<-3,或x>-2}是其解集,得kx2-2x+6k=0的两根是-3,-2.
由根与系数的关系可知(-2)+(-3)=,即k=-.
(2)因为x>0,f(x)==≤=,当且仅当x=时取等号.
由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立,
故t≥,即t的取值范围是.
11.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示:
连续剧播放
时长(分钟)
广告播放
时长(分钟)
收视人次(万)
甲
70
5
60
乙
60
5
25
已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.
(1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;
(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次最多?
解
(1)由已知,x,y满足的数学关系式为即
该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:
(2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y.
考虑z=60x+25y,将它变形为y=-x+,这是斜率为-,随z变化的一族平行直线,为直线在y轴上的截距,当取得最大值时,z的值最大.
又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的点M时,截距最大,即z最大.
解方程组得点M的坐标为(6,3).
所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.