届高考数学理二轮复习 名师讲义专题一 函数与导数不等式 第3讲.docx

1、届高考数学理二轮复习 名师讲义专题一 函数与导数不等式 第3讲第3讲不等式高考定位1.利用不等式性质比较大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值及线性规划问题是高考的热点，主要以选择题、填空题为主；2.在解答题中，特别是在解析几何中求最值、范围问题或在解决导数问题时常利用不等式进行求解，难度较大.真 题 感 悟1.(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z2xy的最小值是()A.15 B.9 C.1 D.9解析可行域如图阴影部分所示，当直线y2xz经过点A(6，3)时，所求最小值为15.答案A2.(2016山东卷)若变量x，y满足则x2y2的最大值是()A.4 B.9 C.10 D.12解析作

2、出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示：x2y2表示区域内点到原点距离的平方，由得A(3，1).由图形知，(x2y2)max|OA|232(1)210.答案C3.(2017天津卷)若a，bR，ab0，则的最小值为_.解析a，bR，ab0，4ab24，当且仅当即时取得等号.答案44.(2017全国卷)设函数f(x)则满足f(x)f 1的x的取值范围是_.解析当x0时，f(x)f (x1)，原不等式化为2x1，解得x0，当01，该式恒成立，当x时，f(x)f 2x2x，又x时，2x2x22011恒成立，综上可知，不等式的解集为.答案考 点 整 合1.不等式的解法(1)一元二次不等式的解法.一

3、元二次不等式ax2bxc0(或0)，如果a与ax2bxc同号，则其解集在两根之外；如果a与ax2bxc异号，则其解集在两根之间.(2)简单分式不等式的解法.0(0(0，b0).(4)2(a2b2)(ab)2(a，bR，当ab时等号成立).3.利用基本不等式求最值(1)如果x0，y0，xyp(定值)，当xy时，xy有最小值2(简记为：积定，和有最小值).(2)如果x0，y0，xys(定值)，当xy时，xy有最大值s2(简记为：和定，积有最大值).4.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要

4、注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.热点一不等式的性质及解法【例1】 (1)已知函数f(x)(x2)(axb)为偶函数，且在(0，)单调递增，则f(2x)0的解集为()A.x|x2或x2 B.x|2x2C.x|x4 D.x|0x0.f(2x)0即ax(x4)0，解得x4.(2)f(x)3x22ex3x2223x20且f(x)不恒为0，所以f(x)为单调递增函数.又f(x)x32xexex(x32xex)f(x)，故f(x)为奇函数，由f(a1)f(2a2)0，得f(2a2)f(1a)，2a21a，解之得1a，故实数a的取值范围是.答案(1)C(2)探究提高1.解一元二次不等式：先化为一般形

5、式ax2bxc0(a0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集.2.(1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化.(2)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论.【训练1】 (1)若不等式x2ax10对于一切a2，2恒成立，则x的取值范围是_.(2)已知不等式|a2a|对于x2，6恒成立，则a的取值范围是_.解析(1)因为a2，2，可把原式看作关于a的一次函数，即g(a)xax210，由题意可知解之得xR.(2)设y，y0，b0)过点(1，2)，则2ab的最小值为_.(2)(2016江苏卷改编)已知函数f(x)2x，若对于任意xR，不等式f(2x)mf(

6、x)6恒成立，则实数m的最大值为_.解析(1)直线1(a0，b0)过点(1，2)，1(a0，且b0)，则2ab(2ab)4428.当且仅当，即a2，b4时上式等号成立.因此2ab的最小值为8.(2)由条件知f(2x)22x22x(2x2x)22(f(x)22.f(2x)mf(x)6对于xR恒成立，且f(x)0，m对于xR恒成立.又f(x)24，且4，m4，故实数m的最大值为4.答案(1)8(2)4探究提高1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时

7、，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错.【训练2】 (1)已知向量a(3，2)，b(x，y1)，且ab，若x，y均为正数，则的最小值是()A. B. C.8 D.24(2)若实数a，b满足，则ab的最小值为()A. B.2 C.2 D.4解析(1)ab，3(y1)2x0，即2x3y3.x0，y0，(2x3y)(1226)8.当且仅当3y2x时取等号.(2)依题意知a0，b0，则2，当且仅当，即b2a时，“”成立.，即ab2，ab的最小值为2.答案(1)C(2)C热点三简单的线性规划问题命题角度1已知线性约束条件，求

8、线性目标函数最值【例31】 (1)(2017天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数zxy的最大值为()A. B.1 C. D.3(2)(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_.解析(1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由zxy得yxz，作出直线yx，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B(0，3)处取得，故zmax033，选项D符合.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z3x2y得yx，求z的最小值，即求直线yx的纵截距的最大值，当直线yx过图中点A时，纵截距最大，由解得A点坐标为(1，1)，此时z3(1)215.答案(1)D(2)5

9、命题角度2求非线性目标函数的最值【例32】 (2017汉中模拟)已知实数x，y满足则z的取值范围是_.解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，联立得A(2，0).联立得点B(5，6).z的几何意义为可行域内的动点与定点P(2，1)连线的斜率，kPA，kPB1，z的取值范围为.答案命题角度3线性规划中参数问题【例33】 (2017池州模拟)已知x，y满足约束条件目标函数z2x3y的最大值是2，则实数a()A. B.1 C. D.4解析作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，目标函数z2x3y的最大值是2，由图象知z2x3y经过平面区域的A时目标函数取得最大值2.由解得A(4，2)

10、，同时A(4，2)也在直线axy40上，4a2，则a.答案A探究提高1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得

11、这样的最优解在该区域内即可.【训练3】 (1)(2017山东卷)已知x，y满足约束条件则zx2y的最大值是()A.0 B.2 C.5 D.6(2)(2017新乡模拟)若实数x，y满足且zmxy(m2)的最小值为，则m等于()A. B. C.1 D.解析(1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数zx2y经过点C(3，4)时取最大值zmax3245.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，zmxy(m2)的最小值为，可知目标函数的最优解过点A，由解得A，3，解得m1.答案(1)C(2)C1.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等

12、号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法.2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.4.解答不等式与导数、数列的综合问题时，不等式作为一种工具常起到关键的作用，往往涉及到不等式的证明方法(如比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法等).在求解过程中

13、，要以数学思想方法为思维依据，并结合导数、数列的相关知识解题，在复习中通过解此类问题，体会每道题中所蕴含的思想方法及规律，逐步提高自己的逻辑推理能力.一、选择题1.(2016全国卷)已知a2，b3，c25，则()A.bac B.abcC.bca D.cab解析a2，b3，c25，所以bac.答案A2.(2017南昌模拟)若正数x，y满足1，则3x4y的最小值是()A.24 B.28 C.25 D.26解析正数x，y满足1，则3x4y(3x4y)13133225，当且仅当x2y5时取等号.3x4y的最小值是25.答案C3.(2017全国卷)设x，y满足约束条件则zxy的取值范围是()A.3，0

14、B.3，2C.0，2 D.0，3解析画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3)处取得最小值z033，在点B(2，0)处取得最大值z202.答案B4.已知当x0时，2x2mx10恒成立，则m的取值范围为()A.2，) B.(，2C.(2，) D.(，2)解析由2x2mx10，得mx2x21，因为x0，所以m2x.又2x22.当且仅当2x，即x时取等号，所以m2.答案C5.(2016济南十校二模)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a()A.3 B.2 C.2 D.3解析不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.易知A(2，0)，由得B(

15、1，1).由zaxy，得yaxz.当a2或3时，zaxy在O(0，0)处取得最大值，最大值为zmax0，不满足题意，排除C，D；当a2或3时，zaxy在A(2，0)处取得最大值，2a4，a2，排除A，故选B.答案B二、填空题6.已知函数f(x)那么不等式f(x)1的解集为_.解析当x0时，由log3x1可得x3，当x0时，由1可得x0，不等式f(x)1的解集为(，03，).答案(，03，)7.(2017北京卷)已知x0，y0，且xy1，则x2y2的取值范围是_.解析法一x0，y0且xy1.2xy1，当且仅当xy时取等号，从而0xy，因此x2y2(xy)22xy12xy，所以x2y21.法二可转

16、化为线段AB上的点到原点距离平方的范围，AB上的点到原点距离的范围为，则x2y2的取值范围为.答案8.(2017长郡中学二模)曲线x|y1|与y2x5围成封闭区域(含边界)为，直线y3xb与区域有公共点，则b的最小值为_.解析作x|y1|与y2x5围成的平面区域如图，由解得A(6，7)，平移直线y3xb，则由图象可知当直线经过点A时，直线y3xb在y轴上的截距最小，此时b最小.b3xy的最小值为18711.答案11三、解答题9.(2017郴州二模改编)设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x02y02，求实数m的取值范围.解先根据约束条件画出可行域(图略)，要使可行

17、域存在，必有m2m1，要求可行域包含直线yx1上的点，只要边界点(m，12m)在直线yx1的上方，且(m，m)在直线yx1的下方，故得不等式组解之得m.故实数m的取值范围是.10.已知函数f(x).(1)若f(x)k的解集为x|x3，或x2，求k的值；(2)对任意x0，f(x)t恒成立，求t的取值范围.解(1)f(x)kkx22x6k0.由已知x|x3，或x2是其解集，得kx22x6k0的两根是3，2.由根与系数的关系可知(2)(3)，即k.(2)因为x0，f(x)，当且仅当x时取等号.由已知f(x)t对任意x0恒成立，故t，即t的取值范围是.11.(2017天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧

18、，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：连续剧播放时长(分钟)广告播放时长(分钟)收视人次(万)甲70560乙60525已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x，y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x，y列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？解(1)由已知，x，y满足的数学关系式为即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z万，则目标函数为z60x25y.考虑z60x25y，将它变形为yx，这是斜率为，随z变化的一族平行直线，为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大.又因为x，y满足约束条件，所以由图2可知，当直线z60x25y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.解方程组得点M的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.