版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ322对数函数二学案新人教B版必修1含答案.docx

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版高中数学第三章基本初等函数Ⅰ322对数函数二学案新人教B版必修1含答案

3.2.2　对数函数

（二）

学习目标　1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法.2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法.3.会解简单的对数不等式．

知识点一　y＝logaf（x）型函数的单调区间

思考　我们知道y＝2f（x）的单调性与y＝f（x）的单调性相同，那么y＝log2f（x）的单调区间与y＝f（x）的单调区间相同吗？

梳理　一般地，形如函数f（x）＝logag（x）的单调区间的求法：

（1）先求g（x）＞0的解集（也就是函数的定义域）；

（2）当底数a大于1时，g（x）＞0限制之下g（x）的单调增区间是f（x）的单调增区间，g（x）＞0限制之下g（x）的单调减区间是f（x）的单调减区间；（3）当底数a大于0且小于1时，g（x）＞0限制之下g（x）的单调区间与f（x）的单调区间正好相反．

知识点二　对数不等式的解法

思考　log2x＜log23等价于x＜3吗？

梳理　对数不等式的常见类型

当a＞1时，

logaf（x）＞logag（x）⇔

当0＜a＜1时，

logaf（x）＞logag（x）⇔

知识点三　不同底的对数函数图象的相对位置

思考　y＝log2x与y＝log3x同为（0，＋∞）上的增函数，都过点（1,0），怎样区分它们在同一坐标系内的相对位置？

梳理　一般地，对于底数a>1的对数函数，在（1，＋∞）区间内，底数越大越靠近x轴；对于底数0

类型一　对数型复合函数的单调性

例1　求函数y＝log（－x2＋2x＋1）的值域和单调区间．

反思与感悟　求复合函数的单调性要抓住两个要点：

（1）单调区间必须是定义域的子集，哪怕一个端点都不能超出定义域；

（2）f（x），g（x）单调性相同，则f（g（x））为增函数；f（x），g（x）单调性相异，则f（g（x））为减函数，简称“同增异减”．

跟踪训练1　已知函数f（x）＝log（－x2＋2x）．

（1）求函数f（x）的值域；

（2）求f（x）的单调性．

例2　已知函数y＝log（x2－ax＋a）在区间（－∞，）上是增函数，求实数a的取值范围．

反思与感悟　若a>1，则y＝logaf（x）的单调性与y＝f（x）的单调性相同，若0

跟踪训练2　若函数f（x）＝loga（6－ax）在[0,2]上为减函数，则a的取值范围是（　　）

A．（0,1）B．（1,3）

C．（1,3]D．[3，＋∞）

类型二　对数型复合函数的奇偶性

例3　判断函数f（x）＝ln的奇偶性．

引申探究

若已知f（x）＝ln为奇函数，则正数a，b应满足什么条件？

反思与感悟　

（1）指数函数、对数函数都是非奇非偶函数，但并不妨碍它们与其他函数复合成奇函数（或偶函数）．

（2）含对数式的奇偶性判断，一般用f（x）±f（－x）＝0来判断，运算相对简单．

跟踪训练3　判断函数f（x）＝lg（－x）的奇偶性．

类型三　对数不等式

例4　已知函数f（x）＝loga（1－ax）（a＞0，且a≠1）．解关于x的不等式：

loga（1－ax）＞f

（1）．

反思与感悟　对数不等式解法要点

（1）化为同底logaf（x）＞logag（x）；

（2）根据a＞1或0＜a＜1去掉对数符号，注意不等号方向；

（3）加上使对数式有意义的约束条件f（x）＞0且g（x）＞0.

跟踪训练4　已知A＝{x|log2x<2}，B＝{x|<3x<}，则A∩B等于（　　）

A.B．（0，）

C.D．（－1，）

1.如图所示，曲线是对数函数f（x）＝logax的图象，已知a取，，，，则对应于C1，C2，C3，C4的a值依次为（　　）

A.，，，B.，，，

C.，，，D.，，，

2．如果logx

A．y

C．1

3．函数f（x）＝lg（x∈R）是（　　）

A．奇函数B．偶函数

C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数

4．函数f（x）＝的定义域为________．

5．函数f（x）＝lnx2的减区间为____________．

1．与对数函数有关的复合函数的单调区间、奇偶性、不等式问题都要注意定义域的影响．

2．在对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）中，底数a对其图象的影响：

无论a取何值，对数函数y＝logax（a>0，且a≠1）的图象均过点（1,0），且由定义域的限制，函数图象穿过点（1,0）落在第一、四象限，随着a的逐渐增大，y＝logax（a>1，且a≠1）的图象绕（1,0）点在第一象限由左向右顺时针排列，且当01时函数单调递增．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　y＝log2f（x）与y＝f（x）的单调区间不一定相同，因为y＝log2f（x）的定义域与y＝f（x）定义域不一定相同．

知识点二

思考　不等价．log2x＜log23成立的前提是log2x有意义，即x＞0，

∴log2x＜log23⇔0＜x＜3.

知识点三

思考　可以通过描点定位，也可令y＝1，对应x值即底数．

题型探究

例1　解　设t＝－x2＋2x＋1，

则t＝－（x－1）2＋2.

∵y＝logt为减函数，且0

∵y＝log2＝－1，即函数的值域为[－1，＋∞）．

函数log（－x2＋2x＋1）的定义域为满足－x2＋2x＋1>0的x的取值范围，由函数y＝－x2＋2x＋1的图象知，1－

∵t＝－x2＋2x＋1在（1－，1）上递增，而在（1,1＋）上递减，而y＝logt为减函数．

∴函数y＝log（－x2＋2x＋1）的增区间为（1,1＋），减区间为（1－，1）．

跟踪训练1　解　

（1）由题意得－x2＋2x>0，∴x2－2x<0，

∴0

当0

∴log（－x2＋2x）≥log1＝0.

∴函数y＝log（－x2＋2x）的值域为[0，＋∞）．

（2）设u＝－x2＋2x（0

∵函数u＝－x2＋2x在（0,1）上是增函数，在（1,2）上是减函数，v＝logu是减函数，

∴由复合函数的单调性得到函数f（x）＝log（－x2＋2x）在（0,1）上是减函数，在（1,2）上是增函数．

例2　解　令g（x）＝x2－ax＋a，g（x）在上是减函数，∵0<<1，∴y＝logg（x）是减函数，而已知复合函数y＝log（x2－ax＋a）在区间（－∞，）上是增函数，

∴只要g（x）在（－∞，）上单调递减，且g（x）>0，x∈（－∞，）恒成立，

即

∴2≤a≤2（＋1），

故所求a的取值范围是[2，2（＋1）]．

跟踪训练2　B

例3　解　由>0可得－2

所以函数的定义域为（－2,2），关于原点对称．

f（－x）＝ln＝ln（）－1

＝－ln＝－f（x），

即f（－x）＝－f（x），

所以函数f（x）＝ln是奇函数．

引申探究　解　由>0得－b

∵f（x）为奇函数，∴－（－b）＝a，即a＝b.

当a＝b时，f（x）＝ln.

f（－x）＋f（x）＝ln＋ln

＝ln

＝ln1＝0，

∴有f（－x）＝－f（x），

∴此时f（x）为奇函数．

故f（x）为奇函数时，a＝b.

跟踪训练3　解　由－x>0可得x∈R，

f（x）＋f（－x）＝lg（－x）＋lg（＋x）

＝lg[（－x）（＋x）]

＝lg（1＋x2－x2）＝0.

所以f（－x）＝－f（x），

所以函数f（x）＝lg（－x）是奇函数．

例4　解　∵f（x）＝loga（1－ax），

∴f

（1）＝loga（1－a）．

∴1－a＞0.∴0＜a＜1.

∴不等式可化为loga（1－ax）＞loga（1－a）．

∴即∴0＜x＜1.

∴不等式的解集为（0,1）．

跟踪训练4　A

当堂训练

1．A　2.D　3.A　4.（0，]　5.（－∞，0）