第一章求极限练习题答案.docx

第一章求极限练习题答案.docx

《第一章求极限练习题答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第一章求极限练习题答案.docx（32页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

第一章求极限练习题答案

1求下列极限:

（1）

lim

n

2

2nn1

（1n）2

解：

原式=lim

n

2

2nn1n22n

=lim

n

2

t=2

n

阿1

2

x）x解：

原式=ymJ（1x/]

1

2=e2（3）

^3

解:

原式

lim

x3

x3

（x3）（dx2）

⑷lim

x

1）

lim

x

1

叮=1（5）

当x0时，求

limcos-cos'Ln2

x

C°S刁

=lim

n

cosxcosxL（2cos-^sin

242n

=lim

n

X.Xcossin

22

n1

2sinn

2n

=lim

n

sinx

2nsin=

2n

x

sinx歹、lim（g）nXx7sinn2n

sinx

（6）

lim

x

2.1

xsin

x

..2x21

21

xg-

limx

x一2x2

lim

x

lim

x

1

n2n1

1

yn~2

n

lim（

n

n1

n（n

2

n2n2

2

~2

n

J）

2

2

n

nn

n（n1）2_

2

nnn

1

而lim

n

故lim（

nn2n1

yn

n（n

2

2

n

D

n（n1）

2

2

nn1

lim

n

n2n2

=lim（（n乜）

n.n3,n\n.n

2

1.3函数的极限作业

1.根据函数极限的定义，验证下列极限:

¥:

角

O

13X

m

HX

。

要使&。

1春，即|x|31

只要取X[31]，则当|x|X时恒有

1

130|

X

所以lim^3

x3

0.

（2）lim.x2

x4

解：

0要使"2|J

|x

4|

2

还要使x

则当0|x

0，即卩x44，或|x

4|时，恒有|'上2|丄

n

L

4|4，只要取

所以lim\x

x，

min{2

4},

2.求下列数列极限:

（1）lim（

n

解：

令yn」-

nn1

n（n1）

因尹】

nnn

n（n1）

而lim22

nnnn

1

故lim（

nn2n1

2

n

2

n2n2

1n2n

n

2

nnn

4

n

-2nn

2.

n）

yn

n（n

12L

2

n

卫

n（n1）

2_n1

lim飞nn

-L

2

2

n1

n

2

n

limp,n3，n

n

/n3屛（nVn）、

=nim（,n3.n.n.J

（2）

1

2，

-）

n

解

3.求下列函数极限:

、nn）

（1）lim

xI解：

原式=-9

（2）

lim「

x2x2

解：

原式=[im（x2）=4

x.1x

x21

=lim

x

3x（1

x

x）

2

2lim

1（,3xAx）（x1）x1（；3xJx）（x1）

lim（■、x21.x2

x

1）解：

原式=0广1干1

（5）

lim

x

（2x1）（3x2）

（6）

（2x

2

1

1）2

11）

4.设f（x）

解:

解：

原式=0宁廿

解：

原式=lim

（x1）

x1x21

3x

2

x

x1

x>1

x2时的极限是否存在.

limf（x）

x0

2，

lim

x0

lim

f（x）

2，

lim

x1

x1

lim

x2

f（x）

1，

lim

x2

f（x）1，

f（x）

1.4

3.求下列函数极限:

3x1x

x21

=lim

x

分别讨论f（x）在

故limf（x）不存在.

x0

f（x）趋向无穷大，故

1，故limf（x）

x2

m2

HX

HX

x（1x）

3

1（；3x.1x）（x21）

1.

f（x）不存在.

X/V

m2HX一一

4-一

4

=

2）

lim

x1（.3x

2

、1x）（x1）

、2

4

hh

7X

叫

Hh

hh

h

叫Hh

叫

Hh

1-h

⑼lim（、.、x21

x

0

（11）

lim

x

（2x1）（3x2）

2

（2x1）

=lim

6x27x2

4x24x1

（13）

lim

x

lim

x

2

4x

2

（15）xm1（x2

1、r（x1）「1

）=lim2lim

1x1x1x21x1x1

1

2

1

x0

x1

2.设f（x）

0x0，分别讨论

f（x）在x0，x1时的左右

x2

*2

xx2

x0x1

11x2

极限，并说明这两点的极限是否存在

解:

limf（x）lim——

x0x0x1

1,linnf（x）

x0

limx

x0

0，!

心）

limf（x）

limx1,limf（x）lim1

x1x1x1

limf（x）1.

limf（x）limf（x）

x1x1

1.51.求下列极限:

（1）

sin3xlim

x0

sin3x

lim33

x0

⑶lim^tan3xlim3x

x0sin4xx04x

在U0（0,）

2

.x

sin-

.1cosx

1cosx

mo

HX

xsinxcosx

2

2sin

2sin

HX

2221TX2X4

•2xsin—

2

原式=lim

-0

1xsinxcosx

sin2-G1xsinxcosx）

2

2

xsinxsinxglimi

.2xx0sin—

2

1

一1xsinx

cosx

2

1xsinxsinx

=-lim

2x0

（f）2

2lim（竺^

x0x

.2

sinx

x2

）=4

注意：

代数和中的一部分不能用无穷小替换

2

错原式二佃一1—

x0•2Xr:

—f、

sin一（、1xsinxcosx）

2

lim0

x2

1x2（1xsinxcosx）

4

moHX

1sinxcosx

di

sinxcosx

解:

原式=lim

x0

2sin-cos-2sin2—

222

2x

~2

=lim

x

.x,x.x、

sin（cossin）

222

x、sin）2

2

0x

sin（cos

2

x

2"

=lim

x0

sin

2

xcos

2

.xsin

Jim

xx0x.

cossin

.x

sin

2

x

22

x

=lim2

-0x

2

g1=-

注意：

代数和的一部分不能用无穷小替换

错lim

-01

1sinxcosx

K叫

12

x2x1

sin

xcosx

x2

（9）hm（1

^1

Hx

e3（11）lim（^^）x

2

lim[（1

x

x2

x2“

（13川叫（1

33

3x）xlim[（13x）3x]e

4.

0时，下列函数中哪些是x的高阶无穷小,

哪些是x的同阶无

无穷小？

（1）

x31000x2解：

因为

3

lim—

x0

1000x2

x

lim

x0

（x21000x）

所以

x31000x2

o（x）

2sin3x

2sin3x

解：

因为lim

x0x

lim2sin

x

所以sin3x

o（x）

ln（1x）解:

因为

lim

x

ln（1x）

0x

limln（1

x0

1

x）{1所以

ln（1

x）〜x

1cosx解:

1

因为lim1

x0

cosx

x

2sin2°lim20x

.x

sin—

lim（sin刍——）0，

x

x0、2

2

所以1cosxo（x）

（5）xsinx解：

因为

无穷小.

X-mo

HX

SinX=lim（1SinX）=2,故xsinx是x的同阶xx0x

（6）Vtanx解：

因为I]叫^tanx=lim[（

sinx、+11、

）3g厂gj）=

cos3xx3

x

00

x叫3

的低阶无

或：

因为

思考题:

1.lim（3x

x

1

9x）x

arccotx

2.lim

x0xz

gxcosx=0，sinx

lim9（1”吐

3xgx=lim

x

9[（1

因为当x0时,

故3tanX是x的低阶无穷小.

1

严=9e0=9

arccotx

习题2.21.求下列函数的导数:

cosxx2解:

y'sinx2x

sinxxcose解：

y'

cosx1

（注：

（cose）'0）

（5）

cos2—解y'2cosxg（cos-）'

222

x..

=2cos㊁asin

2

'=2cos*g（sinf）

x.xcos^gsin=

1.

-sinx

2

⑺y

sin3x解:

y'

（9）y

sin（x2x1）解

（11）y

InxInx3解:

（6）y

（2x1）6解：

y'

（10）y

In（Inx）解：

y'

（11）

y

3cos3x

InxIn（sinx）

55

6（2x1）g2=12（2x1）

y'©Inx）'（3Inx）'

2

y'（2x1）cos（xx

丄（Inx）'=—g^=

InxInxx

1）

丄

2x

y'

—（sinx）'=1g1—gsosx=1cotx

sinx,x2*xsinx2x

2.在下列方程中，求隐函数的导数:

（1）y

cos（xy）解：

y

sin（x

y）（1

y'）故y'汽蛊弋

2

（2）x3

y3a3解：

2x

3

2

3y

1

3y

0，故

y'

3.求反函数的导数:

（1）y

Inx解：

2

1

dy

dx

arcsinx卄

⑵ye解:

xsinIn

故dycosIn

1