地铁线路设计规划模型数学建模.docx

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地铁线路设计规划模型数学建模

地铁线路设计规划模型-数学建模

地铁线路设计规划模型

一、摘要

二、问题重述

某城市中心城区（如图1所示）规划修建地铁，要求从该中心城区任意一点出发，到最近的地铁站的直线距离不超过800米，试通过建立模型解决下列问题：

（1）最少要建多少个地铁站？

（2）按最少数量的地铁站分布，设计出最佳的地铁线路（要求不同的地铁线路换乘能互相到达）。

（0,2）

（4,2）

（9.7003,0.2397）

（11.4494,2.4261）

（7.5,2）

（5.7491,6.9864）

（0.5,4.8）

（4,4.8）

α≈38.6598°

2.9985）

2.8

图1：

某城市中心城区的简化图，其中AGCB为梯形，DEFG为矩形，坐标A（0.5,4.8）,　B（0,2）,BC=7.5,AG=3.5, DE=2.8,EF=7.3。

图中每单位长度表示实际距离3km。

3.考虑锐角为60度的菱形：

图5-9图5-10

方案三：

如图5-9是正六边形，其中正六边形边长为

对每一个圆来说交盖面积

为

；

方案四：

如图5-10是正三角形，其中正三角形边长为

，对每一个圆来说交盖面积

为

。

比较四种情况的

，方案三的

是最小的，从而有效面积

。

综合上述两种思路，最后得出的最佳有效面积皆为

，因此，接下来我们就选择将每个地铁站的覆盖面积视作正六边形。

六、模型建立与优化

问题一：

最少要建多少个地铁站？

以一个地铁站的有效面积为内接六边形

，在AutoCAD中将边长为800单位的正六边形用阵列方法排出20×20的矩阵。

将原题的城市图中各端点的坐标求出并放大比例按坐标画进地铁站六边形矩阵阵中，然后将城市图平移，旋转，比较不同情况下，城市图所含盖的正六边形数目最少的情况。

由于使用枚举法列举城市图与六边形之间关系的各种情况并清点城市图覆盖的六边形数目过于繁琐，我们考虑了一种优化方法。

先让城市图的某一条边覆盖的正六边形数目最少，再考虑其他边覆盖的数目最少的情况，再通过平移等方法尽量减少七个边覆盖的正六边形的数目，以此逼近最优解。

数六边形数目的时候为防止人工数数出错，我们采用将范围内的六边形载入选区并由电脑技术的方法保证了数据的真实性和准确性。

如下图6-1至图6-10列出了我们枚举的八种特殊情况。

图6-1矩形短边横排233

图6-2矩形短边斜排左对齐226

图6-3矩形长边斜排左对齐226

图6-4矩形长边斜排右对齐227

图6-5矩形长边横排左对齐226

图6-6矩形长边横排右对齐231

图6-7梯形长边横排233

图6-8梯形长边斜排230

由以上八张截图可发现，图6-2，图6-3，图6-5的六边形数目均为226，因此可以得出最小覆盖正六边形的数目为226个的结论，即最少要建226个地铁站才能完全铺满这个城市。

经过多方比较，我们选取了最易于生成最小树的图6-5作为我们第二问的地铁线路设计目标。

问题二：

按最少数量的地铁站分布，设计出最佳的地铁线路（要求不同的地铁线路换乘能互相到达）

我们在AutoCAD中将图6-5情况下的226个正六边形替换为800半径的圆并按一定的顺序编号（图6-9），并且利用AutoCAD的查询—列表显示功能将226个圆的圆心坐标全部输出（输出内容见附件8.1），通过Word、Excel等一系列Office软件对数据的编辑操作，得到了226个点的有序坐标的txt格式文件（数据见附件8.2）。

用VisualC++编程软件将txt文件中的所有数据依次导入并编程（C++文件见附件8.3）计算每一个点到其他225个点的距离导出至新的txt文件（数据量过大不适合在附件中呈现）。

用Matlab软件将距离值全部导入，并利用Primf最小生成树算法求出生成的最小树结果（结果与Primf代码见附件8.4）。

最后在AutoCAD中绘出最小树（图6-10），并归纳了31条地铁线路（不拐弯的一条直线视为一条线路）共62组坐标点（见表6-1），在VisualC++中求出地铁线路总长度为311769m（编程代码见附件8.5）。

226

225

224

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200

199

198

197

196

195

194

193

192

191

190

189

188

187

186

185

184

183

182

181

180

179

178

177

176

175

174

173

172

171

170

169

168

167

166

165

164

163

162

161

160

159

158

157

156

155

154

153

152

151

150

149

148

147

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142

141

140

139

138

137

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129

128

127

126

125

124

123

122

121

120

119

118

117

116

115

114

113

112

111

110

109

108

107

106

105

104

103

102

101

100

7473

6261

图6-9226个地铁站按顺序编号

图6-10最小生成树地铁线路图

表6-131条地铁线的坐标值

地铁站编号

圆心x坐标

圆心y坐标

连接的地铁站编号

圆心x坐标

圆心y坐标

400

692.8203

400

9006.6642

400

692.8203

225

29200

17320.5081

400

692.8203

1600

400

2078.4609

221

28000

18013.3284

400

3464.1016

222

28000

19398.969

400

4849.7422

7600

9006.6642

400

6235.3829

5200

9006.6642

400

7621.0235

2800

9006.6642

1600

224

29200

15934.8674

2800

692.8203

4000

226

30400

15242.0471

5200

692.8203

6400

217

28000

12470.7658

7600

692.8203

8800

172

22000

7621.0235

10000

692.8203

11200

171

22000

6235.3829

12400

692.8203

13600

170

22000

4849.7422

14800

692.8203

103

16000

103

16000

169

22000

3464.1016

115

17200

692.8203

127

18400

127

18400

168

22000

2078.4609

140

19600

692.8203

153

20800

153

20800

167

22000

692.8203

10000

9006.6642

10000

10392.3048

10000

10392.3048

215

26800

20091.7893

113

16000

13856.4065

114

16000

15242.0471

114

16000

15242.0471

216

26800

21477.43

180

22000

18706.1487

181

22000

20091.7893

181

22000

20091.7893

208

25600

22170.2503

七、模型的评价与推广

八、附录

附录8.1：

AutoCAD输出的226个圆的圆心坐标及其他

命令:

_list找到226个

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=188e

圆心点，X=30400.0000Y=15242.0471Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1880

圆心点，X=28000.0000Y=19398.9690Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=187f

圆心点，X=28000.0000Y=18013.3284Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=187e

圆心点，X=28000.0000Y=16627.6878Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=187d

圆心点，X=28000.0000Y=15242.0471Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=187c

圆心点，X=28000.0000Y=13856.4065Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=187b

圆心点，X=28000.0000Y=12470.7658Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1871

圆心点，X=25600.0000Y=22170.2503Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1870

圆心点，X=25600.0000Y=20784.6097Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=186f

圆心点，X=25600.0000Y=19398.9690Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=186e

圆心点，X=25600.0000Y=18013.3284Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=186d

圆心点，X=25600.0000Y=16627.6878Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=186c

圆心点，X=25600.0000Y=15242.0471Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=186b

圆心点，X=25600.0000Y=13856.4065Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=186a

圆心点，X=25600.0000Y=12470.7658Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1869

圆心点，X=25600.0000Y=11085.1252Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=185f

圆心点，X=23200.0000Y=20784.6097Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=185e

圆心点，X=23200.0000Y=19398.9690Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=185d

圆心点，X=23200.0000Y=18013.3284Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=185c

圆心点，X=23200.0000Y=16627.6878Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=185b

圆心点，X=23200.0000Y=15242.0471Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=185a

圆心点，X=23200.0000Y=13856.4065Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1859

圆心点，X=23200.0000Y=12470.7658Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1858

圆心点，X=23200.0000Y=11085.1252Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1857

圆心点，X=23200.0000Y=9699.4845Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=184c

圆心点，X=20800.0000Y=18013.3284Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=184b

圆心点，X=20800.0000Y=16627.6878Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=184a

圆心点，X=20800.0000Y=15242.0471Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1849

圆心点，X=20800.0000Y=13856.4065Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1848

圆心点，X=20800.0000Y=12470.7658Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1847

圆心点，X=20800.0000Y=11085.1252Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1846

圆心点，X=20800.0000Y=9699.4845Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1845

圆心点，X=20800.0000Y=8313.8439Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1844

圆心点，X=20800.0000Y=6928.2032Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1843

圆心点，X=20800.0000Y=5542.5626Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1842

圆心点，X=20800.0000Y=4156.9219Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1841

圆心点，X=20800.0000Y=2771.2813Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1840

圆心点，X=20800.0000Y=1385.6406Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=183f

圆心点，X=20800.0000Y=0.0000Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=183a

圆心点，X=18400.0000Y=16627.6878Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1839

圆心点，X=18400.0000Y=15242.0471Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1838

圆心点，X=18400.0000Y=13856.4065Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1837

圆心点，X=18400.0000Y=12470.7658Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1836

圆心点，X=18400.0000Y=11085.1252Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1835

圆心点，X=18400.0000Y=9699.4845Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

句柄=1834

圆心点，X=18400.0000Y=8313.8439Z=0.0000

半径800.0000

周长5026.5482

面积2010619.2983

圆图层:

空间:

模型空间

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