初中代数数材分析.docx
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初中代数数材分析
绪论
教学目标：
理解数学的本质特征
数学作为科学与学科的区别与联系
掌握数学学科当前的发展趋势
理解数学素养的基本内涵
教学的重点与难点：
理解数学的本质特征
数学作为科学与学科的区别与联系
第一节数学及数学学科
一、数学的本质及其特征
1、数学是什么
数学是什么：
①追溯到公元前4世纪，柏拉图及其学生亚里士多德等就认为，数学的对象就是存在于思想之外的客观世界。
②19世纪的中叶，存在人类的头脑中，因为人类的头脑具有构造新的数学的能力。
数学开始逐渐摆脱对现实世界（实验的或感觉的）的依赖，走向对逻辑体系的依赖。
从数学由其发生（即生成）的角度看，它的体系实际上是由“发现性知识”和“构造性知识”两部分构成的。
前者是指存在于现实世界中的具有确定性的“事实”，而后者则是指通过一定的逻辑规则“创造”的具有确定性的“性质”。
前苏联的《哲学百科全书》中关于数学本质的描述。
数学是一门撇开内容而只研究形式和关系的科学，而且首先主要是研究数量的和空间的关系及其形式。
数学是研究存在的（或称客观的、现实的）的形式或关系的科学，即是对现实世界的研究。
同时，数学还是研究思想的（或称主观的、先验的）的形式或关系的科学，即是对数学世界的研究。
2、数学作为科学有哪些科学特征
一般认为，数学具有抽象性、逻辑严谨性和运用的广泛性这三个特征。
二、数学学科
1、数学学科的特定性
从数学科学中选取知识具有明显的结构性和层次性
2、数学学科的逻辑性
1显示数学科学内在的逻辑性（内容）
2适应学生心理发展的逻辑性
第二节对小学数学的再认识
作为教育的数学和作为科学的数学是不完全相同的。
首先，从知识体系看，作为科学的数学，是一个完整的、独立于任何人的任何知识结构而存在特定的知识和思想体系。
而作为教育的教学，则是一个经过人为的加工和提炼的，依据某一特殊人群的特殊需要和经验、知识与能力结构而设计的知识和思想体系。
第二，从数学活动看，作为科学的数学，是一类专门的人（可称之为“数学家”的那些人）的一个完全独立的探索、发现与创造的活动过程。
而作为教育的数学，则是一类专门的人（可以称之为“学生”的那些人）在某些专门的人（可以称之为“教师”的那些人）的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的活动过程。
第三，从对象看，作为科学的数学，其对象是一个完全由符号、概念和规则等构成的和完全开放的逻辑结构系统。
而作为教育的数学，其对象则是含有经验、真观的和几乎是封闭的逻辑结构系统。
第四，作为科学的数学活动，是为了获得发现和创造数学。
而作为教育的数学活动，是为了“接受”已经发现和创造的数学。
一种结论：
至少应具有生活性、现实性和体验性这几个性质特征。
第三节数学教育的基本任务
一、以培养数学素养为基本追求
1、数学教育价值取向的变革
1算法化——以功利为价值取向
2公理化——以数学家为价值取向
3大众化——以数学素养为价值取向
2、数学素养的基本内涵
早在20世纪80年化，著名的科克罗夫特就提出了“数学素养”这个词，他认为，数学素养主要包含两个内涵：
第一是指个人在日常生活中具有运用数学技能的能力，能够满足个人每天生活中的实际数学需求。
第二是能正克理解含有数学术语的信息，如阅读图表和表格等。
美国NCTM（国家数学教师协会）标准给予数学素养的具体表述：
1懂得数学的价值
2对自己的数学能力有自信心
3有解决现实数学问题的能力
4学会数学交流
5学会数学的思想方法
3、数学素养的基本特征
1发展性（计算的发展）
2过程性
3实践性
二、以发展数学思维能力为基本目标（观察与比较，分析与综合，抽象与概括，判断与推理）
三、以将数学动作到现实情境为基本能力
1、学会用数学的思想来考察现实
2、构建普遍知识与特殊情境的联系
第二章关于数学学习内容的若干核心概念
教学目标：
理解数感、符号感、空间观念、统计观念
第一节数感
《标准》“经历运用数学符号和图形描述现实”世界的过程，建立数感和符号感，发展抽象思维。
一、如何理解数感
1、对数感的认识
数感，将一些现象与数量建立起联系。
数感是人对数与运算的一般理解，这种理解可以帮助人们用的方法做出数学判断和为解决复杂的问题提出有用的策略。
在数学教学中发展学生的数感主要是指，使学生具有应用数字表示具体的数据和数量关系的能力；能够判定不同的自述运算，有能力进行诸，并具有选择适当的方法（心算、笔算、使用计算器）实施计算的经验；能依据数据进行推论。
并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验等等。
建立数感可以理解为会“数学地”思考
数感使人眼中看到的世界有了量化的意味
数感是人的一种基本的数学素养。
它是建立明确的数概念和有效地进行计算等数学活动的基础，是将数学与现实问题建立联系的桥梁。
2、如何理解《标准》中的数感
理解数的的意义是数学课程的重要任务。
义务教育阶段学生要学习整数、小数、分数、有理数、实数等数概念。
人类早期对数的认识是从实物、代替物、图形、逐渐发展为数字符号的。
学生在解决问题的过程中选择适当的算法、对去处结果的合理性作出解释，也是形成数感的具体表现。
学习数学的目的在于解决问题，运算是解决问题的工具，学生遇到具体问题时首先要想到用什么方法解决这个问题，选择什么算法解决，然后再算出具体的结果。
二、如何培养学生的数感
1、认识数感在数学教育中的作用
从一个复杂的情境中提出问题，找出数学模型，就需要具备一定的数感。
学会将一个生活中的问题转化成一个数学问题，这种思维方式。
2、在教学中加强数感的培养。
学生数感的建立不是一蹴而就的，是在学习过程中逐步体验和建立起来的。
教学过程中就当结合有关内容，加强对学生数感的培养，把数感的培养体现在数学教学过程之中。
在数概念教学中重视数感的培养。
数概念的切实体验和理解与数感密切相关，数概念本身是抽象的。
在数的运算中加强数感的培养。
对运算方法的判断、运算结果的估计，都与学生的数感的密切的联系。
结合具体的问题选择恰当的算法，会增加对运算意义的理解，培养学生的数感。
随着学生年龄的增长和知识经验的丰富，引导学生探索数、形及问题中蕴涵的关系和规律，初步掌握一些有效地表示、处理和交流数量关系以及变化规律的工具，会进一步增强学生的数感。
把数感的建立与数量关系的理解和运用结合起来，与符号感的建立和初步的数学模型的建立结合起来，将有助学生整体数学素养的提高。
培养学生的数感应当成中小学数学教育的重要目标之一。
第二节符号感
一、如何理解符号感
符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具。
学习数学的目的之一是要使学生懂得符号的意义、会运用符号解决问题和数学本身的问题，发展学生的符号感。
符号感主要表现在：
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。
1、无论在哪个学段，都应鼓励学生用自己独特的方式表示具体情境中的数量关系和变化规律，这是发展学生等号感的决定性因素。
问题在于我们以往的教学不承认学生经验中的“符号世界”，没有给学生提供机会经历“从具体事物学生个性化的符号表示学会数学地表示
2、引进字母表示，是学习数学符号、学会用符号表示具体情境中隐含的数量关系和变化规律的重要一步。
对于《标准》“能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示”理解：
第一，这种表示常常从探索和发现以及进行归纳推理开始，然后用代数式一般化将它们表示出来。
第二，用字母表示的关系或规律通常被用于计算（或预测）某个未给出的或不易直观得到的值。
第三，用字母表示的关系或规律通常也可用于判断或证明某一个结论。
用代数式表示是由特殊到一般的过程，而由代数式求值和利用数学公式求值是从一般到特殊的过程，可以进一步帮助学生体会字母表示数的意义。
能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，是将问题进行一般化的过程。
一般化超越了问题的具体情境，深刻地揭示和指明了存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识和推理提到一个更高的水平。
一般化和符号化对数学活动和数学思考是本质的，一般化是每一个人都要经历的过程。
3、理解符号所代表的数量关系和变化规律。
第一，使学生在现实情境中理解符号表示的意义和能解释代数式的意义。
第二，用关系式、表格、表示变量之间的关系。
第三，能从关系式、表格、图象所表示的变量之间的关系中获取所需信息。
4、会进行符号间的转换
5、能选择适当的程序和方法解决用符号所表示的问题。
解决问题的第一步是将问题用符号进行表示，也就是进行符号化。
第二步是选择算法，进行符号运算。
第一步是把问题转化为数学问题，即数学化，第二步是在数学内部的推理、运算等。
二、如何培养学生的符号感
要尽可能在问题情境中帮助学生理解符号以及表达式、关系式我，在解决问题中发展学生的符号感。
在教材编写与教学中，对符号演算的处理应尽量避免让学生机械地练习和记忆，而应增加背景、探索过程、几何解释等，以帮助学生理解。
第三节空间观念
一、空间观念的意义
传统的几何课程，内容差不多都是计算和演绎证明，到了初中以后，几乎成了一门纯粹的关于证明的学问。
二、《标准》中的空间观念
空间观念的主要表现，其中包括“能够由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图这间的转化。
”这是一个包括观察、想像、比较、综合、抽象分析，不断由低到高向前发展的认识客观事物的过程，是建立在对默默环境直接感知基础上的、对空间与平面相互关系的理解和把握。
把握实物与相应的平面图形、几何体与其展开图和三视图之间的相互转换关系，不仅是一个思考过程，也是一个实际操作过程。
能从较复杂的图形中分解出基本的图形，运动和变化；能采用适当的方式描述物体间的相互关系。
空间观念的表现还包括“能运用图形形象地描述问题，利用直观进行思考。
”直观思考是没有严格演绎逻辑的“形象化”的推理，是结合情境进行的思考。
三、空间观念的培养
1、反映空间观念的课程内容。
空间观念不仅是“观念”，还是数学课程里新的内容、题材和呈现方式。
《标准》不仅在“空间观念”的提法上加入了一些新的元素，而且在伫候做了相应的安排，在三个学段都大大加强了与培养空间观念有关的内容，提出了一些新的具体目标。
这些内容的设置，使视力与构造、直观与推理、观察与投影等内容成为培养学生空间观念的重要学习资源，并且空间和空间观念从孩子入学的那一刻开始就伴随他们成长了。
2、体现空间观念的呈现方式
3、有助于学生形成空间观念的教学策略
第一，学生经验是发展空间观念的基础。
第二，发展空间观念的途径应多样化。
空间观念是从现实生活中积累的丰富几何知识体验出发，从经验活动的过程中逐步建立起来的，发展学生空间观念的基本途径应当多种多样。
生活经验的回忆、实物观察、动手操作、想像、描述和表示、联想、模拟、分析和推理等。
第三，空间观念应在发展过程中逐步形成。
一般说来，低学段的学生已经积累了一定的空间与图形方面的知识经验，他们往往需要借助与生活实际有关的具体情境认识和把握与空间观念有关的内容，观察、操作等活动对于他们形成空间而今具有重要意义。
第四，空间观念需要自主探索与合作交流的氛围。
以被动听讲和练习为主的方式，是难以形成空间观念的。
培养空间观念需要大量的实践活动，学生要有充分的时间和空间观察、测量、动手操作，对周围环境和实物产生直接感知，这些都不仅需要自主探索、亲身实践，更离不开大家一起动手、共同参与。
总之，无论对教材、教学还是教师，这里提到的空间观念都是一个需要重新认识的新课题，都应给予充分的关注。
空间观念从理念变成有助于培养学生创新意识的现实，还需要深入进行研究和探讨，有利于学生形成空间观念的内容、情境和教学方式也需要在实际操作过程中不断探索。
第四节统计观念
一、如何理解统计观念
在义务教育阶段，学生学习统计的核心目标是发展自己的“统计观念”。
一提到“观念”，就绝非等同于计算、画图等简单技能，而是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉，有些人将“统计观念”称为“数据感”或“信息观念”。
统计观念的体现：
认识到统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题；能通过收集数据、描述数据、分析数据的过程，合理的决策；能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。
1、认识统计对决策的作用，能从统计的角度思考与数据有关的问题。
培养学生“统计观念”的首要方面是，要培养他们在意识地从统计的角度思考有关问题，也就是当遇到有关问题时能想到去收集数据和分析数据。
2、能通过收集、描述、分析数据的过程，作出合理的决策。
学生不但要具备从统计的角度思考问题的意识，而且还要亲身经历收集、描述和分析数据的过程，并能根据数据作出合理的判断。
1学生要亲自收集、描述和分析数据，因为要建立“统计观念”，必须真正投入到运用统计解决实际问题的活动中，以逐步积累经验，并最终将经验转化为观念。
2要能根据数据作出大胆而合理的判断，这是数学提供的一个普遍适用而又强有力的思考方式。
3、能对数据的来源、收集和描述数据的方法、由数据得到的结论进行合理的质疑。
对数据进行合理的质疑首要的前提是能读懂数据，理解它所代表的信息，这一点对于义务教育阶段的统计学习是非常重要的。
三、如何培养学生的统计观念
《标准》不仅将“统计观念”作为义务教育阶段数学课程的重要目标之一，还分学段在相关内容中对培养学生的统计观念提出了具体要求。
1、使学生经历统计活动的全过程。
“观念”的建立需要人们亲身的经历。
要使学生逐步建立统计观念，最有效的方法是让他们真正投入到统计活动的程中
2、使学生在现实情境中体会统计对决策的影响。
要培养学生从统计的角度思考问题的意识，重要的途径就是要在课程和教学中着力展示统计的广泛应用，使学生在亲身经历解决问题的过程中体会统计对决策的作用。
为此，《标准》在各个学段都提出，要注重所学内定民日常生活。
第五节应用意识
学习数学，不能仅仅停留在掌握知识的层面上，而必须学会应用。
这就要求我们必须注意从小培养学生的应用意识。
一、如何理解应用意识
学生的应用意识主要体现在以下三方面：
1、认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息，数学在现实世界中有着广泛的应用。
2、面对问题时，能主动尝试着从数学的角度运用所学知识和方法寻求解决问题的策略。
3、面对新的数学知识时，能主动地寻找其实际背景，并探索其应用价值。
二、如何培养学生的应用意识
1、注重数学知识的来龙去脉
2、鼓励学生从数学的角度描述客观事物与现象，寻找其中与数学有关的因素。
3、搜集数学应用的事例，加深对数学应用的理解和体会。
4、为学生运用所学知识解决问题创造条件和机会。
第六节推理能力
“由一个或几个已知判断推出另一个未知判断的思维形式”叫做推理。
“推理有演绎推理、归纳推理、类比推理等”
一、如何理解推理能力
《标准》中指出：
学生通过义务教育阶段的数学学习，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力“。
演绎推理的前提和结论间具有蕴涵关系，是必然性推理。
三段论是演绎推理的一种重要形式。
合情推理是根据已有的知识和经验，在某种情境和过程中推出可能性结论的推理。
归纳推理、类比推理和统计推理是合情推理的三种重要形式。
数学需要演绎推理，更需要合情推理。
通过合情推理提出猜想，然后再通过演绎推理证明猜想正确或错误。
事实上，数学的各个分支都充满了推理——合情推理和演绎推理。
二、如何培养学生的推理能力
1、把推理能力的培养有机地整合在数学教学的过程中。
能力的发展决不等同于知识与技能的获得。
能力的形成是一个缓慢的过程，有其自身的特点和规律，它不是学生“懂”了，也不是学生“会”了，而是学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法等。
2、把推理能力的培养落实到《标准》的四个内容领域之中。
3、通过学生熟悉的生活发展学生的推理能力。
4、培养学生的推理能力，要注意层次性和差异性。
第三章初中代数数材分析
第一节代数初阶
教学目标、知识结构、数学思想方法和教材理解与处理四大部分
一、代数初阶
本节对初中代数教材的前三章——代数初步知识、有理数和整式的加减——进行分析。
1、代数初步知识
本节从教学目标、知识结构、数学思想方法、教材理解与处理等几个方面来分析这一章教材。
（1）教学目标
了解、理解、掌握、灵活运用，具体地：
了解：
对知识的涵义有感性的、初步的认识，能够说出这一知识是什么，能够（或会）在有关的问题中识别它。
理解：
对概念和规律（定律、定理、公式、法则等）达到了理性认识，不仅能够说出概念和规律是什么，而且能够知识它是怎样得出来的，它与其他概念和规律之间的联系，有什么用途。
掌握：
一般地说，是在理解的基础上，通过练习，形成技能，能够（或会）用它去解决一些问题。
灵活运用：
能够综合运用知识并达到了灵活的程度，从而形成了能力。
教学内容
要求
了解
理解
掌握
灵活运用
用字母表示数的意义
代数式的意义
列代数式表示简单的数量关系
简单公式的导出方法
求代数式的值（包括利用公式计算）
方程、方程的解、解方程的意义
解简易方程
列方程解简单应用题
√
√
√
√
√
√
√
√
（2）知识结构
从“用字母表示数”开始、以“代数式”为要内容，通过代数式表示简单的数量关系、简单公式的导出方法及求代数式的值来了解代数的意义，为以后的学习打下基础。
此外，通过解简易方程和列简易方程实际问题的学习使学生对“代数方法”有所体会。
列方程，在设好未知数后，主要就是列出代数式；而解方程与公式有关，解方程的检验，又是求代数式的值。
因此，列方程解应用问题可视为对本章所学知识的综合运用。
（3）数学思想方法
本章中渗透着这样几种数学思想方法：
归纳、概括的方法和一般化特殊化的思想及对应思想。
归纳、概括方法
认识“用字母表示数”就是采用了一种归纳概括的模式。
课本1.1节给出4个例子，如其中的例子为：
V＝S／T
可见，用字母表示数，就采用了归纳方式——由个别到一般的方式。
数是个别，字母是一般。
一般化和特殊化思想
实际上，列代数式是从特殊到一般，即一般化。
而求代数式的值，则是从一般到特殊、即特殊化。
因而教学中可以结合有关内容适当渗透一般化和特殊化思想以至于特殊和一般相互转化的辩证思想。
对应思想。
在教“求代数式的值”时，可以渗透对应思想。
如书上习题，求代数式2a²-1的值，当给定a＝1,1,5,2,2⅓,2.6时。
（4）教材理解与处理
教学重点是代数式的有关知识。
从“代数”本身来看，用代数方法解决问题的关键是把问题中的数量关系用代数式表示出，而列代数式的前提是用字母表示数。
因此，这一章教材的逻辑起点就是用字母表示数。
用字母表示数是从自述发展到代数的一个基本特征。
一个重点。
有一定的难度，是本章的教学难点之一。
解决难点的方法是与小学数学相联系，充分利用学生认知结构中已有的知识。
小学中已有了字母表示的数，当然只是一些特例。
列代数式是本章的另一个重点。
实际上，本章“代数初步知识”就是在小学数学的基础上，以代数式为主要内容进行编排的。
列代数式也是本章的一个难点。
因为它要求把自然语言转化成代数语言，因而不仅涉及自然语言与代数符号（代数语言）的关系问题而且还涉及一些问题中语言叙述表达的顺序问题。
解决难点的方法是紧扣教科书，按顺序逐渐展开，不能急于求成，关键是：
正确理解、弄清问题中的数量关系；再一个是弄清问题中的运算顺序。
就解决实际问题来说，把问题中的数量关系列成代数式，是用数学方法解决问题的第一步，下一步就要确定代数式的值，即根据代数式中字母所取的值把代数式的值求出来。
这一课题的重点是指出求代数式的值的方法，注意此时学生只学过正有理数和0,因此求代数式值的运算不可超过这个范围。
以后随数系的扩张，再回到扩大范围的求代数式的值上来。
“求值”后安排了“公式”这一课题
方程是一个十分重要的数学课题，在小学就已经学过。
而现在，学完了代数式——用字母表示数、列代数式和求代数式的值——之后，又可以从一个新的角度来看待方程。
整个中学数学中，其主要目的在于：
一，对小学数学学过的有关方程知识加以整理、复习，从而做好与小学数学的衔接；二，阐述小学方程的算术解法与代数解法的区别，从而表现出“代数”特征，对代数式内容加以综合运用。
因为代数解法显然要用“等式的性质”，教科书采用了算术方法和代数方法对比的阐述方法，从结果一样指出代数方法的合理性。
不用合并同类项，不用去括号，不用移项等代数方法来解方程。
但无论如何，一定要使学生摆脱算术解法的束缚，会用代数解法求解方程。
2、有理数
初中代数中的“有理数”是整个代数的基础，特别的有理数的运算，更是初等数学的基本运算。
因而，教好学好“有理数”这一章是十分重要的。
（1）教学目标
这一章分为两个单元，有理数的意义和有理数的运算。
教学内容
要求
了解
理解
掌握
灵活运用
1、有理数的意义
有理数的意义
有理数的分类
数轴
相反数
绝对值
有理数大小的比较
2、有理数的运算
有理数的加、减、乘、除、乘方的意义
有理数运算法则、算律、混合运算
倒数
科学计数法
近似数与有效数
四舍五入法
平方表与立方表
有理数加法减法，乘法除法的转化
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√
√√
√
√
√
√
（2）知识结构
学生在小学中虽然在实际上学过非负有理数，“有理数概念”并没有作为他们的学习目标。
所以，学生对“有理数”的意义是不了解的。
因此，“有理数”是一个全新的问题，为学习这一概念，学生必须建立起全新的认知结构来。
本章的起点概念就是有理数。
一个是有理数的概念，即对有理数的了解，主要是引入负数及“定义”有理数，而这个定义是一个“指明外延的定义”，另一个就是有理数的运算，这是本章的重点，而作为二者之间的过度的，是关于相反数、绝对值、有理数大小比较等一系列课题。
（3）数学思想方法
运算的对立统一思想。
数形结合思想。
数形结合是极重要的数学思想。
数和形都是数学的基本概念，图形带有直观性，数则有精确性。
分类的思想方法。
一般来说，分类是把所讨论的事物按某种特性划分成若干部分，分别研究各个部分，以求得出关于整体的若干认识的一种基本的逻辑方法。
初步的算法思想。
有理数的运算法则是学生在中学学习的第一个运算法则。
它对以后的学习、运算能力的提高有重要的意义。
因而大纲要求“熟练掌握有理数的运算法则、运算律、运算顺序”，“灵活运用运算律简化运算。
这里就体现了对初步的算法思想的渗透要求。
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